【正文】 2x =12?xxf′ ( 12?x ) ［例 2］利用導(dǎo)數(shù)求和 (1)Sn=1+2x+3x2+? +nxn－ 1(x≠ 0,n∈ N*) 中國(guó)特級(jí)教師高考復(fù)習(xí)方法指導(dǎo) 〈數(shù)學(xué)復(fù) 習(xí)版〉 (2)Sn=C1n +2C2n +3C3n +? +nCnn ,(n∈ N*) 命題意圖：培養(yǎng)考生的思維的靈活性以及在建立知識(shí)體系中知識(shí)點(diǎn)靈活融合的能力 .屬 ★★★★級(jí)題目 . 知識(shí)依托：通過對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)進(jìn)行聯(lián)想，合理運(yùn)用逆向思維 .由求導(dǎo)公式 (xn)′ =nxn－ 1,可聯(lián)想到它們是另外一個(gè)和式的導(dǎo)數(shù) .關(guān)鍵要抓住數(shù)列通項(xiàng)的形式結(jié)構(gòu) . 錯(cuò)解分析：本題難點(diǎn)是考生易犯思維定勢(shì)的錯(cuò)誤，受此影響而不善于聯(lián)想 . 技巧與方法 ：第 (1)題要分 x=1 和 x≠ 1 討論，等式兩邊都求導(dǎo) . 解： (1)當(dāng) x=1 時(shí) Sn=1+2+3+? +n=21 n(n+1)。? n=n！ 答案： n! 三、 ：設(shè) l 與 C1相切于點(diǎn) P(x1,x12),與 C2相切于 Q(x2,－ (x2－ 2)2) 對(duì)于 C1： y′ =2x,則與 C1相切于點(diǎn) P 的切線方程為 y－ x12=2x1(x－ x1),即 y=2x1x－ x12 ① 對(duì)于 C2： y′ =－ 2(x－ 2),與 C2 相切于點(diǎn) Q 的切線方程為 y+(x2－ 2)2=－ 2(x2－ 2)(x－ x2),即 y=－ 2(x2－2)x+x22－ 4 ② ∵兩切線重合，∴ 2x1=－ 2(x2－ 2)且－ x12=x22－ 4,解得 x1=0,x2=2 或 x1=2,x2=0 ∴直線 l 方程為 y=0 或 y=4x－ 4 ： (1)注意到 y＞ 0,兩端取對(duì)數(shù)，得 lny=ln(x2－ 2x+3)+lne2x=ln(x2－ 2x+3)+2x xxexxexxxxxxyxxxxyxxxxxxxxxxxyy2222222222222)2(2)32(32)2(232)2(232)2(223222232)32(1????????????????????????????????????????? (2)兩端取對(duì)數(shù)，得 ln|y|= 31 (ln|x|－ ln|1－ x|), 兩邊解 x 求導(dǎo)， 得 中國(guó)特級(jí)教師高考復(fù)習(xí)方法指導(dǎo) 〈數(shù)學(xué)復(fù) 習(xí)版〉 3 1)1(3 1)1( 131)1(131)111(311xxxxyxxyxxxxyy????????????????? ：設(shè)經(jīng)時(shí)間 t 秒梯子上端下滑 s 米 ,則 s=5－ 2925 t? ,當(dāng)下端移開 m 時(shí)， t0= 157341 ?? ,又 s′ =－ 21 (25－ 9t2) 21? 178。 1 是函數(shù) f(x)的極值點(diǎn)， ∴ x=177。 f(β )的值； (2)證明 f(x)是［ α ， β ］上的增函數(shù)； (3)當(dāng) a 為何值時(shí)， f(x)在區(qū)間［ α ， β ］上的最大值與最小值之差最小？ 中國(guó)特級(jí)教師高考復(fù)習(xí)方法指導(dǎo) 〈數(shù)學(xué)復(fù) 習(xí)版〉 ［科普美文］新教材中的 數(shù)學(xué)科學(xué)具有高度的綜合性、很強(qiáng)的實(shí)踐性，不斷的發(fā)展性，中學(xué)數(shù)學(xué)新教材打破原教材的框架體系，新增添了工具性、實(shí)踐性很強(qiáng)的知識(shí)內(nèi)容，正是發(fā)展的產(chǎn)物 .新教材具有更高的綜合性和靈活多樣性，更具有朝氣與活力，因此，把握新教材的脈搏，培養(yǎng)深刻嚴(yán)謹(jǐn)靈活的數(shù)學(xué)思維，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)成為燃眉之需 . 