【正文】 生和研究生必須掌握的基本工具。當(dāng) x 的長(zhǎng)度小于 n 時(shí)， fft函數(shù)在 x的尾部補(bǔ)零，以構(gòu)成 n 點(diǎn)數(shù)據(jù)；當(dāng) x 的長(zhǎng)度大于 n， fft 函數(shù)會(huì)截?cái)嘈蛄?x。 用 MATLAB 提供的子函數(shù)進(jìn)行快速傅里葉變換時(shí)，從理論學(xué)習(xí)可知， DFT 是唯一在時(shí)域 和頻域均為離散序列的變換方法，它適用于有限長(zhǎng)序列。)。t39。 f=fft(x,N)。 m=zeros(N)。) title(39。 t=max(f)。點(diǎn) FFT39。 圖 41 中，在點(diǎn)數(shù) n=1,2,14,15 外，還有其他值，而在 N=32， N=64 時(shí)只有幾根譜線有值，其它處為 0，原因是圖 41 中信號(hào)發(fā)生泄漏，信號(hào)的頻率成分泄漏到周圍一些離散頻率點(diǎn)上。 x1=cos(20*2*pi*n*T)。ylabel(39。 xlabel(39。)。 X1=abs(fft(x1,N))。)。)。 N=32。stem(n,x1)。合序列 39。X1(k)39。 Fs=64。n39。 subplot(4,2,8)。 title(39。這里討論的 x(n)與 X(k)均為有限長(zhǎng)序列，所以這里的對(duì)稱性是指關(guān)于2N 點(diǎn)的對(duì)稱性。t=n/fs。頻率 /\itHz39。 %信號(hào) y=fft(x,N)。 ylabel(39。 y=fft(x,N)。振幅 39。t=n/fs。頻率 /\itHz39。由此可以看出，不同頻率的正弦信號(hào)疊加，在頻域當(dāng)中互相分離互不影響。與圖 1相比較，采用 128 點(diǎn)和 1024 點(diǎn)的相同頻率的振幅是有不同的表現(xiàn)值。我們畢業(yè)以后工作，可以進(jìn)入設(shè)備制造商、 運(yùn)營(yíng)商、專有服務(wù)提供商以及銀行等領(lǐng)域工作。 信息處理前景可謂前途無(wú)可限量 ,隨著社會(huì)的發(fā)展 ,信息交流將越發(fā)頻繁 ,在信息充斥的世界里 ,信息處理將越發(fā)被需要 ,發(fā)展前景 廣闊。最后，《基于 FFT 的連續(xù)信號(hào)譜分析》得以基本完成。 展望 目前，信號(hào)處理課群體系正逐步成熟，并得到國(guó)內(nèi)高校的認(rèn)可，其體現(xiàn)了理論與實(shí)踐的有機(jī)結(jié)合，體現(xiàn)了原理、方 法和技術(shù)的有機(jī)結(jié)合。實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)，通過(guò)動(dòng)手操作，理論與實(shí)際結(jié)果相結(jié)合，才能更好的理解和掌握知識(shí)，為我所用。加大噪聲的幅值之后將分辨不出原信號(hào)的頻率。圖 結(jié)果如下： 圖 45 信號(hào)頻譜 分析： 圖 1 和圖 2取相同的采樣頻率 fs=100 和數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù) N=1024，不同的是圖 2采用兩種不同幅值和頻率的正弦信號(hào)疊加。 %頻率序列 subplot(2,2,4),plot(f(1:N/),yy(1:N/))。 %改變采樣點(diǎn)數(shù) N=128。)。 grid on。頻率 /\itHz39。圖 grid on。 %頻率序列 subplot(2,2,1),plot(f,yy)。B=30。 由合序列可知，兩信號(hào)時(shí)域疊加，其頻譜亦為線性疊加。X1(k)39。復(fù)數(shù)序列 39。stem(n,x1)。 N=32。)。)。 X1=abs(fft(x1,N))。)。 xlabel(39。ylabel(39。 x1=sin(10*2*pi*n*T)。 title(39。 subplot(4,2,2)。n39。 Fs=64。 