函數(shù)近似計(jì)算的插值法插值問題的提出及l(fā)agrange插值-免費(fèi)閱讀
【正文】 局限性 優(yōu)點(diǎn)： 公式簡(jiǎn)潔 , 理論分析方便 ? 直觀； ? 對(duì)稱； ?容易編程上機(jī)等。 y x x0 x1 f0 f1 x2 f2 xi fi xi+1 fi+1 xn1 fn1 xn fn P(x) f(x) 一、插值問題 的數(shù)學(xué)提法 這就是插值問題 , (*)式為插值條件 , ( ) ( )P x f x稱 函 數(shù) 為 函 數(shù) 的 插 值 函 數(shù)則稱之為插值多項(xiàng)式為多項(xiàng)式函數(shù)如果 ,)( xP稱為插值節(jié)點(diǎn)點(diǎn) ,2,1,0, nix i ??稱為插值區(qū)間區(qū)間 ],[ ba個(gè)等分點(diǎn)上若給定如函數(shù) 5],0[,sin ?xy ?其插值函數(shù)的圖象如圖 0 1 2 3 01sinx的的的xy 1 2 3 1sinx的的的xyxyy( ) ( )f x P x對(duì) 于 被 插 函 數(shù) 和 插 值 函 數(shù)ix在 節(jié) 點(diǎn) 處 的 函 數(shù) 值 必 然 相 等( ) ( )P x f x但 在 節(jié) 點(diǎn) 外 的 值 可 能 就 會(huì) 偏 離( ) ( )P x f x因 此 近 似 代 替 必 然 存 在 著 誤 差整體誤差的大小反映了插值函數(shù)的好壞 . 為了使插值函數(shù)更方便在計(jì)算機(jī)上運(yùn)算 ,一般插值函 數(shù)都使用代數(shù)多項(xiàng)式或有理函數(shù) . 本章討論的就是 代數(shù)插值多項(xiàng)式 . 1. 滿足插值條件的多項(xiàng)式 P(x)是否存在且唯一？ 2. 若滿足插值條件的 P(x)存在 ,又如何構(gòu)造出 P(x)。 即插值多項(xiàng)式的常用構(gòu)造方法有哪些？ 3. 用 P(x)代替 f(x)的誤差估計(jì)，即截?cái)嗾`差的估計(jì)； 對(duì)于多項(xiàng)式插值，我們主要討論以下幾個(gè)問題 ： 4. 當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)無(wú)限加密時(shí)，插值函數(shù)是否收斂于 f(x)。 缺點(diǎn)： 基函數(shù)計(jì)算復(fù)雜，計(jì)算量大 ?每增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)，插值多項(xiàng)式的所有系 數(shù)都得重算； ?計(jì)算量為 。 Lagrange插值公式的標(biāo)準(zhǔn)型公式 : 例 1: 15)225(,13)169(,12)144()( ??? fffxf 滿足已知.)175(,)( 的近似值并求插值多項(xiàng)式的二次作 fL a g r a n g exf解 : 2 2 5,1 6 9,1 4 4 210 ??? xxx設(shè))(0 xl插值基函數(shù)為的二次則 L a g r a n g exf )())(())((202021xxxxxxxx?????2025)225)(169( ??? xx)(1 xl))(())((210120xxxxxxxx?????1400)225)(144(???? xx)(2 xl))(())((120210xxxxxxxx?????4536)169)(144( ??? xx0 1 212 , 13 , 15f f f? ? ?插值多項(xiàng)式為的二次因此 L a g r a n g exf )(2 0 0 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )L x f l x f l x f l x? ? ?且 )175(f)175(2L?)175(15)175(13)175(12 210 lll ???731 5 82 3 ?在例 1中 ,如果只給出兩個(gè)節(jié)點(diǎn) 169和 225,也可以作插值 多項(xiàng)式 ,即 1次 Lagrange插值多項(xiàng)式 ,有兩個(gè)插值基函數(shù) , 這種插值方法稱為 Lagrange線性插值 ,也可以在 n
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