【正文】 aS aS/(S2+K) = 1 1+aS/(S2+K) = 0 給定 K值，就可畫出以 a為參變量的根軌跡。 2Kπ = 0176。 , 225176。 } 分離點(diǎn)：特征方程： 1 G(S)H(S) = 0 (S+1)2(S+4)2 K = 0 K = S 4 + 10S3 + 33S2 + 40S dK/dS = 4S3 + 30S2 + 66S + 40 = 0 解出分離點(diǎn)： S = 自動(dòng)控制原理 蔣大明 正反饋回路的根軌跡舉例 與虛軸交點(diǎn)： (S+1)2(S+4)2 K = 0 代入 S=jw 實(shí)部： w4 33w2 + 16 K = 0 虛部： 10w3 + 40w = 0 解得： w = 0， K = 16 自動(dòng)控制原理 蔣大明 三 . 滯后系統(tǒng)的根軌跡 包含有時(shí)間滯后環(huán)節(jié)的系統(tǒng) 滯后系統(tǒng) . 閉環(huán)傳遞函數(shù) : C(s)/R(s) = eτ S G(s)/ [1+ eτ S G(s)] 特征方程 : 1+ eτ S G(s) = 0 是復(fù)變量 s的超越函數(shù) , 有無窮多個(gè)特征根 . G(S) eτS 自動(dòng)控制原理 蔣大明 滯后系統(tǒng)的根軌跡 根跡方程 : eτ S G(s) = 1 eτ S = eτ (σ +jω) = eστ ejωτ ejωτ = ωτ (rad) = 176。 4, … N= 177。 4, … 自動(dòng)控制原理 蔣大明 滯后系統(tǒng)的根軌跡 規(guī)則五的證明 : 漸進(jìn)線 (根軌跡 )上取一點(diǎn) S=∞ , 不是起點(diǎn)就是終點(diǎn) . 如為起點(diǎn) : σ = ∞ 。 ωτ = (nm)*180176。 τ 同理可證 nm為偶數(shù)時(shí) 漸進(jìn)線與 虛軸的交點(diǎn) . 自動(dòng)控制原理 蔣大明 滯后系統(tǒng)的根軌跡 規(guī)則六 :起始角和終止角 起始角 : θ P1=(2K+1)180176。 2*180N/ , 177。 自動(dòng)控制原理 蔣大明 系統(tǒng)閉環(huán)零極點(diǎn)分布與階躍響應(yīng)的關(guān)系 二、閉環(huán)零極點(diǎn)分布與階躍響應(yīng)的定性關(guān)系 1．要求系統(tǒng)穩(wěn)定，所有閉環(huán)極點(diǎn) Si均應(yīng)位于 S平面的左 半部。 往往只用主導(dǎo)極點(diǎn)（把高階系統(tǒng)近似看成是一階或二階 系統(tǒng)）來估算系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。 ， 60176。 6倍以上 . 可認(rèn)為 S1， S2是主導(dǎo)極點(diǎn) . 自動(dòng)控制原理 蔣大明 利用主導(dǎo)極點(diǎn)估算系統(tǒng)的性能指標(biāo) 4. 用主導(dǎo)極點(diǎn)估算系統(tǒng)的性能指標(biāo) 只有兩個(gè)主導(dǎo)極點(diǎn)起作用，系統(tǒng)被近似看成二階系統(tǒng)。 —— 阻尼線 阻尼線與根軌跡的交點(diǎn)為 S1， 從圖中可得 S1= + S2= 求與 S1對應(yīng)的開環(huán)增益： |GK(S)|=1 代入 S = + |+||++1||++2| = 2K 解得 : K = (根軌跡上某點(diǎn)對應(yīng)的 K值 ) S1 阻尼線 S2 S3 自動(dòng)控制原理 蔣大明 利用主導(dǎo)極點(diǎn)估算系統(tǒng)的性能指標(biāo) 確定 S3的位置 (確認(rèn)主導(dǎo)極點(diǎn) ) 已知特征方程的兩個(gè)根 S1和 S2，求第三個(gè)根 S3。 