運(yùn)行如下 ： 當(dāng)輸入 16時(shí) ， 圖 41 N=16時(shí) x(t)的 DFT 當(dāng)輸入 32 時(shí)， 圖 42 N=32時(shí) x(t)的 DFT 湖北理工學(xué)院 畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 ) 23 當(dāng)輸入 64 時(shí)， 圖 43 N=32時(shí) x(t)的 DFT 分析： sT 相同，當(dāng) N 越大，在所給范圍內(nèi)等間隔抽樣點(diǎn)數(shù)越多，且時(shí)域信號(hào)的長(zhǎng)度 sL NT? 保留得越長(zhǎng)，則分辨率越高，頻譜特性誤差越小。%39。.39。) ylabel(39。)。x(t)時(shí)域波形 39。 plot(t,x)。 湖北理工學(xué)院 畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 ) 21 解答 程序如下 : N=input(39。采用 n點(diǎn) IFFT。當(dāng) x 的長(zhǎng)度為 2的冪次方時(shí)，則 fft函數(shù)采用基2的 FFT 算法，否則采用稍慢的混合基算法。這些工具箱的算法是開(kāi)放可拓展的。 (5) nkNW 的確定 對(duì)第 m級(jí)，一個(gè)蝶形運(yùn)算兩節(jié)點(diǎn)的“距離”為 12m? ，于是第 m 級(jí)的一個(gè)蝶形計(jì)算可寫(xiě)成 111( ) ( ) ( 2 )mrm m m NX k X k X k W???? ? ? 11( 2 ) ( ) ( 2 )m m rm m m NX k X k X k W??? ? ? ? 1()mXk? 1()mXj? 11( ) ( ) ( ) rm m m NX k X k X j W???? 11( ) ( ) ( ) rm m m NX j X k X j W???? 湖北理工學(xué)院 畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 ) 18 圖 37 描述倒位序的樹(shù)狀圖 表 31 自然順序及相應(yīng)的倒位序 自然順序 二進(jìn)制數(shù) 倒位序二進(jìn)制數(shù) 倒位序順序 0 000 000 0 1 001 100 4 2 010 010 2 3 011 110 6 4 100 001 1 5 101 101 5 6 110 011 3 7 111 111 7 x(000) x(100) x(010) x(110) x(111) x(011) x(101) x(001) 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 湖北理工學(xué)院 畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 ) 19 4 數(shù)字信號(hào)處理 MATLAB實(shí)現(xiàn)的基本知識(shí) MATLAB 簡(jiǎn)介 MATLAB軟件最初是由美國(guó)新墨西哥大學(xué)計(jì)算機(jī)系 Cleve Moler 教授用 FORTRAN語(yǔ)言編寫(xiě)的矩陣計(jì)算軟件，目前該軟件是 Math Works 公司的產(chǎn)品。 x(0) x(4) x(6) x(1) x(5) x(2) x(3) x(7) X(0) X(1) X(2) X(3) X(4) X(6) X(5) X(7) 湖北理工學(xué)院 畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 ) 17 圖 36 蝶形運(yùn)算結(jié)構(gòu) (2)倒位序規(guī)律 按照原位計(jì)算， FFT 的輸出 X(k)在存儲(chǔ)單元中按順序排列，即 X(0),X(1)， ...，X(7)的順序排列，但是這時(shí)輸入 x(n)卻不是按自然順序存儲(chǔ)的，按 x(0),x(4)， ...