【正文】 用 ?xr 代替上述地推算法中的 )(mrx ，重新求解 YuleWalker 方程，這時求出的 AR 模型參數(shù)是真實參數(shù)的估計值，即 ?)1(a 、 ?)2(a , ?)(pa 、 p?? ； 將這些參數(shù)代入（ 3）式，得到 )(nx 的功率譜 )( jwx eP 的估計。粗略的講，AR譜的方差反比于數(shù)據(jù) )(nxN 的長度 N 和信噪比 SNR。 ②式中階次 p和 q都是未知的，需要事先指定?，F(xiàn)代譜估計主要是針對經(jīng)典譜估計的分辨率低和方差性能不好的問題而提出的，其內(nèi)容極其豐富，涉 及的學(xué)科和領(lǐng)域也相當(dāng)廣泛。%加矩形窗 [Pxx,f]=periodgram(xn,window,nfft,Fs)。window=boxcar(length(n))。 南京郵電大學(xué) 通達學(xué)院 2020 屆本科生畢業(yè)設(shè)計（論文） figure(1) plot(k,plot_Pxx)。 nfft=1024。plot_Pxx=10*log10(Pxx(index+1))。 window=boxcar(100)。 [Pxx2,f]=pwelch(xn,window2,noverlap,nfft,Fs,range)。 figure(2) plot(f,plot_Pxx1)。 %頻率間隔為 [0 Fs/2]，只計算一半的頻率 [Pxx,f]=pwelch(xn,window,noverlap,nfft,Fs,range)。 xn=cos(2*pi*40*n)+3*cos(2*pi*100*n)+randn(size(n))。%求絕對值 ； index=0:round(nfft/21)。 n=0:1/Fs:1。 plot_Pxx=10*log10(Pxx(index+1))。 xn=cos(2*pi*40*n)+3*cos(2*pi*100*n)+randn(size(n))。 nfft=1024。 AR模型的 Burg 法也存在問題，比如計算量大；信號起始相位變動可導(dǎo)致譜線偏移和分裂 ；低信噪比可導(dǎo)致譜分辨率下降等等。從第 q+1 個方程開始是線性的，可以解出 AR部分的系數(shù)，將上式中的第二 個方程寫成如下展開形式： ?????????????????????????????????????????????????????)()2()1()()2()1()2()()1()1()1()(21pqrqrqraaaqrpqrpqrpqrqrqrpqrqrqrxxxpxxxxxxxxx???????? 上式雖然可解出 AR 部分的系數(shù)，但存在以下兩個問題： ①由于式中的真實自相關(guān)函數(shù) )(mrx 是未知的，因此只能使用估計值 )(?mrx 來代替，且要用到大延遲的估計值（最大延遲是 p+q），而對于給定的信號長度，這將造成 )(?mrx 估計很不準確。因為 1)( )(21 ??? ???? ?? deP eP jARjx，整個積分值為 1，所以又可得到譜匹配的局部性質(zhì)，也就是說 )( ?jAReP 是 )( ?jx eP 的包絡(luò)的一個好的近似。同 Burg 算法一樣，改進協(xié)方差算法進行功率譜估計時令南京郵電大學(xué) 通達學(xué)院 2020 屆本科生畢業(yè)設(shè)計（論文） 前后向預(yù)測誤差功率之和最小，即對 )(neb 、 )(nef 前后都不加窗，但得到的協(xié)方差矩陣不是 Toeplitz 矩陣，因此正則方程不能 用 Levinson 遞推算法求解。模型參數(shù)算法就是基于上述最小均方誤差時由模型參數(shù)估計信號功率的方法，主要有以下幾種經(jīng)典算法： )()()( 1 knxkanx pk f ??? ??? )()()( nxnxne f ??? 南京郵電大學(xué) 通達學(xué)院 2020 屆本科生畢業(yè)設(shè)計（論文） ? ?2)(neEp ff ? )()()( 1 knxkanx pk b ??? ??? )()()( pnxpnxne b ???? ? ? ?2)(neEp fbb ? (45) (1)自相關(guān)法 (BT 法 )。 