【正文】 BfBffBfBf ??????? ? （ 47） 由 式（ 47） 我們可以構(gòu)造出基本的形態(tài)學(xué)梯度邊緣檢測(cè)算子： 膨脹型 如式（ 48）所示 ： fBfyxE ???),( （ 48） 腐蝕型 如式（ 49）所示 ： BffyxE ???),( （ 49） 膨脹腐蝕型 如式（ 410）所示 ： BfBfyxE ????),( （ 410） 理工大學(xué)畢業(yè)論文 27 開(kāi)操作型 如式（ 411）所示 ： BffyxE ???),( （ 411） 閉操作型 如式（ 412）所示 ： fBfyxE ???),( （ 412） 開(kāi)閉操作型 如式（ 413）所示 ： BfBfyxE ????),( （ 413） 顯然，數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)差分算子的實(shí)質(zhì)是傳統(tǒng)差分算子在一定意義上的推廣。 Canny 首先提出了最優(yōu)邊緣檢測(cè)算子，采用函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)相近的濾波函數(shù)，性能優(yōu)于 LOG 算 子 ，但定位不夠精確，且計(jì)算量較大。 設(shè)結(jié)構(gòu)元素 B 可以分解為小結(jié)構(gòu)元素 C 對(duì)小結(jié)構(gòu)元素 D 的膨脹，即 CDB ?? ，則式（ 218）可以表示為如式（ 41）的形式。 （ 2）結(jié)構(gòu)元素形狀的選擇。在邊緣檢測(cè)中，常用的方法是尋找圖像灰度函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)局部最大值或是二階導(dǎo)數(shù)局部過(guò)零點(diǎn)。 一個(gè)好的邊緣檢測(cè)算法應(yīng)滿足：檢測(cè)精度高；抗噪能力強(qiáng)；計(jì)算簡(jiǎn)單；易于并行實(shí)現(xiàn)。 在一幅圖像中，如果圖像某個(gè)像素值滿足以下條件： （ 1） 該像素狀態(tài)為 ON； （ 2） 該像素領(lǐng)域中有有一個(gè)或多個(gè)像素狀態(tài)為 OFF。 （ a）原圖像 （ b）加入噪聲密度為 的椒鹽噪聲 （ c）經(jīng)過(guò)開(kāi) — 閉平滑操作后的圖像 （ d）經(jīng)過(guò)閉 — 開(kāi)平滑操作后的圖像 圖 35 圖像平滑操作仿真 結(jié)果 對(duì)于灰度圖像，用開(kāi)運(yùn)算消除與結(jié)構(gòu)元素相比尺寸較小的亮細(xì)節(jié)．而保持 圖 像整體灰度值和大的亮區(qū)域基本不變。 實(shí)現(xiàn)形態(tài)學(xué)平滑處理的一種途徑是先使用形態(tài)學(xué)進(jìn)行開(kāi)操作，然后進(jìn)行閉操作。一種創(chuàng)建標(biāo)記圖像的方法就是將掩模圖像減去一個(gè)常數(shù)。 cBAABAABA )*()*( ????? （ 32） 關(guān)鍵問(wèn)題是要應(yīng)用多少次細(xì)化 操作 。 擊中擊不中變 換 就是在一次運(yùn)算中同時(shí)可以捕獲到內(nèi)外標(biāo)記。 模糊形態(tài)學(xué)是傳統(tǒng)數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)從二值邏輯向模糊邏輯的推廣 ， 與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)有相似的計(jì)算結(jié)果和相似的代數(shù)特性 ， 模糊形態(tài)學(xué)重點(diǎn)研究 n 維空間目標(biāo)物體的形狀特征和形態(tài)變換 ， 主要應(yīng)用于圖像處理領(lǐng)域 ， 如模糊增強(qiáng)、模糊邊緣檢測(cè)、模糊分割等。 由式（ 257）可見(jiàn) ，軟數(shù)學(xué)形態(tài)膨脹或腐蝕的結(jié)果與結(jié)構(gòu)元素核心重復(fù)的次數(shù) K 密切相關(guān)， K=1 時(shí)，軟化形態(tài)學(xué)退化為標(biāo)準(zhǔn)形態(tài)學(xué)。 ygfgyf xx ??? )()( ?? （ 254） 同樣，開(kāi)運(yùn)算的遞增性、非擴(kuò)展性和冪等性可表示為 式（ 255）和式（ 256）的形式。從圖 (c)可看出，對(duì)所有比 b 的直徑小的山峰其高度和尖銳程度都減弱了。用 b (灰度 )開(kāi)啟 f 記為 bf? ，其定義如式（ 252）所示。 gfgfgfgfff ??????????? , （ 240） gfgfgfgfgg ???????????? , （ 241） 3．?dāng)U展縮小性 如式（ 242）所示。 (a) 原始灰度圖像 (b)灰度膨脹圖像 (c)灰度腐蝕圖像 圖 214 灰度圖像膨脹腐蝕仿真結(jié)果 理工大學(xué)畢業(yè)論文 15 圖 214 給出了灰度圖像膨脹和腐蝕結(jié)果。