【正文】 ) ( 0 ) ( 0 )L f t sF s f L f t s F s sf f? ?? ?? ? ? ? ? ? 微分性（頻域 ）： ? ? ? ?[( ) ]L t f t F s ???， ? ? ? ?()[( ) ]nnL t f t F s?? ? 積分性 （時域 ）： ? ? ? ?0[]t FsL f t d t s?? ? 積分性（頻域 ）： ? ? ? ?[]sftL F s d st ?? ? （收斂） ? 位移性（時域 ）： ? ? ? ?[]atL e f t F s a?? ? 位移性（頻域 ）： ? ? ? ?[] sL f t e F s?? ??? （ 0?? , 0, ( ) 0t f t??） ? 相似性： 1[ ( )] ( )sL f at Faa? ( 0)a? 七、卷積及卷積定理 ? 1 2 1 2( ) * ( ) ( ) ( )f t f t f f t d? ? ???????? ? 1 2 1 2[ ( ) ( ) ] ( ) ( )F f t f t F w F w? ? ? ? 1 2 1 21[ ( ) ( ) ] ( ) ( )2F f t f t F w F w?? ? ? ? 1 2 1 2[ ( ) ( ) ] ( ) ( )L f t f t F s F s? ? ? 八、幾個積分公式 ? ( ) ( ) (0)f t t dt f????? ?? ? 00( ) ( ) ( )f t t t d t f t????? ??? ? 0 0 0() [ ( ) ] ( )ft d t L f t d s F s d st? ? ? ???? ? ?15 ? 0 ( ) [ ( ) ]kt skf t e d t L f t?? ? ??? 模擬試卷一 一 .填空題 16 1. ??????? ?? 711 ii . 2. I= ? ? 的正向?yàn)槠渲?0,s i n ???? azcdzzezcz , 則I= . 3. z1tan 能否在 Rz ??0 內(nèi)展成 Lraurent 級數(shù)？ 4．其中 c 為 2?z 的正向： dzzzc1sin2? = 5. 已知 ? ? ??? sin?F ，則 ??tf = 二 .選擇題 1. ? ? ? ?zzzf Re? 在何處解析 (A) 0 (B)1 (C)2 (D)無 . dzzzz?? ?2 2 1sin = (A)2 1sini? . (B) 0. (C) 1sini? . (D)以上都不對 . 3． ? ???????? ?nnn z 14 的收斂域?yàn)? (A) . 4141 ??? z . (B) ez ??? 21 (C) 211 ??? z . (D)無法確定 4. 設(shè) z=a 是 ??zf 的 m 級 極點(diǎn) ,則 ????zf zf? 在點(diǎn) z=a 的留數(shù) 17 是 . (A) m. (B) 2m. (C) m. (D) 以上都不對 . 三 .計(jì)算題 1. ? ? ivuzf ?? 為解析函數(shù)， 3223 33 yxyyxxvu ????? ，求u 2．設(shè)函數(shù) ??zf 與分別以 z=a 為 m 級與 n 級極點(diǎn)，那么函數(shù)? ? ? ?zgzf .在 z=a 處極點(diǎn)如何？ 3．求下列函數(shù)在指定點(diǎn) z0處的 Taylor 級數(shù)及其收斂半徑。 （十三） 孤立奇點(diǎn)的概念與分類 1。 2．常用函數(shù)在 0 0z? 的泰勒展開式 1） 2301 1! 2 ! 3 ! !nznnz z ze z znn??? ? ? ? ? ? ? ?? z?? 2） 201 11 nnn z z z zz??? ? ? ? ? ? ?? ? 1z? 10 3） 352 1 2 10( 1 ) ( 1 )s in ( 2 1 ) ! 3 ! 5 ! ( 2 1 ) !nnnnnzzz z z znn? ?????? ? ? ? ? ? ???? z?? 4） 24220( 1 ) ( 1 )c o s 1( 2 ) ! 2 ! 4 ! ( 2 ) !nnnzzz z znn????? ? ? ? ? ? ?? z?? 3．解析函數(shù)展開成泰勒級數(shù)的方法 1）直接法：直接求出 ? ? ? ?01! nnc f zn?，于是 ? ? ? ?00 nnnf z c z z?????。 （十）冪級數(shù)的斂散性 8 1． 冪級數(shù)的概念 ：表達(dá)式00 ()nnn c z z?? ??或0nnn cz???為冪級數(shù)。 2．解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系 ? 解析函數(shù) ? ?f z u iv?? 的實(shí)部 u 與虛部 v 都是調(diào)和函數(shù)，并稱虛部 v為實(shí)部 u 的共軛調(diào)和函數(shù)。 （七）關(guān)于復(fù)變函數(shù)積分的重要定理與結(jié)論 1．柯西 — 古薩基本定理： 設(shè) ??fz在 單連域 B 內(nèi)解析， c 為 B 內(nèi)任一閉曲線，則 ? ? 