【正文】 B. 極值點(diǎn) C. 駐點(diǎn) D. 拐點(diǎn) ⒌設(shè) )(xf 在 ),( ba 內(nèi)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)， ),(0 bax ? ，若 )( xf 滿足（ C ），則 )( xf在 0x 取到極小值． A. 0)(,0)( 00 ????? xfxf B. 0)(,0)( 00 ????? xfxf C. 0)(,0)( 00 ????? xfxf D. 0)(,0)( 00 ????? xfxf ⒍設(shè) )(xf 在 ),( ba 內(nèi)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且 0)(,0)( ????? xfxf ，則 )(xf 在此區(qū)間內(nèi)是（ A ）． A. 單調(diào)減少且是凸的 B. 單調(diào)減少且是凹的 C. 單調(diào)增加且是凸的 D. 單調(diào)增加且是凹的 （二）填空題 ⒈設(shè) )(xf 在 ),( ba 內(nèi)可導(dǎo)， ),(0 bax ? ，且當(dāng) 0xx? 時(shí) 0)( ?? xf ，當(dāng) 0xx? 時(shí)0)( ?? xf ，則 0x 是 )(xf 的 極小值 點(diǎn) ． ⒉若函數(shù) )(xf 在點(diǎn) 0x 可導(dǎo)，且 0x 是 )(xf 的極值點(diǎn)，則 ?? )( 0xf 0 ． ⒊函數(shù) )1ln( 2xy ?? 的單調(diào)減少區(qū)間是 )0,(?? ． ⒋函數(shù) 2e)( xxf ? 的單調(diào)增加區(qū)間是 ),0( ?? ⒌若函數(shù) )(xf 在 ],[ ba 內(nèi)恒有 0)( ?? xf ，則 )(xf 在 ],[ ba 上的最大值是 )(af ． ⒍函數(shù) 3352)( xxxf ??? 的拐點(diǎn)是 ? ?2,0 （三）計(jì)算題 ⒈求函數(shù) 2( 1) ( 5)y x x? ? ?的 單調(diào)區(qū)間和極值． 解： 令 ? ? )1)(5(3)5(2)1(5 2 ??????????? xxxxxy 5,1 ??? xx駐點(diǎn) 8 列表： 極大值： 32)1( ?f 極小值： 0)5( ?f ⒉求函數(shù) 2 23y x x? ? ? 在區(qū)間 ]3,0[ 內(nèi)的極值點(diǎn)，并求最大值和最小值． 解： 令： ）xxy 駐點(diǎn)(1022 ?????? ， 列表： x （ 0,1） 1 （ 1,3） y? + 0 — y 上升 極大值 2 下降 ? ? 2132 22 ?????? xxxy ? ? 21 ?? f極值點(diǎn)： 6)3( ?? f最大值 2)1( ?? f最小值 xy 22? 上的點(diǎn)，使其到點(diǎn) )0,2(A 的距離最短． 解： 上的點(diǎn)是設(shè) xyyxp 2),( 2 ?， d 為 p 到 A 點(diǎn)的距離，則： xxyxd 2)2()2( 222 ?????? 102)2( 12)2(2 2)2(2 22 ????? ???? ???? xxx xxxxd令2???y ? ? 。 ⒊ ?? xx ded 2 2xe 。 若對(duì)任意 x ，有 )()( xfxf ??? ，則 )(xf 稱為奇函數(shù)，奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。 例題選解 一、填空題 ⒈設(shè) )0(1)1( 2 ???? xxxxf ，則 f x( )? 。 解：要使 392??? xxy有意義，必須滿足 092 ??x 且 03??x ，即 ??? ??33xx成立， 12 解不等式方程組，得出 ??? ? ??? 3 33x xx 或，故得出函數(shù)的定義域?yàn)?),3(]3,( ?????? 。 3．設(shè)函數(shù) f x() 的定義域是全體實(shí)數(shù)，則函數(shù) )()( xfxf ?? 是（ ）． ； ； ； 解： A, B, D 三個(gè)選項(xiàng)都不一定滿足。 ⒉理解無窮小量的 概念；了解無窮小量的運(yùn)算性質(zhì)及其與無窮大量的關(guān)系；知道無窮小量的比較。 ⒉函數(shù) ?????????0101sin)(xxxxxxf的間斷點(diǎn) 是 x? 。 三、計(jì)算應(yīng)用題 ⒈計(jì)算下列極限： ⑴ 124 23lim 222 ????? xxxxx ⑵ xx xx ??? ?? )13(lim 15510)2(12 )32()1(lim)3( ? ???? x xxx （ 4） xxx 3sin 11lim0 ??? 解：⑴ 61)6)(2( )2)(1(124 232 2 ????? ????? ?? xxxx xxxx xx? 15 ? 124 23lim 222 ????? xxxxx = 8161lim2 ???? xxx ⑵431331e1ee])31[(lim])11[(lim)31()11(lim)31(lim)13(lim ??????????????????????????? xnxnxxnxnxnxxxxxxxx ⑶ 題目所給極限式分子的最高次項(xiàng)為 15510 32)2( xxx ?? 分母的最高次項(xiàng)為 1512x ，由此得 381232)2(12 )32()1(lim 15510 ??? ???? x xxx （ 4）當(dāng) 0?x 時(shí)，分子、分母的極限均為 0，所以不能用極限的除法法則。導(dǎo)數(shù)的定義式還 可寫成極限 00 )()(lim0 xxxfxfxx ??? 1s inlim)(lim 00 ?? ?? ?? x xxf xx 16 函數(shù) )(xf 在點(diǎn) 0xx? 處的導(dǎo)數(shù) )( 0xf? 的幾何意義是曲線 )(xfy? 上點(diǎn)))(,( 00 xfx 處切線的斜率。 顯然直接求導(dǎo)比較麻煩，可采用取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法，將上式兩端取對(duì)數(shù)得 )2ln (31)1ln (21ln ???? xxy 兩端求導(dǎo)得 )2(3 1)1(2 1 ????? xxyy 整理后便可得 )2(6 821 23 ???????? xx xxxy 若函數(shù)由參數(shù)方程 ??? ?? )( )(ty tx ?? 的形式給出，則有導(dǎo)數(shù)公式 )( )(dd ttxy ????? 能夠熟練地利用導(dǎo)數(shù)基本公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能夠利用隱函數(shù)求導(dǎo)法，取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法，參數(shù)表示的函數(shù)的求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 ⒉曲線 xy1?在點(diǎn)（ 1， 1）處切線的斜率是 。 3．設(shè)函數(shù) )2)(1()1()( ???? xxxxxf ，則 ?? )0(f （ ）． ； ； ； D. 2? 解：因?yàn)?18 )1()1()2()1()2)(1)(1()2)(1()( ?????????????? xxxxxxxxxxxxxf ，其中的三項(xiàng)當(dāng) 0?x 時(shí)為 0，所以 2)20)(10)(10()0( ??????f 故選項(xiàng) C 正確。 y y x? ( ) 由方程 xyxyy? ?e ln確定，求 ddyx 。 20 解：選擇 D。 解：函數(shù) )1ln( xxy ??? 的定義區(qū)間為 ),1( ??? ，由于 xxxy ?????? 11 11 令 0??y ，解得 0?x ，這樣可以將定義區(qū)間分成 )0,1(? 和 ),0( ?? 兩個(gè)區(qū)間來討論。將點(diǎn) )5,2( 代入得 1?c ，所求曲線方程為 12 ??xy ⒉已知函數(shù) f x() 的一個(gè)原函數(shù)是 2arctanx ，則 ?? )(xf 。 A. ??0 d)(a xxf B． 0 C． ??0 d)(2 a xxf D． ?a xxf0 d)( (5) 若 )(xf 與 )(xg 是 ],[ ba 上的兩條光滑曲線，則由這兩條曲線及直線bxax ?? , 所圍圖形的面積 ( ). A. ? ?ba dxxgxf )()( B. ? ?ba dxxgxf ))()(( C. ? ?ba dxxfxg ))()(( D. ? ?ba dxxgxf ))()(( 答案： （ 1） A；（ 2） D； （ 3） D； （ 4） C； （ 5） A。 