【正文】 是無窮大量，記作： 定義二：若變量 u的極限為 0，就說變量 u是無窮小量，記作： 性質(zhì)一：若 u是無窮大量，則 1/u是無窮小量 若 u是無窮小量，則 1/u是無窮大量。 ∴f(x) 在（ ∞ ， 1），（ 1， 1），（ 1， +∞ ）上處處連續(xù)。 零值定理的正確性是明顯的。 （一）導(dǎo)數(shù)的概念 用 表示變量 u 的初值， u 表示變量 u 的終值，則符號(hào) 叫變量 u 的增量或變化量。 一個(gè)函數(shù) f(x)在某一點(diǎn) 可導(dǎo)與該點(diǎn) 連續(xù)有下面的關(guān)系： 證：因?yàn)?f(x)在 x= 可導(dǎo) 請(qǐng)學(xué)員注意，本定理只說明函數(shù) f(x)在某一點(diǎn)可導(dǎo)，則在該點(diǎn)一定連續(xù)，即可導(dǎo)是連續(xù)的充分條件，反過來未必正確，我們可以舉一個(gè)例子說明函數(shù) f(x)在一點(diǎn)連續(xù)，在該點(diǎn)未必可導(dǎo)，請(qǐng)看： 關(guān)于導(dǎo)數(shù)，左導(dǎo)數(shù)，右導(dǎo)數(shù)有下面關(guān)系： 用定義求函數(shù) f(x)的左右導(dǎo)數(shù)是很不方便，但是在特殊情況下可以比較方便的求函數(shù)的左導(dǎo) 數(shù)和右導(dǎo)數(shù) 上面的定理說明， f(x)的左導(dǎo)數(shù)值 等于 f(x)在點(diǎn) 的左函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)值；右導(dǎo)數(shù)值 等于 f(x)的右函數(shù) 在點(diǎn) 的導(dǎo)數(shù)值。 （解一）：先寫出復(fù)合過程， （解二）直接用鏈導(dǎo)公式求導(dǎo) （解一）先寫出復(fù)合過程 （解二）直接用鏈導(dǎo)公式求導(dǎo) 如果復(fù)合函數(shù)由三個(gè)可導(dǎo)函數(shù)復(fù)合而成，鏈導(dǎo)公式可以推廣為： （解一）先寫出復(fù)合過程 （解二）直接用鏈導(dǎo)公式 解：直接用鏈導(dǎo)公式 當(dāng)函數(shù) y=f(x)中同時(shí)既有四則運(yùn)算又有復(fù)合運(yùn)算，而且四則運(yùn)算在外層時(shí)，應(yīng)先進(jìn)行四則運(yùn)算。 下面是第六節(jié) 典型例題： 例二：填空 ① ≈ ② 解： 例三：求 的近似值。 （ 1） 它說明價(jià)格 p 增加 1％時(shí)，售量 D 減少 當(dāng) P＝ 200 時(shí)，售量 D＝ 1000400＝ 600 ∴ 收入 R＝ PD＝ 200600＝ 120200 （ 2） P＝ 250 時(shí) 它說明價(jià)格 P 增加 1％時(shí)，售量減少 1％ 當(dāng) P＝ 250 時(shí)，售量 D＝ 500 ∴ 收入 R＝ DP＝ 500250＝ 125000 （ 3） P＝ 300 時(shí)， 它說明價(jià)格增加 1％時(shí)，售量減少（ 3/2） % 當(dāng) P＝ 300 時(shí)，售量 D＝ 400 ∴ 收入 R＝ PD＝ 300400＝ 120200 由本例可見，價(jià)格過高過低收入都低，只有需求彈性為 1 時(shí)的收入最高。 （ 8）質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為 ，求時(shí)刻 t＝ 2 時(shí)的速度。 Ⅶ 會(huì)求曲線的水平漸近線和垂直漸近線。 ③ f (1)=1， f(2)=4， ∴ 在 [1， 2]上滿足第三個(gè)條件。 例三：證明不等式： arctanb－ arctana≤b a ， (a＜ b) 解： 令 f(x)= arctan x ∴ 處處存在。 ∴ x=c 是方程 的根。 又 f(1)=1， f(1)=1，所以在端點(diǎn)上函數(shù)值相等，滿足第三個(gè)條件 因此這函數(shù)在開間內(nèi)不是處處可導(dǎo)，只少在 0 這一點(diǎn)不可導(dǎo)的，因此不滿足第二個(gè)條件。 Ⅴ 會(huì)求出數(shù)在閉區(qū)間上的最值，并會(huì)求簡(jiǎn)單應(yīng)用問題的最值。 （ 6）在曲線 上求一點(diǎn)，使過該點(diǎn)的切線與直線 y＝ 5x＋ 1 平行，并求出該切線方程。 需求彈性 ED/EP 的經(jīng)濟(jì)意義是：當(dāng)價(jià)格 P 增加 1%時(shí)，需求量減少 ED/EP% 典型例題 例一： 例二：已知產(chǎn)品的供給量 s=100+，求供給彈性及價(jià)格 p=10 時(shí)的供給彈性值 。 下面我們把 dx 叫函數(shù) y=f(x)的微分，記作 dy，即 y 的微分等于 y 的導(dǎo)數(shù)乘 X 的微小增加量 dx，即： ， dx 也叫 x 的微分 由微分定義知道： ∴ y 的導(dǎo)數(shù) 也可以理解為 y 的微分 dy 與 x 的微分 dx 的商，因此也叫微商。 （ 1）復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 下面，我們不加推導(dǎo)的介紹復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式： 上面的公式叫鏈導(dǎo)公式，其中 典型例題 解：先寫出復(fù)合過程 ， 解：先寫出復(fù)合過程， 在經(jīng)過多次練習(xí)對(duì)鏈導(dǎo)公式掌握熟練以后， 復(fù)合過程可以記在心里而不必寫出，直接用鏈導(dǎo)公式寫出結(jié)果。 例二：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 以后，我們也將函數(shù) f(x)在點(diǎn) x=a 處的導(dǎo)數(shù)稱為導(dǎo)數(shù) 在點(diǎn) x=a 處的值， 簡(jiǎn)稱函數(shù) f(x)在 x=a 處的導(dǎo)數(shù)（值）。 二、基本概念，主要定理和公式。而 0＜ x＜ 1 時(shí)， f(x)也取不到最小值 1 定理（零值定理） 如果 f（ x）在閉區(qū)間 [a,b]上處處連續(xù)，而且 f(x)在端點(diǎn)的函數(shù)值 f(a),f(b)異號(hào)。 解：（ ⅰ ）在 x=0 點(diǎn)處 f(0)=1 ∴f(x) 在點(diǎn) x＝ 0 處連續(xù) （ ⅱ ）在 x=2 處 ∴f(x) 在點(diǎn) x=2處不連續(xù) 例三：已知 在點(diǎn) x＝ 0連續(xù)，求 a， b： 對(duì)于初等函數(shù)，有下面的結(jié) 論 定理：（ 1）一切初等函數(shù)在它有意義的區(qū)間上處處連續(xù) （ 2）一切初等函數(shù)，在它的無意義點(diǎn)上一定間斷 典型例題 例一：求函數(shù) 的間斷點(diǎn)和連續(xù)區(qū)間。 典型例題： 例一：討論數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 的斂散性。 二、基本概念，主要公式，典型例題 （一）數(shù)列極限的概念 定義一：一列有順序的數(shù) 叫數(shù)列，簡(jiǎn)記作 ，其中 叫第一項(xiàng)， 叫第二項(xiàng)， 叫第 n 項(xiàng)。 典型題 例一 若 解： ， 求 ① f(x), ② f(x)+f(x) 解： 例三 求： y=f(x)的反函數(shù) y=f－ 1(x) 解： （ 1） 1≤x＜ 1 時(shí)， y=x1,所以 y 的取值范圍為 2≤y＜ 0。 ① y=u2,u=sinv,v=3x+1 解： y=u2=(sinv)2=[sin(3x+1)]2 簡(jiǎn)寫為 y=sin2(3x+1) ② y=lnu,u=cosv,v=x2+1 解： y=lncosv=lncos(x2+1) 例二 討論 y=lnu,u=2+sinx 是否能復(fù)合為復(fù)合函數(shù)。 2．函數(shù)的幾種特性。 ∴ Df： （ 3） 解：取對(duì)數(shù)的數(shù)只能大于 0，所以有 分子的根和分母的根分別為 x1=2,x2=5, 所以不等式的解只能在 取得，經(jīng)驗(yàn)算知解為 ∴ Df： （ 4） 解：取反正弦或反余弦的數(shù)只能在 1 與 1 之間，所以有 解得 ∴ Df：［ 4， 2］ 例二 解： f(1)表示將函數(shù) f(x)中的 x 換為 1，叫函數(shù) f(x)在 x 取 1 時(shí)的值，所以 例三，已知 f(x)的定義域?yàn)?(2， 5］，求 f(x－ 2)的定義域 解： f(x)的定義域?yàn)?(2， 5］，即 2＜ x≤5 ∴ f(u)的定義域?yàn)?2＜ u≤5 ∴ f(x－ 2)的定義域?yàn)?2＜ x－ 2≤5 解得 4＜ x≤7 ∴ f(x－ 2)的定義域?yàn)?Df：（ 4， 7］ 例四 已知 g(x)的定義域?yàn)椋?0， 9］，求 f(x)=g(x－ 2)+g(x+2)的定義域 解：因?yàn)?g(x)的定義域?yàn)椋?0， 9］，即 0≤x≤9，所以 g(x－ 2)的定義域?yàn)?0≤x－ 2≤9，解得 2≤x≤11， 同理 g(x+2)的定義域?yàn)?0≤x+2≤9 解得 2≤x≤7 ∴ f(x)的定義域?yàn)? 它的公共部分為 ∴ f(x)的定義域 Df:[2,7] 例五 下列各對(duì)函數(shù)是否相同？若不同，請(qǐng)說明 x 取何值時(shí)是相同的 （ 1） 解：在 中， x 的取值范圍為 ，而在 中， x 的取值范圍為，因?yàn)?x 取值范圍不同，所以它們是不同的函數(shù)，例如 無意義，而 有意義且 。 （三）考核要求 ，不定積分的基本性質(zhì)，要求達(dá)到 領(lǐng)會(huì) 層次。 ，要求達(dá)到 綜合應(yīng)用 層次 熟記基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式并能熟練運(yùn)用 ，要求達(dá)到 簡(jiǎn)單應(yīng)用 層次 清楚高階導(dǎo)數(shù)的定 義，會(huì)求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù) 清楚二階導(dǎo)數(shù)表示作直線運(yùn)動(dòng)的物體的加速度 ，要求達(dá)到 領(lǐng)會(huì) 層次。 本章重點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義和作為變化率的實(shí)際意義，各種求導(dǎo)法則和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及微分公式。 ，要求達(dá)到 簡(jiǎn)單應(yīng)用 層次。所以，學(xué)好本章將為以后的學(xué)習(xí)奠定必要的基礎(chǔ)。 知道函數(shù)的反函數(shù)的概念，清楚單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù) 會(huì)求比較簡(jiǎn)單的定義域、值域和圖形與其反 函數(shù)的定義域、值域和圖形之間的關(guān)系 ，要求達(dá)到 簡(jiǎn)單應(yīng)用 層次。 本章重點(diǎn)：函數(shù)概念和基本初等函數(shù) 難點(diǎn)：函數(shù)的復(fù)合 （三）考核要求 ，要求達(dá)到 領(lǐng)會(huì) 層次。 ，要求達(dá)到 識(shí)記 層次。 知道什么是基本初等函數(shù)，熟悉其定義域、基本特性和圖形（不含余切、正割、余割及其反函數(shù)的圖形）。 難點(diǎn)：極限的概念 （三）考核要求 ，要求達(dá)到 領(lǐng)會(huì) 層次 知道數(shù)列的定義、通項(xiàng)及其在數(shù)軸上的表示 知道單調(diào)數(shù)列和有界數(shù)列，會(huì)判別比較簡(jiǎn)單的數(shù)列的單調(diào)性和有界性 理解數(shù)列收斂的定義及其幾何意義（不要求 ε N 描述） ，要求達(dá) 領(lǐng)會(huì) 層次。 會(huì)找函數(shù)的間斷點(diǎn) ，要求達(dá)到 識(shí)記 層次。領(lǐng)會(huì) 層次。 本章重點(diǎn)：拉格朗日中值定理，洛必達(dá)法則，函數(shù)單調(diào)性的判定，函數(shù)的極值、最值及其求法和實(shí)際應(yīng)用。 本章總的要求是：理解多元函數(shù)概念和二元函數(shù)的幾何意義；清楚偏導(dǎo)數(shù)和全微分的定義；了解高階偏導(dǎo)數(shù)的定義及混合偏導(dǎo)數(shù)在一定條件下與對(duì)變量求導(dǎo)次序的無關(guān)性；掌握復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù)的求導(dǎo)法則；理解二元函數(shù)的極值概念并掌握其求法；理解二重 積分的定義及其幾何意義；掌握二重積分的計(jì)算方法。 （ 2） 解： y=x 的定義域是 ，而 的定義域是 。 ② 在 ，則有 所以在 是增加的，且記區(qū)間 是 的增區(qū)間 （ 2）函數(shù)的奇偶性 偶函數(shù)的圖形恒有關(guān)于 y 軸的對(duì)稱點(diǎn)（ x,y）與（ x,y），所以偶函數(shù)的圖形關(guān)于 y軸對(duì)稱 奇函數(shù)的圖形恒有關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)（ x， y）與（ x,y），所以奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，見下圖。 ② 冪函數(shù) 函數(shù) y=xa叫冪函數(shù) 在冪函數(shù)中，最常見的有下面幾種情形。 ，會(huì)求等比級(jí)數(shù)的和。 典型例題 ：討論下列數(shù)列的斂散性，若收斂，請(qǐng)求出它的極限： 解： ，當(dāng) n 無限變大時(shí)，觀察下表： n 1 2 3 4 5 6 7 … 1/2 1/4 1/8 1/16 1/32 1/64 1/128 … 可見 n→∞ 時(shí)， 與數(shù) 0無接近，即： 解：數(shù)列 d的第 n項(xiàng) 在（－ 1）與 1之間跳動(dòng)，故 不與任何常數(shù)接近，故數(shù)列沒有極限，它是發(fā)散的。 性質(zhì)二：（ 1）無窮小量乘無窮小量仍是無窮小量 （ 2）有界變量乘無窮小量是無窮小量 典型例題： 例一：當(dāng) 時(shí)，下列變量中哪個(gè)是無窮大量？哪個(gè)是無窮小量？ 例二：求下列極限 定義三：若 α→0 ， β→0 ，即 α 與 β 都是無窮小量 （ 1） 若 ，就說 β 是 α 的高階無窮小，記作 β ＝ o(α) （ 2） 若 ，就說 β 是 α 的同階無窮小，記作 β ＝ O(α) （ 3） 若 ，就說 β 與 α 等價(jià)，記作 β ～ α （ 4） 若 ，就說 β 是 α 的低階無窮小。 （ ⅱ ） f(x)在 x＝ 1,x=1 上無意義，所以 f(x)在 x＝ 1， x＝ 1處間斷。我們用下圖說明： 由于 f（ a）， f（ b）的異號(hào)，所以曲線 y＝ f（ x）在 x＝ a