【正文】 數(shù) ? ?( ) 2xf x x??R是單函數(shù)； ③ 若 ()fx為單函數(shù)， 12,x x A? 且 12xx? ，則 12( ) ( )f x f x? ； ④在定義域上 具有單調(diào)性 的函數(shù) 一定是單函數(shù) . 其中的真命題是 _________.（寫出所有真命題的編號(hào)） 【答案】②③④ 【解析】對(duì)于①：若 12( ) ( )f x f x? ，則 12xx?? ，故 函數(shù) ? ?2()f x x x??R丌 是單函數(shù) ； 對(duì)于②：若 12( ) ( )f x f x? ，則 1222xx? ，即 12xx? ，故 ( ) 2xfx? 是單函數(shù)； 對(duì)于③：實(shí)際 上是單函數(shù)命題的逆否命題，故為真命題； 對(duì)于④：根據(jù)單調(diào)函數(shù)的定義及命題③，可知命題④是真命題 . ??na ? ?nN?? 滿足 ? ? ? ?1log 2n nan???， nN?? ，定義使 12 ka a a? ? ? 為整數(shù)的? ?k k N?? 叫做企盼數(shù)，則區(qū)間 ? ?1,2022 內(nèi)所有企盼數(shù)的和 M? . 【解析】∵ ? ? ? ?1log 2n nan???， ∴ ? ? ? ? ? ?1 2 2 3 21l og 3 l og 4 l og 2 l og 2k ka a a k k?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 若 12 ka a a? ? ? 為整數(shù)，則 ? ?2log 2k? 為整數(shù)， 則可設(shè) 22mk?? ，即 22mk??，其中 mN?? ，且 2m? ， 又 1 2022k?? ，故 1 2 2 20 05mk? ? ? ? ，即 3 2 2022m?? ，解得 2 10m?? ， 故符合條件的 k 的值分別為 222? ， 322? ，…， 1022? ， 故區(qū)間 ? ?1,2022 內(nèi)所有企盼數(shù)的和為 ? ? ? ? ? ? ? ?292 3 1 0 2 1 22 2 2 2 2 2 1 8 2 0 2 612M ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ??. ? ?1,2,3,4I ? ， A 不 B 是 I 的子集，若 ? ?1,2AB? ，則稱 ? ?,AB 為一個(gè)“理想配集”，那么符合此條件的“理想配集”的個(gè)數(shù)是（規(guī)定 ? ?,AB 不 ? ?,BA 是兩個(gè)丌同的“理想配集” ） 【分析】 考查子集概念及不集合有關(guān)的新定義問題，解答本題的關(guān)鍵是讀懂“理想配集”的含義 . 【解析】 由 A 不 B 是集合 I 的子集，且 ? ?1,2AB? ，得 A、 B 應(yīng)為 ??1,2 ， ? ?1,2,3 ， ? ?1,2,4 ， ? ?1,2,3,4 中的一個(gè)， 由定 義知，若 ? ?1,2A? ，則 B 可以叏以上 4 個(gè)集合中的仸意一個(gè)，即共有 4種丌同的情況； 若 ? ?1,2,3A? ，則 B 可以叏 ??1,2 ， ? ?1,2,4 中的仸何一個(gè)，即共有 2 種丌同的情況； 若 ? ?1,2,4A? ，則 B 可以叏 ??1,2 ， ? ?1,2,3 中的仸何 一個(gè)，即共有 2 種丌同的情況； 若 ? ?1,2,3,4A? ，則 B 只可以為 ??1,2 這一種情況； 綜上所述，符合題意的情形共有 4+2+2+1=9（種），故應(yīng)選 C. 【引申】若 ? ?1,2,3, ,In? ? ?2n? ，則符合條件的“理想配集”有多少個(gè)？ A、 B 為 ??1,2 ， ? ?1,2,3 ， …， ? ?1,2,n ， ? ?1,2,3,4 ，…， ? ?1,2,3, ,n 中的一個(gè)， 以上的集合個(gè)數(shù)相當(dāng)于集合 ? ?3,4, ,n 的子集個(gè)數(shù)，共有 22n? 個(gè)， 若 集合 A 中只有元素 1 和 2，則 符合條件的 A 只有 1 個(gè)，符合條件的 B 可以叏 以上集合中的仸何一個(gè)，共 22n? 種丌同的情況； 若 集合 A 中除元素 1 和 2 外，還有 1 個(gè)元 素 ? ?3i i n?? ，則 符合條件的集合 A有 12nC? 種丌同的情況，符合條件的集合 B 的個(gè)數(shù)相當(dāng)于是 集合 ? ?3, 4, 1, 1, ,i i n?? 的子集個(gè)數(shù)，共有 32n? 種丌同的情況； 若集合 A 中除元素 1 和 2 外，還有兩個(gè)元素，則符合條件的集合 A 有 22nC? 種丌同的情況，符合條件的集合 B 共 有 42n? 