AR 模型又稱為自回歸模型，它是一個全極 點模型，其當(dāng)前輸出是現(xiàn)在輸入和過去輸入的加權(quán)和，表示如下 (其中 u(n)為白噪聲序列； p 為 AR 模型的階數(shù) : )()()( 1 nuknxanXpk k ???? ?? (41) ?? ???? pk kk zazAzH 111)(12)( 由隨機信號通過線性系統(tǒng)理論知輸出序列的功率譜 2121)(????? pkjw kkjwxeaep ? 其中 2? 為白噪聲序列的方差，因此進行功率譜估計，必需求得 AR模型的參數(shù) ak(k=l， 2? p)及 2? 。輸出序列 )(nx 可以是平穩(wěn)的隨機序列，也可以是確定性的時間序列。方差性能差的原因南京郵電大學(xué) 通達學(xué)院 2020 屆本科生畢業(yè)設(shè)計（論文） 是無法實現(xiàn)功率譜密度原始定義中的求均值和求極 限的運算。 總的來說 ，自相關(guān)法和周期圖法的主要優(yōu)點是； （ 1） 計算量小： （ 2） 功率譜估計值正比于正弦波信號的功率。 是 利用觀測到的實隨機序列 ，估計自相關(guān)函數(shù)的兩種方法是：無偏自相關(guān)函數(shù)估計和有偏自相關(guān)函數(shù)估計。 平均周期圖估計器定義為： ????10)( )(?1)(? KmmP E RA V P E R fPKfP (318) 210)( )2e x p ()(1)(? ??? ??Ln mmP E R fnjnxLfP ? 其中 )(? )( fPmPER 是第 m 個數(shù)據(jù)組的周期圖。 若序列為單頻信號，則 )(fPxx 為 ? 函數(shù)，這樣，數(shù)據(jù)加窗后的譜估計值的均值與窗譜函數(shù)的平方形狀相同，因此選用低旁瓣的數(shù)據(jù)窗可使得雜散響應(yīng)減少。 上述論證表明，我們不能寄希望于直接用周期圖方法獲得良好的譜估計，必須采用適當(dāng)?shù)男拚胧p小估計方差，才能使之成為一種實用的方法。 南京郵電大學(xué) 通達學(xué)院 2020 屆本科生畢業(yè)設(shè)計（論文） 周期圖法 周期圖法的定義 周期圖法，它是把隨機 序列 x(n)的 N個觀測數(shù)據(jù)視為一能量有限的序列，直接計算 x(n)的離散傅立葉變換，得 X(k)，然后再取其幅值的平方，并除以 N，作為序列 x(n)真實功率譜的估計。有時簡稱之為長度為 N的隨機序列 )(nx 。這就是說，各樣本之間彼此是不相關(guān)的。 平穩(wěn)隨機序列 )}({ nx 的自相關(guān)函數(shù) )0(xxr 是實的且為正，而且對任一 )(na 序列和任一 M ，自相關(guān)函數(shù)（ ACF）滿足： ? ?? ?? ???? ??? 10 10210 0)()()(*})()(*{ Mm xxMnMn nmrnamanxnaE ，這個函數(shù)稱為半正定的。這兩類方法都與相關(guān)函數(shù)有著密切的聯(lián)系，由維納 —— 辛欽定理可知，功率譜和相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系是一對傅里葉變換，因而可以從觀測數(shù)據(jù)直接估計相關(guān)函數(shù)，根據(jù)估計出來的相關(guān)函數(shù)，求它的傅立葉變換，就可以得到功率譜的估計值。 是 相合估計量就意味著 依照概率收斂于 。 E = 稱為 估計量的偏差。 平穩(wěn)隨機信號的功率譜 譜 密度 定義 :設(shè) {X(t)， 是均方連續(xù)的隨機過程，稱 ] (28) 為 X（ t）的平均功率。 平穩(wěn)隨機信號的特征 隨機信號具有不重復(fù)性、不確定性，通常用概率與統(tǒng) 計 方法研究其中是否存在某些重復(fù)、確定的成分。 3)南京郵電大學(xué) 通達學(xué)院 2020 屆本科生畢業(yè)設(shè)計（論文） ； 4) 。 相關(guān)函數(shù)是兩隨機變量之積的數(shù)學(xué)期望，稱為相關(guān)性。 （ 21） （ 22） 以上分別稱為 X的標(biāo)準差和方差。隨機變量與模糊變量的不確定性的本質(zhì)差別在 于 ，后者的測定結(jié)果仍具有不確定性，即模糊性。 課題內(nèi)容 本論文研究了功率譜估計的幾種常用的方法，包括經(jīng)典譜估計和現(xiàn)代 譜估計的各種方法。 Yule 在 1927 年提出了用線性回歸方程來模擬啦一個時間序列，從而發(fā)現(xiàn)隱含在該時間序列中的周期，進而 發(fā)現(xiàn)了現(xiàn)代譜估計中最重要的方法 — 參數(shù)模型法。 