0c f z dz ?? 2．復(fù)合閉路定理 ： 設(shè) ??fz在多連域 D 內(nèi)解析， c 為 D 內(nèi)任意一條簡單閉曲線， 12,nc c c 是 c 內(nèi)的簡單閉曲線，它們互不包含互不相交，并且以 12,nc c c 為邊界的區(qū)域全含于 D 內(nèi)，則 ① ? ?c f z dz? ? ?1,knk c f z dz???? 其中 c 與 kc 均取正向； ② ? ? 0f z dz? ??，其中 ? 由 c 及 1 ( 1, 2, )c k n? ? 所組成的復(fù)合閉路。 2． 函數(shù)解析的充要條件 ： ? ? ? ? ? ?,f z u x y iv x y??在區(qū)域內(nèi)解析 ? ? ?,u xy 和 ? ?,v xy 在 ? ?,xy 在 D 內(nèi) 可 微 ， 且 滿 足 CD? 條 件 ： 3 ,u v u vx y y x? ? ? ?? ? ?? ? ? ?； 此時 ? ? uvf z ixx??? ??。 注： ze 是以 2i? 為周期的周期函數(shù)。 3） ? ?argz 與 arctanyx 之間的關(guān)系如下： 當(dāng) 0,x? arg arctan yz x? ； 當(dāng) 0 , a r g a r c ta n0,0 , a r g a r c ta nyyzxxyyzx??? ? ? ???? ?? ? ? ???； 4） 三角表示 ： ? ?c os sinz z i????，其中 argz?? ；注：中間一定是“ +”號。（與實(shí)函數(shù)不同） 3）乘冪與冪函數(shù)： ( 0)b bL naa e a??； ( 0)b bL nzz e z?? 注：在除去原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸的 z 平面內(nèi)處處解析，且 ? ? 1bbz bz ??? 。 3．函數(shù)可導(dǎo)與解析的判別方法 1）利用定義 （題目要求用定義，如第二章習(xí)題 1） 2）利用充要條件 （函數(shù)以 ? ? ? ? ? ?,f z u x y i v x y??形式給出，如第二章習(xí)題 2） 3）利用可導(dǎo)或解析函數(shù)的四則運(yùn)算定理。 5。 1）偏微分法：若已知實(shí)部 ? ?,u u x y? ，利用 CR? 條件，得 ,vvxy????； 對 vuyx???兩邊積分，得 ? ?uv dy g xx????? （ *） 再對（ *）式兩邊對 x 求偏導(dǎo)，得 ? ?vud y g xx x x? ? ??? ?????? ? ???? （ **） 由 CR? 條件， uvyx????，得 ? ?uu d y g xy x x? ? ??? ?? ? ???? ? ????，可求出 ??gx； 代入（ *）式，可求得 虛部 ? ?uv dy g xx????? 。 3）收斂半徑的求法： 收斂圓的半徑稱收斂半徑。 2．洛朗展開定理 ：設(shè)函數(shù) ??fz在圓環(huán)域 1 0 2R z z R? ? ? 內(nèi)處處解析，c 為圓環(huán)域內(nèi)繞 0z 的任意一條正向簡單閉曲線，則在此在圓環(huán)域內(nèi)，有 ? ? ? ?0 nnnf z c z z??????? ，且展開式唯一。孤 立奇點(diǎn)的類型： 1 ） 可 去 奇 點(diǎn) ： 展 開 式 中 不 含 0zz? 的負(fù)冪項(xiàng)；? ? ? ? ? ?20 1 0 2 0f z c c z z c z z? ? ? ? ? ? 2）極點(diǎn)：展開式中含有限項(xiàng) 0zz? 的負(fù)冪項(xiàng)； ? ? ( 1 ) 21 0 1 0 2 010 0 0 ( ) ( )( ) ( ) ( )mm mm cc cf z c c z z c z zz z z z z z??? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ?0 ,()mgzzz? ? 其中 ? ? 1( 1 ) 0 1 0 0 0( ) ( ) ( )mmmmg z c c z z c z z c z z?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?在 0z 解析， 且 ? ?0 0 , 1, 0mg z m c ?? ? ?； 3）本性奇點(diǎn)：展開式中含無窮多項(xiàng) 0zz? 的負(fù)冪項(xiàng)； ? ? 1 0 1 0 000 ( ) ( )( ) ( ) mm mmc cf z c c z z c z zz z z z? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? （十四）孤立奇點(diǎn)的判別方法 1．可去奇點(diǎn)： ? ?0 0limzzf z c? ?常數(shù)； 2．極點(diǎn)： ? ?0limzzfz? ?? 3．本性奇點(diǎn)： ? ?0lim