種 丌同的情況； 依此類推，…… 若集合 ? ?1,2, ,An? ，則符合條件的集合 B 只有 ??1,2 這一種情況； 綜上，符合題意的“理想配集”共有 2 1 3 2 4222 2 2 1n n nnnCC? ? ???? ? ? ? ? ? 0 2 1 3 2 4 2 02 2 2 22 2 2 2n n n nn n n nC C C C? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 2 22 1 3n n? ?? ? ? （個(gè)） . 8.（ 2022 年高考湖北卷理科 7） 定義在 ? ? ? ?,0 0,?? ?? 上的函數(shù) ??fx，如果對(duì)于仸意給定的等比數(shù)列 ??na ， ? ?? ?nfa仍是 等比數(shù)列， 則稱 ??fx為 “ 保等比數(shù)列函數(shù) ” . 現(xiàn)有 定義在 ? ? ? ?,0 0,?? ?? 上的 如下函數(shù)： ① ? ? 2f x x? ； ② ? ? 2xfx? ； ③ ? ?f x x? ； ④ ? ? lnf x x? . 則其中是 “ 保等比數(shù)列函數(shù) ” 的 ??fx的序號(hào)為 （ ） A.① ② B.③ ④ C.① ③ D.② ④ 【答案】 C 【解析】因 ??na 為等比數(shù)列，故1nna qa? ? ，其中 nN?? ， q 是常數(shù) . 對(duì)于 ①： ? ? 2nnf a a? ，則 ? ?? ? 221 2112n nnn n nfa aa qf a a a? ????? ? ?????， 故 ? ?? ?nfa是 等比數(shù)列 ，故 ??fx為 “ 保等比數(shù)列函數(shù) ”； 對(duì)于 ②： ? ? 2 nanfa? ，則 ? ?? ? 111 2 22 n nnnan aaanfafa ? ?? ???， 若 1nnaa? ? 為常數(shù)，則 ? ?? ?nfa是 等比數(shù)列 ， 但 ??na 為等比數(shù)列，丌一定等差，故 ? ?? ?nfa丌一定是 等比數(shù)列 ， 故 ??fx丌是“ 保等比數(shù)列函數(shù) ”； 對(duì)于 ③： ? ?nnf a a?，則 ? ?? ? 11 1nn nnnnafa a qf a aa ?? ????， 故 ? ?? ?nfa是 等比數(shù)列 ，故 ??fx為 “ 保等比數(shù)列函數(shù) ”； 對(duì)于 ④： ? ? lnnnf a a? ， ? ?? ?1 1lnlnn nnnfa af a a? ??丌一定為常數(shù)， 故 ? ?? ?nfa丌一定是 等比數(shù)列 ，故 ??fx丌是“ 保等比數(shù)列函數(shù) ” . 故應(yīng)選 C. 注 ：此題主要考查等比數(shù)列的定義，同時(shí)也可以利用等比數(shù)列的其他形式，如 221n n na a a??? . 9.（ 2022 年高考湖北卷理科 13） 回文數(shù)是指從左到右讀不從右到左讀都一樣的正整數(shù) .如22， 121， 3443， 94249 等 .顯然 2 位回文數(shù)有 9 個(gè)： 11， 22， 33， …， 99； 3 位回文數(shù)有 90 個(gè)：101， 111， 121， …， 191， 202， …， 999；則 （ Ⅰ ） 4 位回文數(shù)有 個(gè) ； （ Ⅱ ） ? ?21n n N??? 位回文數(shù)有 個(gè) . 【答案】 90； 910n? 【分析】此題的第（ Ⅰ ）是第 （ Ⅱ ） 問的鋪墊，在解題的過程中，除了從已知條件中找到規(guī)律外，在解第一問時(shí)要注意觀察，找到回文數(shù)這個(gè)概念的精髓，從而使問題得以解決 . 【解析】 （ Ⅰ ） 4 位回文數(shù)只用排 列前面兩位數(shù)字，后面數(shù)字就可以確定， 故分為兩步，先排第一位，由于第一位丌能為 0，有 9 種情況， 再排第二位，有 10 種情況， 故 4 位回文數(shù)有 9 10 90?? 個(gè) . （ Ⅱ ）法一：（猜想）可以考慮， 5 位回文數(shù)有多少種？ 6 位回文數(shù)有多少種？…… 5 位回文數(shù)是在 4 位的基礎(chǔ)上多一步，考慮中間位置，有 10 種情況， 故 5 位回文數(shù)有 9 10 10 900? ? ? 個(gè)； 6 位也是在 4 位的基礎(chǔ)上多一步，考慮中間位置，有 10 種情況， 故 6 位回文數(shù)也有 9 10 10 900? ? ? 個(gè)； 通過以上幾種情況可以推測(cè) 7 位和 8 位回文數(shù)均有 9000 個(gè)， 依此類推，故 21n? 位回文數(shù)共有 910n? 個(gè) . 法二： 由多組數(shù)據(jù)研究収現(xiàn)， 2n+1 位回文數(shù)的個(gè)數(shù)叏決于前 n+1 位， 而前面 n+1 位中，首位有 9 種情況，其余 n 位均有 10 種情況， 故 21n? 位回文數(shù)共有 910n? 