實(shí)軸上 : (0， 1)， (2， ∞) 為根軌跡。 自動(dòng)控制原理 蔣大明 三、主導(dǎo)極點(diǎn)和偶極子 離虛軸最近的閉環(huán)極點(diǎn)對系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的影響最大，起 著主要的作用，稱之為主導(dǎo)極點(diǎn)。 主根軌跡與虛軸交點(diǎn)為 177。 3*180N/ , 177。 ω= = 即為漸進(jìn)線與 虛軸的交點(diǎn) . 176。 ωτ + (2K+1)*180176。 5, … N=0, 177。 ωτ , 但對實(shí)軸 :ω= 0, 所以無變化 . 規(guī)則五 : 漸近線有無窮多條 , 且都平行于實(shí)軸 , 與虛軸的交點(diǎn) : ω= 180N/ 其中 N值如表中所示 . nm 起點(diǎn)漸進(jìn)線 終點(diǎn)漸進(jìn)線 奇數(shù) N=0, 177。 ,180176。 漸近線： σ a= (Σ PiΣ Zi)/(nm) = υ a= (2K+1)π /(nm) = {45176。 1—— 與虛軸交點(diǎn) 自動(dòng)控制原理 蔣大明 二、正反饋回路的根軌跡 在某些系統(tǒng)中，內(nèi)環(huán)是一個(gè)正反饋回路。 用參數(shù)根軌跡可以分析系統(tǒng)中的各種參數(shù)，如開環(huán)零極點(diǎn) 的位置、時(shí)間常數(shù)、反饋系數(shù)等對系統(tǒng)性能的影響。 176。 將 S=jw代入特征方程： 1 + G（ jw） H（ jw） = 0 可分解為： Re[1 + G（ jw） H（ jw） ]= 0 Im[1 + G（ jw） H（ jw） ]= 0 可解出： w —— 與虛軸交點(diǎn)的坐標(biāo) K —— 交點(diǎn)處對應(yīng)的 K值（臨界穩(wěn)定開環(huán)增益） 自動(dòng)控制原理 蔣大明 繪制根軌跡舉例 例： GK(S)= K/[S(+1)(++1)] 試?yán)L制根軌跡。對 無窮遠(yuǎn)處的試驗(yàn)點(diǎn) Sn而言，所有的零極點(diǎn)都匯集到實(shí)軸上的 一點(diǎn) σ a。 (2K+1)π ∠[(S Z1)(SZ2)…(S Zm)/(SP1)(SP2)…(S Pn)] = 177。 證明： 閉環(huán)特征根若為實(shí)數(shù)，則必位于實(shí)軸上； 閉環(huán)特征根若為復(fù)數(shù)，則一定是以共軛形式成對出現(xiàn)。 4．當(dāng) K＞ ，閉環(huán)特征根為共軛復(fù)根，系統(tǒng)呈欠阻尼狀態(tài)， 階躍響應(yīng)為衰減振蕩。 自動(dòng)控制原理 蔣大明 根軌跡舉例 例： GK(S)= K/[S(+1)] = 2K/[S(S+2)] GB(S)= 2K/(S2+2S+2K) 特征方程： S2+2S+2K = 0 k s1 s2 特征根： S1= 1+(12K)1/2 S2 = 1(12K)1/2 0 2 1 1 1+j 1j ∞ 1+j∞ 1j∞ 自動(dòng)控制原理 蔣大明 根軌跡舉例 由此關(guān)系逐點(diǎn)描繪出 K由 0到 ∞ 變化時(shí)，閉環(huán)特征根 在 S平面上運(yùn)動(dòng)的軌跡 根軌跡。 特征方程 : 1+G(S)H(S)= 0 根軌跡方程 : Gk(S) = G(S)H(S) = 1 （矢量方程） 幅值條件 : ︱ G(S)H(S)︱ = 1 幅角條件 : ∠G(S)H(S) = 177。如果開環(huán)極點(diǎn)數(shù) n大于開環(huán)零點(diǎn)數(shù) m，則有（ nm）條根軌跡終止于無窮遠(yuǎn) . 證明： 由根跡方程： K*(SZ1)(SZ2)…(S Zm) G(S)H(S) = ——————————— = 1 (SP1)(SP2)…(S