新教材提升與增添的內(nèi)容包括簡(jiǎn)易邏輯、平面向量、空間向量、線性規(guī)劃、概率與統(tǒng)計(jì)、導(dǎo)數(shù)、研究型課題與實(shí)習(xí)作業(yè)等，這使得新教材中的知識(shí)內(nèi)容立體交叉，聯(lián)系更加密切，聯(lián)通的渠道更多，并且富含更高的實(shí)用性 .因此在高考復(fù)習(xí)中，要通過總 結(jié)、編織科學(xué)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，求得對(duì)知識(shí)的融會(huì)貫通，揭示知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系 .做到以下幾點(diǎn)： 一、深刻領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思想方法，把立足點(diǎn)放在提高數(shù)學(xué)素質(zhì)上 .數(shù)學(xué)的思想方法是數(shù)學(xué)的精髓，只有運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，才能把數(shù)學(xué)的知識(shí)與技能轉(zhuǎn)化為分析問題與解決問題的能力，才能形成數(shù)學(xué)的素質(zhì) .知識(shí)是能力的載體，領(lǐng)悟并逐步學(xué)會(huì)運(yùn)用蘊(yùn)含在知識(shí)發(fā)生發(fā)展和深化過程中，貫穿在發(fā)現(xiàn)問題與解決問題過程中的數(shù)學(xué)思想方法，是從根本上提高素質(zhì)，提高數(shù)學(xué)科能力的必由之路，只有通過對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的不斷積累，不斷總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，才能從知識(shí)型向能力型轉(zhuǎn)化，不斷提高學(xué)習(xí)能力 和學(xué)習(xí)水平 . 二、培養(yǎng)用化歸（轉(zhuǎn)化）思想處理數(shù)學(xué)問題的意識(shí) .數(shù)學(xué)問題可看作是一系列的知識(shí)形成的一個(gè)關(guān)系鏈 .處理數(shù)學(xué)問題的實(shí)質(zhì)，就是實(shí)現(xiàn)新問題向舊問題的轉(zhuǎn)化，復(fù)雜問題向簡(jiǎn)單問題的轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)未知向已知的轉(zhuǎn)化。 1)=0 的隱含條件，因而造成了解決問題的最大思維障礙 . 技巧與方法：考查函數(shù) f(x)是實(shí)數(shù)域上的可導(dǎo)函數(shù)，可先求導(dǎo)確定可能的極值，再通過極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，建立由極值點(diǎn) x=177。 g′(0)=g(0)=1178。 (x2+1)′ =f′ ( 12?x )178。 μ ′ =3μ 2(av－ by)′ =3μ 2(av′－ by′ )=3μ 2(av′－ by′ γ ′ ) =3(ax－ bsin2ω x)2(a－ bω sin2ω x) (3)解法一：設(shè) y=f(μ ),μ = v ,v=x2+1,則 y′ x=y′ μ μ ′ v178。 (3)對(duì) f(x)補(bǔ)充定義，使其是 R 上的連續(xù)函數(shù) . 命題意圖：函數(shù)的連續(xù)性，尤其是在某定點(diǎn)處的連續(xù)性在函數(shù)圖象上有最直觀的反映 .因而畫函數(shù)圖象去直觀反映題目中的連續(xù)性問題也就成為 一種最重要的方法 . 知識(shí)依托：本題是分式函數(shù)，所以解答本題的閃光點(diǎn)是能準(zhǔn)確畫 出 它 的圖象 . 錯(cuò)解分析：第 (3)問是本題的難點(diǎn)，考生通過自己對(duì)所學(xué)連續(xù)函數(shù) 定義的了解 .