D 正確。正確。不正確。 (2) 由變上限的定積分的概念知 xttxtt xx c o sdc o s,c o sdc o s 00 ????????????????? ??? ∴ A、 C 不正確。 A. 0)(22 ?? dxxf B. C. dxxdxx ?? ? 1010 2 D. (2). 下列式子中，正確的是（ ） ?? ? baab dxxfdxxf )()( 23 A. xtdtx coscos0 ????????? B. C. 0cos0 ?????????x tdt D. xtdtx coscos0 ????????? (3) 下列廣義積分收斂的是（ ）。 3．證明題：當(dāng) 1?x 時(shí)，證明不等式 ee xx ? 證 設(shè)函數(shù) xxf ln)( ? ，因?yàn)?)(xf 在 ),0( ?? 上連續(xù)可導(dǎo)，所以 )(xf 在 ],1[x 上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件，有公式可得 )1)(()1()( ???? xcffxf 其中 xc??1 ，即 )1(11lnln ??? xcx 21 又由于 1?c ，有 11?c 故有 1ln ??xx 兩邊同時(shí)取以 e 為底的指數(shù)，有 1ln ee ?? xx 即 eexx? 所以當(dāng) 1?x 時(shí)，有不等式 ee xx ? 成立 . 第 5 章學(xué)習(xí)輔導(dǎo)（ 2） 典型例題解析 一、填空題 ⒈曲線在任意一點(diǎn)處的切線斜率為 2x ，且曲線過點(diǎn) (, )25 ，則曲線方程為 。 A）取得極大值 B）取得極小值 C）一定有拐點(diǎn) ))(,( 00 xfx D）可能有極值，也可能有拐點(diǎn) 解：選擇 D 函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)為零，說明 0x 可能是函數(shù)的極值點(diǎn)；函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)為零，說明 0x 可能是函數(shù)的拐點(diǎn)，所以選擇 D。 2. 若函數(shù) )(xfy? 滿足條件（ ），則在 ),( ba 內(nèi)至少存在一點(diǎn) )( ba ???? ，使得 ab afbff ???? )()()(? 成立。 三、計(jì)算應(yīng)用題 ⒈設(shè) xxy sin22tan ?? ，求 2d ??xy 解：⑴由導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 2ln2c os2c os 2 s i n2 xxxy ???? 由此得 xxy x d2d)2ln22c o sc o s2(d 2s i n22 ????? ?? ?? ⒉設(shè) )(e)e( xfxfy ? ，其中 )(xf 為可微函數(shù)，求 y? 。 A. x1 ； B. x1? ； C. 21x ； D. 21x? 解：先要求出 )(xf ，再求 )(xf? 。 第三章 導(dǎo)數(shù)與微分典型例題選解 一、填空題 ⒈設(shè)函數(shù) )(xf 在 0?x 鄰近有定義，且 1)0(,0)0( ??? ff ，則?? xxfx )(lim0 。如果我們把函數(shù)先進(jìn)行變形，即 21212322 212)1( ????????? xxxx xxxxy 再用導(dǎo)數(shù)的加法法則計(jì)算其導(dǎo)數(shù)，于是有 2321212123 ?? ???? xxxy 這樣計(jì)算不但簡(jiǎn)單而且不易出錯(cuò)。在學(xué)習(xí)的時(shí)候要側(cè)重以下幾點(diǎn)： ⒈理解導(dǎo)數(shù)的概念；了解導(dǎo)數(shù)的幾何意義；會(huì)求曲線的切線和法線；會(huì)用定義計(jì)算簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；知道可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系。 ⒉下列函數(shù)在指定 的變化過