，x(7)的順序依次存入存儲(chǔ)單元，看起來(lái)好像是“雜亂無(wú)序”的，實(shí)際是有規(guī)律可循的，即倒位序。 31( 0) ( 0) ( 0)x x x?? 41( 0 ) (1 ) ( 2 )x x x?? 31(1 ) ( 2 ) ( 4 )x x x?? 41(1 ) ( 3 ) ( 6 )x x x?? 4N 點(diǎn) DFT 4N 點(diǎn) DFT 1(0)X 1(1)X 1(2)X 1(3)X 湖北理工學(xué)院 畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 ) 15 圖 34 將一個(gè) N點(diǎn) DFT分成四個(gè) 4N 點(diǎn) DFT 運(yùn)算量 由圖 35 可知，當(dāng) 2LN? 時(shí) (L表示級(jí)數(shù) )，每級(jí)都由 2N 個(gè)蝶形運(yùn)算組成，每個(gè)蝶形運(yùn)算有一次復(fù)乘，二次復(fù)加，因而每級(jí)運(yùn)算都需 2N 次復(fù)乘和 N 次復(fù)加，因此 L級(jí)運(yùn)算共需 復(fù) 乘數(shù) 2lo g22f NNm L N?? 復(fù)加數(shù) 2logfa NL N N?? 因?yàn)?0 1NW? ， 4NNWj?? ，這幾個(gè)系數(shù)都不用乘法運(yùn)算。 據(jù)此，一個(gè) N 點(diǎn) DFT 分成兩個(gè) 2N 點(diǎn) DFT時(shí)，若直接計(jì)算 2N 點(diǎn) DFT，則每個(gè) 2N 點(diǎn) DFT 只需要 24N 次復(fù)數(shù)乘法， ( 1)22NN? 次復(fù)數(shù)加法。如果不滿足這個(gè)條件，可以加上若干零值點(diǎn)，使達(dá)到這一要求，即為基 2FFT。因而，直接計(jì)算DFT，乘法次數(shù)和加法次數(shù)都是和 2N 成正比的，當(dāng) N 很大時(shí)運(yùn)算量顯而易見(jiàn)，例如，當(dāng) N＝ 8， DFT 需 64 次復(fù)乘，而當(dāng) N＝ 1024 時(shí)， DFT 需一百多萬(wàn)次復(fù)運(yùn)算，這對(duì)實(shí)用性很強(qiáng)的信號(hào)處理來(lái)說(shuō)，對(duì)計(jì)算速度要求是太高了。頻域若是限帶信號(hào)，則只有時(shí)域截?cái)鄷r(shí)形成頻域的泄露而造成頻域的誤差；如果頻域不是限帶信號(hào)，則時(shí)域抽樣和時(shí)域截?cái)喽紩?huì)造成頻域的誤差。時(shí)域截?cái)嗑褪窍喑?，則在頻域表現(xiàn)為周期性卷積，即 ( ) * ( )jw jwX e D e ，卷積的結(jié)果造成頻譜的“擴(kuò)散”，也就是頻譜的“泄露”，使得形成的信號(hào)頻譜與原來(lái) ()jwXe 的頻譜并不相同，也就是說(shuō)，時(shí)域截?cái)嘣斐深l域泄露，使頻域產(chǎn)生誤差。 由于滿足：時(shí)域周期 ?頻域離散 時(shí)域連續(xù) ?頻域非周期 所以，需將連續(xù)周期信號(hào)與 DFS 聯(lián)系起來(lái)，就需要進(jìn)行如下操作： 先對(duì)時(shí)域抽樣 ( ) ( ) ( )x n x nT x t??，當(dāng) t nT? 時(shí)，則 湖北理工學(xué)院 畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 ) 7 ( 1)dt n T nT T? ? ? ? 0 10 0NTndt T????? 設(shè)一個(gè)周期內(nèi)的樣點(diǎn)數(shù)為 N，則式 (24)變?yōu)? 02110 000 1( ) ( ) ( )NN jk njk n T NnnTX jk x n T e x n eTN ??? ?????? ? ??? 在 0T （一個(gè)周期）時(shí)間段內(nèi)抽樣間隔為 T，共有 0TN T? 個(gè)抽樣點(diǎn)。下面我們做具體介紹。