應(yīng)明確知道第 (3)問是求的分?jǐn)?shù)函數(shù)解析式 . 技巧與方法：對(duì)分式化簡(jiǎn)變形，注意等價(jià)性，觀察圖象進(jìn)行解答 . 解： (1)當(dāng) x+2≠ 0 時(shí)，有 x≠－ 2 因此，函數(shù)的定義域是 (－∞ ,－ 2)∪ (－ 2,+∞ ) 當(dāng) x≠－ 2 時(shí)， f(x)= 242??xx =x－ 2, 其圖象如上圖 (2)由定義域知，函數(shù) f(x)的不連續(xù)點(diǎn)是 x0=－ 2. (3)因?yàn)楫?dāng) x≠－ 2 時(shí)， f(x)=x－ 2,所以 )2(lim)(lim22 ?? ???? xxf xx=－ 4. 因此，將 f(x)的表達(dá)式改寫為 f(x)=????????????2)( 4)2( 242xxxx 則函數(shù) f(x)在 R 上是連續(xù)函數(shù) . ［例 2］求證：方程 x=asinx+b(a＞ 0,b＞ 0)至少有一個(gè)正根，且它不大于 a+b. 命題意圖：要判定方程 f(x)=0 是否有實(shí)根 .即判定對(duì)應(yīng)的連續(xù)函數(shù) y=f(x)的圖象是否與 x 軸有交點(diǎn)，因此根據(jù)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，只要找到圖象上的兩點(diǎn)，滿足一點(diǎn)在 x軸上方，另一點(diǎn)在 x 軸下方即可 .本題主要考 查這種解題方法 . 知識(shí)依托：解答本題的閃光點(diǎn)要找到合適的兩點(diǎn)，使函數(shù)值其一為負(fù)，另一為正 . 錯(cuò)解分析：因?yàn)楸绢}為超越方程，因而考生最易想到畫圖象觀察，而忽視連續(xù)性的性質(zhì)在解這類題目中的簡(jiǎn)便作用 . 證明：設(shè) f(x)=asinx+b－ x, 中國(guó)特級(jí)教師高考復(fù)習(xí)方法指導(dǎo) 〈數(shù)學(xué)復(fù) 習(xí)版〉 則 f(0)=b＞ 0,f(a+b)=a178。 A2） =P（ A1） P（ A2） =179。 =. (2)按圖乙的接法求 P（ A）： A=（ A1+A3）178。 A3，由 A1+A2與 A3相互獨(dú)立，則 P（ A） =P（ A1+A2）178。 )=43 . 答案： sin2α +cos2(α +30176。；（ 2）使∠ PED 為銳角 .證明你的結(jié)論 . 5.（★★★★★）已知非零復(fù)數(shù) z1,z2 滿足｜ z1｜ =a,｜ z2｜ =b, ｜z1+z2｜ =c（ a、 b、 c 均大于零），問是否根據(jù)上述條件求出12zz ？ 請(qǐng)說明理由 . 6.（★★★★ ★）是否存在都大于 2的一對(duì)實(shí)數(shù) a、 b(a＞ b)使得 ab,ab ,a– b,a+b 可以按照某一次序排成一個(gè)等比數(shù)列，若存在，求出 a、 b 的值，若不存在，說明理由 . 7.（★★★★★）直線 l 過拋物線 y2=2px(p＞ 0）的焦點(diǎn)且與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，對(duì)于拋物線上另外兩點(diǎn) A、 B 直線 l 能否平分線段 AB？試證明你的結(jié)論 . 8.（★★★★★）三個(gè)元件 T T T3正常工作的概率分別為 、 、 ，將它們的某兩個(gè)并聯(lián)再和第三個(gè)串聯(lián)接入電路，如圖甲、乙、丙所示，問哪一種接法使 電路不發(fā)生故障的概率最大？ 參 考 答 案 ●難點(diǎn)磁場(chǎng) ：如圖 – a與 b， c的夾角為 60176。 +sin20176。 =90? 答案： 86 m 三、 ：設(shè)運(yùn)輸路程為 S（千米），使用汽車、火車、飛機(jī)三種運(yùn)輸工具運(yùn)輸時(shí)各自的總費(fèi)用分別為y1(元 )、 y2(元 )、 y3(元 ).則由題意， ,)2(.)(21 SvmbySvmamvSaSy ?????? SvmbayySvmcy ]2)[(.)10( 213 ?????? ,由 ab,各字母均為正值，所以 y1– y20，即 y2 y3– y2=［ (c– b)– vm52 ］ y3– y20,由 cb 及每字母都是正值，得 cb+ vm52 .