【正文】 0 cj 5 2 4 0 0 CB XB b y1 y2 y3 y4 y5 θ 0 y4 4 3 1 2 1 0 0 y5 10 6 3 5 0 1 cjzj 5 2 4 0 0 51 cj 5 2 4 0 0 CB XB b y1 y2 y3 y4 y5 θ 0 y4 4 3 1 2 1 0 0 y5 10 6 3 5 0 1 5/6 2/3 4/5 cjzj 5 2 4 0 0 52 cj 5 2 4 0 0 CB XB b y1 y2 y3 y4 y5 θ 0 y4 4 3 1 2 1 0 0 y5 10 6 3 5 0 1 5/6 2/3 4/5 cjzj 5 2 4 0 0 2 y2 10/3 2 1 5/3 0 1/3 53 cj 5 2 4 0 0 CB XB b y1 y2 y3 y4 y5 θ 0 y4 4 3 1 2 1 0 0 y5 10 6 3 5 0 1 5/6 2/3 4/5 cjzj 5 2 4 0 0 0 y4 2/3 1 0 1/3 1 1/3 2 y2 10/3 2 1 5/3 0 1/3 54 cj 5 2 4 0 0 CB XB b y1 y2 y3 y4 y5 θ 0 y4 4 3 1 2 1 0 0 y5 10 6 3 5 0 1 5/6 2/3 4/5 cjzj 5 2 4 0 0 0 y4 2/3 1 0 1/3 1 1/3 2 y2 10/3 2 1 5/3 0 1/3 cjzj 1 0 2/3 0 2/3 55 cj 5 2 4 0 0 CB XB b y1 y2 y3 y4 y5 θ 0 y4 4 3 1 2 1 0 0 y5 10 6 3 5 0 1 5/6 2/3 4/5 cjzj 5 2 4 0 0 0 y4 2/3 1 0 1/3 1 1/3 1 2 2 2 y2 10/3 2 1 5/3 0 1/3 cjzj 1 0 2/3 0 2/3 56 cj 5 2 4 0 0 CB XB b y1 y2 y3 y4 y5 θ 0 y4 4 3 1 2 1 0 0 y5 10 6 3 5 0 1 5/6 2/3 4/5 cjzj 5 2 4 0 0 0 y4 2/3 1 0 1/3 1 1/3 1 2 2 2 y2 10/3 2 1 5/3 0 1/3 cjzj 1 0 2/3 0 2/3 5 y1 2/3 1 0 1/3 1 1/3 57 cj 5 2 4 0 0 CB XB b y1 y2 y3 y4 y5 θ 0 y4 4 3 1 2 1 0 0 y5 10 6 3 5 0 1 5/6 2/3 4/5 cjzj 5 2 4 0 0 0 y4 2/3 1 0 1/3 1 1/3 1 2 2 2 y2 10/3 2 1 5/3 0 1/3 cjzj 1 0 2/3 0 2/3 5 y1 2/3 1 0 1/3 1 1/3 2 y2 2 0 1 1 2 1 58 cj 5 2 4 0 0 CB XB b y1 y2 y3 y4 y5 θ 0 y4 4 3 1 2 1 0 0 y5 10 6 3 5 0 1 5/6 2/3 4/5 cjzj 5 2 4 0 0 0 y4 2/3 1 0 1/3 1 1/3 1 2 2 2 y2 10/3 2 1 5/3 0 1/3 cjzj 1 0 2/3 0 2/3 5 y1 2/3 1 0 1/3 1 1/3 2 y2 2 0 1 1 2 1 cjzj 0 0 1/3 1 1/3 此時(shí)對(duì)偶問(wèn)題和原問(wèn)題都達(dá)到可行，所以均達(dá)到了最優(yōu)解 Y＝（ 2/,0,0,0) W’=22/3 W=22/3 59 Minw=2x1+3x2+4x3 . x1+2x2+ x3≥3 2x1 x2+3x3≥4 x1,x2,x3≥0 練習(xí) :用對(duì)偶單純形法求解并求出對(duì)偶變量的最優(yōu)解 Maxw’=2x13x24x3 . x1 2x2x3≤3 2x1 +x23x3≤4 x1,x2,x3≥0 Maxw’=2x13x24x3 . x12x2x3+x4=3 2x1 +x23x3 +x5=4 xi≥0(i=1,2,…,5) Maxz=3y1+4y2 . y1+2y2≤2 2y1 y2≤3 y1+3y2≤4 y1,y2≥0 對(duì)偶問(wèn)題為 60 cj 2 3 4 0 0 CB XB b x1 x2 x3 x4 x5 θ 0 x4 3 1 2 1 1 0 0 x5 4 2 1 3 0 1 1 － 4/3 cjzj 2 3 4 0 0 0 x4 1 0 5/2 1/3 1 1/2 8/5 3 2 2 x1 2 1 1/2 2/3 0 1/2 cjzj 0 4 1 0 1 3 x2 2/5 1 0 1/5 2/5 1/5 2 x1 11/5 0 1 7/5 1/5 2/5 cjzj 0 0 3/5 8/5 1/5 此時(shí)對(duì)偶問(wèn)題和原問(wèn)題都達(dá)到可行， 所以均達(dá)到了最優(yōu)解 Y＝（ 11/,0,0,0) W’=28/5 W=28/5 61 Maxz=3y1+4y2 . y1+2y2≤2 2y1 y2≤3 y1+3y2≤4 y1,y2≥0 Maxz=3y1+2y2 . y1+2y2+y3＝ 2 2y1 y2+y4＝ 3 y1+3y2+y5＝ 4 yi≥0 cj 2 3 4 0 0 3 x2 2/5 1 0 1/5 2/5 1/5 2 x1 11/5 0 1 7/5 1/5 2/5 cjzj 0 0 3/5 8/5 1/5 y3 y4 y5 y1 y2 62 對(duì)偶單純形法的特點(diǎn)： ? 當(dāng)約束條件為 “ ≥” 時(shí)，不需要引入人工變量，從而使計(jì)算更為簡(jiǎn)便。 89 cj 9 8 50 19 0 0 CB XB b x1 x2 x3 x4 x5 x6 0 x5 6 3 2 10 4 1 0 0 x6 3 0 0 2 1/2 0 1 cjzj 9 8 50 19 0 0 。 19 x4 6 2 1 0 1 2/3 10/3 50 x3 3 1/2 1/3 1 0 1/6 4/3 cjzj 4 2/3 0 0 13/3 10/3 0 x6 9/5 3/5 2/5 0 3/10 1/5 1 50 x3 3/5 3/10 1/15 1 2/5 1/10 0 cjzj 6 14/3 0 1 5 0 93 cj 9 8 50 19 0 0 CB XB b x1 x2 x3 x4 x5 x6 0 x5 6 3 2 10 4 1 0 0 x6 3 0 0 2 1/2 0 1 cjzj 9 8 50 19 0 0 。 19 x4 2 2 4/3 0 1 2/3 10/3 50 x3 1 1/2 1/3 1 0 1/6 4/3 cjzj 4 +△ c 2/3 0 0 13/3 10/3 思考：如果 x2的系數(shù)發(fā)生變化，△ c2在什么范圍內(nèi)變化，最優(yōu)解不變？ 97 cj發(fā)生變化 假設(shè) x4的利潤(rùn)由 19變?yōu)?19+△ c4 cj 9 8 50 19 +△ c4 0 0 CB XB b x1 x2 x3 x4 x5 x6 0 x5 18 3 2 10 4 1 0 0 x6 3 0 0 2 1/2 0 1 cjzj 9 8 50 19 0 0 。 ? 同時(shí)也可以考慮影子價(jià)格，如果該種新產(chǎn)品的利潤(rùn)大于隱含成本，則應(yīng)該生產(chǎn)用單純形表進(jìn)行求解；如果小于隱含成本則該種產(chǎn)品不用生產(chǎn)。 考慮影子價(jià)格： y1=13/3， y2=10/3 則生產(chǎn)一件 E產(chǎn)品所需要的隱含成本為： 13/3*3+10/3*1=49/3＞ 10(每件 E產(chǎn)品的利潤(rùn)） 所以也不生產(chǎn)。 96 cj 9+△ c 8 50 19 0 0 CB XB b x1 x2 x3 x4 x5 x6 0 x5 18 3 2 10 4 1 0 0 x6 3 0 0 2 1/2 0 1 cjzj 9 8 50 19 0 0 。 