理論上離散傅里葉變換除作為有限長(zhǎng)序列的一種傅里葉表示及其重要之外，且在實(shí)際應(yīng)用中有著各種高效快速計(jì)算 DFT，如快速傅里葉變換（ FFT），因而離散傅里葉變換在數(shù)字信號(hào)處理領(lǐng)域中起著核心作用。通過(guò)對(duì)信號(hào)進(jìn)行頻譜分析，我們可以得到信號(hào)的頻譜結(jié)構(gòu)，了解信號(hào)的頻率成分或系統(tǒng)的特征。我們知道，為增大了數(shù)字信號(hào)處理的機(jī)動(dòng)性，使數(shù)字信號(hào)處理可以在頻域采用數(shù)值計(jì)算的方式進(jìn)行，對(duì)有限長(zhǎng)序列采用離散傅里葉變換 (DFT)實(shí)現(xiàn)頻域的離散化。 于是，我們討論將模擬信號(hào)轉(zhuǎn)化成數(shù)字信號(hào)的過(guò)程。Discrete Fourier Transform。 畢 業(yè) 設(shè) 計(jì)（論文） 題 目 ： 基于 FFT 的連續(xù)信號(hào)譜分析 學(xué) 院： 電氣與電子信息工程學(xué)院 專業(yè)名稱： 電子信息工程 學(xué) 號(hào)： 學(xué)生姓名： XX 指導(dǎo)教師： 2020 年 05 月 25 日 摘 要 2 離散傅里葉變換 (DFT)的快速算法 FFT 的出現(xiàn)，使 DFT 在數(shù)字通信、語(yǔ)音信號(hào)處理、圖像處理、功率譜估計(jì)、系統(tǒng)分析與仿真等各個(gè)領(lǐng)域中都得到了廣泛的應(yīng)用。 understand errors and their causes of the possible analysis. In that experiment,we demonstrate some waveforms and transforms of the basic signals, so that we can intuitively understand and grasp the Basic knowledge of signals and systems and digital signal processing. Key words:spectrum analysis。對(duì)于本課題，我們需要了解的是連續(xù)時(shí)間 信號(hào)，即時(shí)間是連續(xù)的，幅值可以使連續(xù)的也可以是離散的，特別地，我們一般所說(shuō)的連續(xù)信號(hào)指的是模擬信號(hào)，即時(shí)間，幅值均連續(xù)，它是上一種信號(hào)的特例。傅里葉變換是聲學(xué)、語(yǔ)音、電信等領(lǐng)域中的一種重要方法。生活中對(duì)信號(hào)進(jìn)行頻譜分析具有十分重要的意義。 湖北理工學(xué)院 畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 ) 3 2 離散傅里葉變換（ DFT） 我們知道，有限長(zhǎng)序列在數(shù)字信號(hào)處理 中很重要，而反映它的“有限長(zhǎng)”特點(diǎn)的一種工具是離散傅里葉變換。從而可看出，對(duì)信號(hào)譜分析只是近似的。 NN*( ) ( ) x ( ) ( ) ( ) ( )*( ) ( ) ( ) * D ( ) ( ) ( )Xa Nj w j w j wa Nt x n n d n n nj X X k kxx xe e eX X????????? ???? ????? ? ??????????? ? ???? ? ? ????取 一 個(gè) 周 期抽 樣 截 斷 周 期 延 拓周 期 延 拓取 一 個(gè) 周 期卷 積 周 期 延 拓 圖 21 連續(xù)非周期信號(hào)的 傅里葉變換模型 對(duì)連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)的 DFS 逼近 連續(xù)時(shí)間周期信號(hào) x(t)的傅里葉級(jí)數(shù)為 0 00 01( ) ( ) jk tTX jk X t d tT