所以，當(dāng) cb+ vm52 時(shí) y2y3,由 y2y1即y2最小，當(dāng) bacb+ vm52 時(shí)， y3y2y1,y3最小 . ：（ 1）由表中數(shù)據(jù)，知 T=12，ω = 62 ???T . 由 t=0,y= 得 A+b=. 由 t=3,y=,得 b= ， A=,b= A=21 ， ∴ y= 16cos21 ?t? (2)由題意知，當(dāng) y1 時(shí)，才可對(duì)沖浪者開放 .∴ 16cos21 ?t? 1, t6cos? 0.∴ 2kπ – 2262 ???? ??? kt ,即有 12k– 3t13k+3. 由 0≤ t≤ 24,故可令 k=0,1,2,得 0≤ t3 或 9t15 或 21t≤ 24. ∴在規(guī)定時(shí)間內(nèi)有 6 個(gè)小時(shí)可供沖浪者運(yùn)動(dòng)即上午 9： 00 至下午 15： 00. ：由題意知，每年的經(jīng)費(fèi)是以 12為首項(xiàng)， 4為公差的等差數(shù)列，設(shè)純利潤(rùn) 與年數(shù)的關(guān)系為 f(n),則f(n)=50n– ［ 12n+ 2 )1( ?nn 179。 +x(1+++? +– 1) =b1179。 +(1+)x,? 所以 bn+1=b1179。 2=2100 元 . 中國(guó)特級(jí)教師高考復(fù)習(xí)方法指導(dǎo) 〈數(shù)學(xué)復(fù) 習(xí)版〉 答案： C 二、 ：小球經(jīng)過的路程為： 300200211 21100100)21(2100412100212100 3 ???????????????? ?s m. 答案： 300 示： sin2176。 +cos250176。 = 43 ，寫出一個(gè)與以上兩式規(guī)律相同的一個(gè)等式 . 三、解答題 4.（★★★★）在四棱錐 P— ABCD中，側(cè)棱 PA⊥底面 ABCD， 底面 ABCD是矩形，問底面的邊 BC 上是否存在點(diǎn) E.（ 1）使 ∠ PED=90176。 )+sinα cos(α +30176。 ab 所以②不可能是等比數(shù)列，若①為等比數(shù)列，則有： ????? ????????????????22710257 ))(()()( 2baababbababaabba解得 經(jīng)檢驗(yàn)知這是使 ab,a+b,a– b,ab 成等比數(shù)列的惟一的一組值 .因此當(dāng) a=7+ 25 ,b= 2 2710? 時(shí)，ab,a+b,a– b,ab 成等比 數(shù)列 . ：如果直線 l 垂直平分線段 AB，連 AF、 BF，∵ F（ 2p ， 0）∈ l.∴ |FA|=|FB|,設(shè) A（ x1,y1） ,B(x2,y2),顯然 x10,x20,y1≠ y2,于是有（ x1– 2p ） 2+y12=(x2– 2p )2+y22,整理得：（ x1+x2– p)(x1– x2)=y22– y12=– 2p(x1– x2).顯然 x1≠ x2(否則 AB⊥ x 軸， l 與 x 軸重合，與題設(shè)矛盾）得： x1+x2– p=– 2p 即 x1+x2=– p0,這與 x1+x20 矛盾，故直線 l 不能垂直平分線段 AB. ：設(shè)元件 T T T3能正常工作的事件為 A A A3，電路不發(fā)生故障的事件為 A，則 P（ A1）=， P（ A2） =， P（ A3） =. （ 1）按圖甲的接法求 P（ A）： A=（ A1+A2）178。 2A )=1– =， ∴ P(A)=179。 =. (3)按圖丙的接法求 P（ A），用第三種算法 . A=（ A2+A3） A1=A2A1+A3A1,∵ A2A1與 A3A1彼此不互斥，據(jù)容斥原理，則 P（ A） =P（ A1A2） +P（ A1A3）– P（ A1A2A3），又由 A A A3相互獨(dú)立，得 P（ A1178。 =, ∴ P(A)=+– =. 綜合（ 1）、（ 2）、（ 3）得，圖甲、乙、丙三種接法電路不發(fā)生故障的概率值分別為 ,. 故圖甲的接法電路不發(fā)生故障的概率最大 . 中國(guó)特級(jí)教師高考復(fù)習(xí)方法指導(dǎo) 〈