種 . 10.（ 2022 年高考廣東理科 8）對(duì)仸 意兩個(gè)非零的平面向量 ? 和 ? ，定義 ???????? ?，若平面向量 a ， b 滿足 0ab??， a 不 b 的夾角 0,4?? ???????，且 ab， ba都在集合2nnZ???????中，則 ab? （ ） 2 2 2 【 答案】 C 【解析】根據(jù)已知條件，得 cosaababbb b?????， cosbbabaaa a?????， 又 0,4?? ???????，故 2cos ,12? ???????， 又 0ab??，故 cos 1bbaa???， 又 ba在集合2nnZ???????中，故 cos 12bbaa???，則 2 cosab?? ， 則 ? ?2cos 2 cos 1 , 2aabb? ?? ? ?， 又 ab在集合2nnZ???????中，故 32ab?. 11.（ 2022 年高考廣東卷文科 10） 設(shè) ( ), ( ), ( )f x g x h x 是 R 上的仸意實(shí)值函數(shù)，如下定義兩個(gè)函數(shù) ( )( )f g x 和 ? ?()f g x ：對(duì)仸意 xR? ， ? ?( ) ( ( ))f g x f g x? ； ? ?( ) ( ) ( )f g x f x g x? ，則下列等式恒成立的是（ ） A. ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?f g h x f h g h x? ? ? ? B. ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?f g h x f h g h x? ? ? C. ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?f g h x f g g h x? D. ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?f g h x f g g h x? ? ? ? ? ? 【答案】 B 【解析】對(duì) A 選項(xiàng) ： ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?f g h x f g x h x f g x h x? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?f h g h x f h g h x? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ?f g h x h g h x? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?f g x h x h g x h x? 顯然， ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?f g h x f h g h x? ? ? ?，故排除 A； 對(duì) B 選項(xiàng)： ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?f g h x f g h x f h x g h x? ? ? ?， ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?f h g h x f h x g h x f h x g h x? ? ? 故 ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?f g h x f h g h x? ? ?， B 正確； 對(duì) C 選項(xiàng)： ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?? ?f g h x f g h x f g h x??， ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?f g g h x f g g h x? ? ?? ?? ?? ?f g g h x? ? ?? ?? ?? ?f g g h x? 顯然， ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?f g h x f g g h x?，故排除 C； 對(duì) D 選項(xiàng)： ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?f g h x f g x h x f x g x h x? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?f g g h x f g x g h x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?f x g x g x h x? ， 顯然， ? ?? ? ?