河北省高中數(shù)學(xué)競賽試題(存儲版)
【正文】 , 是 兩個 不相等的正數(shù)，且滿足 2233 baba ??? ，求所有可能的整數(shù) c,使得 abc 9? . 14． 如圖 ， 斜三棱柱 111 CBAABC ? 的 所有 棱長 均 為 a ，側(cè)面?CBCB 11 底面 ABC ，且 BCAC ?1 . （ 1） 求異面直線 1AA 與 11CB 間 的 距離； （ 2） 求側(cè)面 BABA 11 與底面 ABC 所成二面角 的 度數(shù)． 15． 設(shè)向量 ji, 為直角坐標平面內(nèi) x軸， y軸正方向上的單位向量．若向量 jyixa ??? ）2( ，A B C 1A 1B1B 1C 第 3 頁 共 12 頁 jyixb ??? ）2( ，且 ab? ??? ??? ． （ 1）求 滿足上述條件的 點 ),( yxP 的軌跡方程； （ 2）設(shè) ( 1, 0), (2, 0)AF? ，問是否存在常數(shù) )0( ??? ，使得 PAFPFA ??? ? 恒成立？證明你的結(jié)論． 16． 在數(shù)列 ??na 中， 1a ， 2a 是給定的 非零整數(shù)， 21n n na a a????． （ 1）若 15 2a ? ， 16 1a ?? ，求 2022a ； （ 2）證明：從 ??na 中一定可以選取無窮多項組成兩個不同的常數(shù)數(shù)列． 17． 設(shè)定義在 [0， 2]上的函數(shù) ()fx滿足下列條件： ① 對于 [0,2]x? ，總有 (2 ) ( )f x f x?? ，且 ( ) 1fx? ， (1) 3f ? ； ② 對于 , [1,2]xy? ，若 3xy??，則 ( ) ( ) ( 2) 1f x f y f x y? ? ? ? ?． 證明：（ 1） 12( ) 133nnf ??（ *nN? ）；（ 2） [1,2]x? 時， 1 ( ) 13 6f x x? ? ?． 2022 年河北省高中數(shù)學(xué)競賽試題參考答案及評分標準 （時間： 5 月 18 日 上午 8： 30～ 11： 30） 一、 選擇題 （本大題共 6 小題，每小題 6 分，滿分 36 分） 第 4 頁 共 12 頁 1． 函數(shù) ( 2)y f x??的圖像過點（ 1， 3），則函數(shù) ()fx的圖像關(guān)于 y 軸 對稱的圖形一定過點（ ）． A (1,3) B (1,3) C (3,3) D (3,3) 答案： B. 2． 把 2022 表示成兩個整數(shù)的平方差形式，則 不同的 表示方法 有 （ ） 種． A 4 B 6 C 8 D 16 答案 ： C. 解： 設(shè) 222022xy?? ，即 ( )( ) 20 08x y x y? ? ?． 2022 有 8 個正因數(shù) ，分別為 1， 2， 4，8， 251， 502， 1004， 2022． 而且 ()xy? 與 ()xy? 只能同為 偶 數(shù) ， 因此 對應(yīng)的方程組為 2 4 5 0 2 1 0 0 4 2 4 5 0 2 1 0 0 41 0 0 4 5 0 2 4 2 1 0 0 4 5 0 2 4 2xyxy? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?? 故 ? ?xy， 共有 8 組不同的值： ( 503 , 501 ) , ( 503 , 501 ) , ( 503 , 501 ) , ( 503 , 501 )? ? ? ?；( 253 , 249) , ( 253 , 249) , ( 253 , 249) , ( 253 , 249)? ? ? ?． 3． 若 函數(shù) ? ?2log 1ay x ax? ? ?有最小值，則 a 的取值范圍 是 （ ）． A 01a?? B 0 2, 1aa? ? ? C 12a?? D 2a? 答案 ： C． 解 ：當 01a??時， logayx? 是遞減函數(shù)，由于 2 1t x ax? ? ? 沒有最大值，所以? ?2log 1ay x ax? ? ?沒有最小值 ； 當 1a? 時， ? ?2log 1ay x ax? ? ?有最小值等價于2 1t x ax? ? ? 有大于 0 的最小值．這等價于 2 40a?? ? ? ，因此 12a??． 4． 已知 ,1, ?? abba 則 ba ba ?? 22 的最小值 是 （ ）． A 22 B 2 C 2 D 1 答案 ： A. 解 ：記 tba ?? ，則 0?t ， ba ba ?? 22 22222 ????? tttt ，（ 當 且 僅 當6 2 6 22 , ,22t a b??? ? ?即 時取等號）．故選 A． 第 5 頁 共 12 頁 5． 已知 cos cos 1xy??，則 sin sinxy? 的取值范圍 是 （ ）． A ? ?11?， B ? ?2?， 2 C 03????， D 33?????， 答案 ： D． 解： 設(shè) sin sinx y t??， 易 得 2 1c o s c o s s in s in 2tx y x y ???，即 ? ? 2 1cos txy?? ．由于? ?1 cos 1xy? ? ? ?，所以 2 1112t ?? ? ? ， 解得 33t? ? ? ． 6． 函數(shù) ()fx是 (0, )?? 上的單調(diào)遞增函數(shù)，當 *nN? 時， *()f n N? ，且 [ ( )] 3f f n n? ，則 (1)f 的值等于（ ）． A 1 B 2 C 3 D 4 答案 ： B 解： （ 用 排除法）令 1n? ，則得 [ (1)] 3ff ? ． 若 (1) 1f ? ，則 [ (1)] (1) 3f f f??，與 (
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