19 x4 6 2 1 0 1 2/3 10/3 50 x3 3 1/2 1/3 1 0 1/6 4/3 cjzj 4 2/3 0 0 13/3 10/3 0 x6 9/5 3/5 2/5 0 3/10 1/5 1 50 x3 3/5 3/10 1/15 1 2/5 1/10 0 92 cj 9 8 50 19 0 0 CB XB b x1 x2 x3 x4 x5 x6 0 x5 6 3 2 10 4 1 0 0 x6 3 0 0 2 1/2 0 1 cjzj 9 8 50 19 0 0 。 2 B1 y1 y2 y3 y4 y5 y6 87 （右端常數(shù)項(xiàng) bi ） 發(fā)生變化的分析 X=(XB,0)T 其中 XB=B1b Z=CBB1b 當(dāng) bi 發(fā)生變化時(shí)： bi’=b+(0,… △ bi, … 0) T=b+△ b 則 : XB’=B1b’=B1(b+△ b)=B1b+B1△ b＝ XB+ B1△ b 如果 XB’=XB+ B1△ b≥0，則原最終單純形表中的基變量不變 ，基變量的值將發(fā)生變化 如果 XB’=XB+ B1△ b＜ 0，則需采用對(duì)偶單純形表進(jìn)行重新求解。 47 步驟： 一般設(shè)松弛變量為初時(shí)基可行解 若所有的基變量值均 ≥0，則此解為線性規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)解，若存在基變量的值 ≤0，則問(wèn)題還沒(méi)有達(dá)到最優(yōu)解，需要進(jìn)行改進(jìn)。y i=0 同理 若 xj’ ＞ 0,則 ∑aijyi=cj，即 ysj=0 若 xj’ ＝ 0,則 ∑aijyi＜ cj，即 ysj＞ 0 即 ysj（對(duì)偶問(wèn)題無(wú)可行解時(shí)，其原問(wèn)題無(wú)界解或無(wú)可行解。 ?原始問(wèn)題約束條件的性質(zhì)影響對(duì)偶問(wèn)題變量的性質(zhì)。問(wèn)如何安排生產(chǎn)資源使得總利潤(rùn)為最大？ A1 A2 可供量 甲 3 2 24 已 4 5 40 利潤(rùn) 5 3 解：設(shè)生產(chǎn) A1為 x1件，生產(chǎn) A2為 x2件，則線性規(guī)劃問(wèn)題為： maxZ=+5x2 . 3x1+2x2≤24 4x1+5x2≤40 x1,x2≥0 假設(shè)現(xiàn)在不考慮生產(chǎn)產(chǎn)品，而是把甲乙兩種原材料賣(mài)掉，則 問(wèn)題變成對(duì)于甲乙兩種原材料企業(yè)以多少最低價(jià)愿意出讓?zhuān)? 解：設(shè)甲資源的出讓價(jià)格為 y1,乙資源的出讓價(jià)格為 y2 minw=24y1+40y2 . 3y1+4y2≥ 2y1+5y2≥5 y1,y2≥0 3 2 4 5 3 4 2 5 4 第 4節(jié) 線性規(guī)劃的對(duì)偶理論 —— 對(duì)偶問(wèn)題的一般形式 一般認(rèn)為變量均為非負(fù)約束的情況下，約束條件在目標(biāo)函數(shù)取極大值時(shí)均取 “ ≤” 號(hào)；當(dāng)目標(biāo)函數(shù)求極小值時(shí)均取“ ≥“ 號(hào)。 19 maxZ=+5x2 . 3x1+2x2≤24 4x1+5x2≤40 x1,x2≥0 minw=24y1+40y2 . 3y1+4y2≥ 2y1+5y2≥5 y1,y2≥0 y1 y2 x1 x2 maxZ=+5x2 . 3x1+2x2+x3=24 4x1+5x2+x4=40 x1,x2,x3,x4,≥0 minw=24y1+40y2 . 3y1+4y2y3= 2y1+5Y2y4=5 y1,y2,y3,y4≥0 y1 y2 x1 x2 20 cj 5 0 0 θ CB XB b