復(fù)變函數(shù)與積分變換孤立奇點-免費閱讀
【正文】 R e s [ ( ) , 1 ] .2 2 2 2||zzzzzzf z f z ?? ? ?? ? ? ? ?比用規(guī)則 1更簡單 ! 復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換例 2 計算積分 41Cz dzz ??, C 為正向圓周 | z | =2. 解： 被積函數(shù) 4()1zfzz??有四個一級極點 ? 1, ? i 都在圓周 | z |= 2 內(nèi) , 所以 ]}),(R es []),(R es []1),(R es []1),({ R es [π2d14izfizfzfzfizzzC????????. 3 2 4( ) 1 1 1 1 1, , 2 π ( ) 0 .( ) 4 4 1 4 4 4 4CP z z z dz iQ z z z z? ? ? ? ? ? ?? ??由 規(guī) 則 3 故復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換例 3 計算積分 2( 1 )zCe dzzz ??, C 為正向圓周 | z |= 2. 解 ： z =0 為被積函數(shù)的一級極點 , z =1 為二級極點 , 而 .1)1(lim)1(lim]0),(R es [ 2020???????? zezzezzf zzzz2211eRe s[ ( ) , 1 ] l im ( 1 )( 2 1 ) ! ( 1 )zzdf z zdz z z????? ???? ??211e ( 1 )l im l im zzd e zdz z z???? ?? ? ?????3e d2 π {R e s[ ( ) , 0] Re s[ ( ) , 1 ] } 2 π ( 1 0) 2 π .( 1 )zCz i f z f z i izz? ? ? ? ???復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換例 4 ? ? ??? 1 3)1( s i nz z dze zz計算233033003s i n s i nR e s , 0 l i m( 1 ) ( 1 )s i nl i m l i m( 1 )( 1 ) 1zzzzzzz z z zeezzez???????????????? ? ? ?i?2????解： 1z ?在 內(nèi) ：z = 0為一級極點。 留數(shù) 1. 留數(shù)的定義 如果函數(shù) f(z)在 z0的鄰域 D內(nèi)解析 ,那么根據(jù)柯西積分定理 ( ) 0 .Cf z d z ??()Cf z dz? 但是 , 如果 z0為 f(z)的一個孤立奇點 , 則沿在z0的某個去心鄰域 0|zz0|R 內(nèi)包含 z0的任意一條正向簡單閉曲線 C的積分 未必再等于零。 因 為 函 數(shù) 在的 去 心 鄰 域 內(nèi) 的 洛 朗 級 數(shù)中 不 含 負 冪 項 如 果 定 義 在 的 值 為則 在 點 便 為 解 析 的 了復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換2. 極點 如果在洛朗級數(shù)中只有有限多個 zz0的負冪項 , 且其中關(guān)于 (zz0)1的最高冪為 (zz0)m, 即 f(z)=cm(zz0)m +...+c2(zz0)2+c1(zz0)1+c0+ c1(zz0)+...(m?1, cm?0),則稱孤立奇點 z0為函數(shù) f (z)的 m級極點 . 上式也可寫成 : 01( ) ( ) *( ) mf z g zzz? ， （ ） 其中 g (z) = cm+ cm+1(zz0) + cm+2(zz0)2 +..., 在 |zz0|d 內(nèi)是解析的函數(shù) , 且 g (z0) ? 0 . 反過來 , 當(dāng)任何一個函數(shù) f (z) 能表示為 (*)的形式 , 且 g (z0) ? 0 時 , 則 z0是 f (z)的 m級極點 . 復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換如果 z0為 f(z)的極點 , 由 (*)式知 0l im ( ) .zz fz? ??310 zezz??思 考 ： 是 的 幾 級 極 點 ？ ( 展 洛 朗 級 數(shù) 判 )0 ()z f z m為 的 級 極 點0l im ( ) ( ) .zz fz?? ? ? ?， 不 存 在 但 為01( ) ( )( ) mf z g zzz??復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換3. 本性奇點 如果在洛朗級數(shù)中含有無窮多 zz0的負冪項 ,則孤立奇點 z0稱為 f (z)的本性奇點 . 1112( ) 0 .1112 ! !znzf z e ze z z zn? ? ???? ? ? ?
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