44數(shù)字特征與極限定理(存儲版)
【正文】 因此 X與以概率 取值 xi的離散型 該離散型 的數(shù)學(xué)期望 是 由此啟發(fā)我們引進(jìn)如下定義 . 定義 2 設(shè) X是連續(xù)型隨機變量，其密度函數(shù) 為 f (x),如果 ? ??? dxxfx )(||有限 ,定義 X的數(shù)學(xué)期望為 ? ???? dxxfxXE )()(也就是說 ,連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望是一個絕對收斂的積分 . 2)(baXE ??若 X~U(a,b),即 X服從 ( a,b)上的均勻分布 ,則 ??)( XE若 X服從 則),( 2??N??)( XE若 X服從參數(shù)為 的泊松分布，則?由隨機變量數(shù)學(xué)期望的定義，不難計算得： 這意味著，若從該地區(qū)抽查很多個成年男子，分別測量他們的身高，那么，這些身高的平均值近似是 . )( ?? ?XE 已知某地區(qū)成年男子身高 X~ ),.( 2681 ?N三、隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 1. 問題的提出： 設(shè)已知隨機變量 X的分布，我們需要計算的不是 X的期望，而是 X的某個函數(shù)的期望，比如說 g(X)的期望 . 那么應(yīng)該如何計算呢？ 如何計算隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 ? 一種方法是，因為 g(X)也是隨機變量，故應(yīng)有概率分布，它的分布可以由已知的 X的分布求出來 . 一旦我們知道了 g(X)的分布，就可以按照期望的定義把 E[g(X)]計算出來 . 使用這種方法必須先求出隨機變量函數(shù)g(X)的分布，一般是比較復(fù)雜的 . 那么是否可以不先求 g(X)的分布而只根據(jù) X的分布求得 E[g(X)]呢？ 下面的基本公式指出，答案是肯定的 . 類似引入上述 E(X)的推理，可得如下的基本公式 : 設(shè) X是一個隨機變量， Y=g(X)，則 ??????????????連續(xù)型離散型XdxxfxgXpxgXgEYE kkk,)()(,)()]([)( 1當(dāng) X為離散型時 ,P(X= xk)=pk 。1(qqp??p1? 求和與求導(dǎo) 交換次序 無窮遞縮等比 級數(shù)求和公式 D(X)=E(X2)[E(X)]2 ?????1122 )(kkpqkXE])1([1111 ???????? ???kkkk kqqkkp??????1)(kkqqp+E(X) pqqqp 1)1( ?????pqqp 1)1(23 ??? ppq 122 ?? 22pp??22pp??21p? 21pp??三、方差的性質(zhì) 1. 設(shè) C是常數(shù) ,則 D(C)=0。(kkqp????1)39。 n1天每天出一件廢品 。 200小時 因此，在對隨機變量的研究中，確定某些數(shù)字特征是重要的 . 我們先介紹隨機變量的數(shù)學(xué)期望 . 在這些數(shù)字特征中，最常用的是 期望 和 方差 隨機變量的數(shù)學(xué)期望是概率論中最重要的概念之一 . 它的定義來自習(xí)慣上的平均概念 . 我們從離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望開始 . 一、離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望 概念的引入： 某車間對工人的生產(chǎn)情況進(jìn)行考察 . 車工小張每天生產(chǎn)的廢品數(shù) X是一個隨機變量 . 如何定義 X的平均值呢？ 某電話交換臺每天 8:009:00收到的呼叫數(shù)X是一個隨機變量 . 如何定義 X的平均值即該交換臺每天 8:009:00收到的平均呼叫數(shù)呢？ 我們來看第一個問題 . 若統(tǒng)計 100天 , 例 1 某車間對工人的生產(chǎn)情況進(jìn)行考察 . 車工小張每天生產(chǎn)的廢品數(shù) X是一個隨機變量 . 如何定義 X的平均值呢？ 32天沒有出廢品 。 當(dāng) X為連續(xù)型時 ,X的密度函數(shù)為 f(x). ??????????????連續(xù)型離散型XdxxfxgXpxgXgEYE kkk,)
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