The Periodogram； the BT methods. 南京郵電大學(xué) 通達學(xué)院 2020 屆本科生畢業(yè)設(shè)計（論文） 目 錄 1. 緒論 研究內(nèi)容 2. 功率譜估計 的概述 隨機 變量 平穩(wěn)隨機信號 平穩(wěn)隨機信號 定義 平穩(wěn)隨機信號 特征 平穩(wěn)隨機信號的功率譜 估計質(zhì)量的評價標(biāo)準 3. 經(jīng)典功率譜估計 譜估計與相關(guān)函數(shù) 相關(guān)函數(shù)和功率譜 相關(guān)函數(shù)的估計 周期圖法 周期圖法的定義 周期圖的性能 周期圖法改進措施 自相關(guān)法 直接法和間接法的關(guān)系 本章小結(jié) 4. 現(xiàn)代譜估計 平穩(wěn)隨機信號的參數(shù)模型 AR 模型的正則方程與參數(shù)計算 南京郵電大學(xué) 通達學(xué)院 2020 屆本科生畢業(yè)設(shè)計（論文） 正則方程求導(dǎo) AR 模型參數(shù)求解的經(jīng)典算法 AR 模型譜估計的實現(xiàn)及性質(zhì) 譜估計的步驟 AR 模型譜估計的性質(zhì) MA 模型譜估計 ARMA 模型譜估計 本章 小結(jié) 5. MATLAB 下的經(jīng)典譜與現(xiàn)代譜估計 的仿真 基于 MATLAB 經(jīng)典譜估計的仿真 基于 MATLAB 現(xiàn)代譜估計的仿真 結(jié)束語 致謝 參考文獻 南京郵電大學(xué) 通達學(xué)院 2020 屆本科生畢業(yè)設(shè)計（論文） 第一章 緒論 課題背景 功率 譜 估計技術(shù)淵源流長，在過去的幾十年獲得了飛速的發(fā)展。南京郵電大學(xué) 通達學(xué)院 2020 屆本科生畢業(yè)設(shè)計（論文） 南京郵電大學(xué)通達學(xué)院 畢 業(yè) 設(shè) 計（論 文） 題 目： 基于 Matlab 的信號功率譜估計 專 業(yè)： 通達學(xué)院 學(xué)生姓名： 班級學(xué)號： 指導(dǎo)教師： 指導(dǎo)單位： 南京郵電大學(xué) 日期： 2020 年 11 月 24 日 至 2020 年 6 月 12 日 南京郵電大學(xué) 通達學(xué)院 2020 屆本科生畢業(yè)設(shè)計（論文） 摘 要 數(shù)字信號處理 (DSP)重要的應(yīng)用領(lǐng)域之一，是建立在周期信號和隨機信號基礎(chǔ)上的功率譜估計 。 Power Spectrum Estimation。周期圖較差的方差性能促使人們研究另外的分析方法。在實際應(yīng)用中往往不能獲得具體信號的表達式 ,需要根據(jù)有限的數(shù)據(jù)樣本來獲得較好的譜估計效果，因而譜估計被廣泛的應(yīng)用于各種信號處理中。如分析測試中的測定值 就是一個以概率取值的隨機變量，被測定量的取值可能在某一范圍內(nèi)隨機變化， 其體取什么值在測定之前是無法確定的，但測定的結(jié)果是確定的，多次重復(fù)測定 所得到的測定值具有統(tǒng)針 的 規(guī)律性。 分布函數(shù)的性質(zhì) (1) 單調(diào)不減性 :若 南京郵電大學(xué) 通達學(xué)院 2020 屆本科生畢業(yè)設(shè)計（論文） (2) 歸一性 :對任意賣數(shù) x， 0F(X)1，且 (3) 左連續(xù)性：對任意實數(shù) x， F(x0)=F(x) 、方差、標(biāo)準差 定義： 為 x 的數(shù)學(xué)期望值，或者簡稱均值。 定義為： (23) 瞬時值 x（ t)小 于 或等 于 謀值 x的概 率定義為概率分布函數(shù)或累計概率分布函數(shù) 南京郵電大學(xué) 通達學(xué)院 2020 屆本科生畢業(yè)設(shè)計（論文） (24) 表 征了一個隨機過程自身在不同時刻的狀態(tài)間，或者兩個隨機過程在某個時 刻狀態(tài)間線性依從關(guān)系的數(shù)字特征。 2) D[X(t)]= ，平穩(wěn)隨機過程的方差與時間無關(guān) 。本論文若不加特別說明，平穩(wěn)過程均指寬平穩(wěn)過程 。 平穩(wěn)隨機信號自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì) :設(shè) X （ t)為平穩(wěn)隨機過程，其自相關(guān)函數(shù)為，自一