其中 (1)是結(jié)構(gòu)元素； (2)是原始信號(hào)； (3)是灰度腐蝕后的結(jié)理工大學(xué)畢業(yè)論文 14 果； (4)是灰度膨脹后的結(jié)果。這里限制 )( xs? 和 )( yt? 在 f 的定義域之內(nèi)，類(lèi)似于二值膨脹定義中要求兩個(gè)運(yùn)算集合至少有一個(gè) (非零 )元素相交。這里限制 )( xs? 和 )( yt? 在 f 的定義域之內(nèi)，類(lèi)似于二值膨脹定義中要求兩個(gè)運(yùn)算集合至少有一個(gè) (非零 )元素相交。如果 x 在 g 的定義域內(nèi)，但在 f 的定義域外， 理工大學(xué)畢業(yè)論文 12 圖 210 信號(hào)的移位、平移及相應(yīng)的形態(tài)學(xué)平移 那么，定義 )())(( xgxgf ?? 。所以在介紹灰度形態(tài)變換之前，先介紹一些與之相應(yīng)的概念。 BABABABAAA ????????? ,?? （ 223） CABACABACBCCB ??????? , ??? （ 224） 4．冪等性 如式（ 225）所示。 BBABA ???? )( （ 220） 圖 28 為閉運(yùn)算的示意圖，閉運(yùn)算是先膨脹后腐蝕，也可以利用對(duì)偶性，即沿圖像的外 圖 28 二值圖像閉運(yùn)算示意圖 邊緣填充或滾動(dòng)結(jié)構(gòu)元素，閉運(yùn)算磨光了凸向圖像內(nèi)部的尖角，即對(duì)圖像外部濾波。 ,)(,)( tBtABAttBtABAt ?????? （ 215） 理工大學(xué)畢業(yè)論文 9 7. 平移不變性 如式（ 216）和式（ 217）所示。 BABABABAAA ??????????? , （ 29） BABABABABB ??????????? , （ 210） 3. 遞減（增）性 如式（ 211）所示。 B 平移 z 后得到的圖像仍包含于 A 。 A 被 B 膨脹是所有位移 z 的集合，這樣 zB)?( 和 A至少有一個(gè)元素是重疊的。 )}(),(),(),(|),{( BAyxByxAyxyxC 和或或 ???? （ 22） 還有兩個(gè)廣泛應(yīng)用于形態(tài)學(xué)的附加定義，在集合中 定義如定義 1 和定義 2 所示。 圖 21 二值圖像形態(tài)學(xué)的基本思想 數(shù)字圖像的表示及反射平 移 在形態(tài)學(xué)中，二值數(shù)字圖像可以用集合 A 來(lái)表示。形態(tài)小波包含了目前幾乎所有已知的線性和非線性小波，構(gòu)成了統(tǒng)一的非線性小波變換框架。 3．快速算法。基本的數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)運(yùn)算是將結(jié)構(gòu)元素在圖 像 范圍內(nèi)平移，同時(shí)施加交、并等基本的集合運(yùn)算。用于描述數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的是集合論，因此可以用一個(gè)統(tǒng)一且強(qiáng) 大的工具來(lái)處理圖像處理中所遇到的問(wèn)題，它利用形態(tài)學(xué)基本概念和運(yùn)算，將結(jié)構(gòu)元靈活的組合分解，應(yīng)用形態(tài)變換達(dá)到了分析問(wèn)題的目的?；跀?shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的圖像處理技術(shù)是一種采用集合的概念表示圖像、非線性疊加方式描述圖像的非線性系統(tǒng)技術(shù)，稱之為形態(tài)系統(tǒng)， 它廣泛地應(yīng)用于生物醫(yī)學(xué)和電子顯微鏡圖像的分析以及數(shù)字圖像處理和計(jì)理工大學(xué)畢業(yè)論文 3 算 機(jī)視覺(jué)等領(lǐng)域，并已發(fā)展成為一種新型的圖像處理方法和理論。一些形態(tài)學(xué)的算法，已經(jīng)做成了計(jì)算機(jī)芯片，許多研究成果已經(jīng)作為專(zhuān)利出售，其影響已波及到與計(jì)算機(jī)圖像處理有關(guān)的各個(gè)領(lǐng)域，包括圖像增強(qiáng)、分割、恢復(fù)、邊緣檢測(cè)、紋理分析、顆粒分析、特征生成、骨架化、形狀分析、壓縮、成分分析及細(xì)化等諸多領(lǐng)域。迄今為止，還沒(méi)有一種方法能夠像數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)那樣既有堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)，簡(jiǎn)潔、樸素、統(tǒng)一的基本思想，又具有如此廣泛的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。形態(tài)學(xué)圖像處理的基本思想，是利用一個(gè)稱作結(jié)構(gòu)元素的 ―探針 ‖收集圖像的信息。權(quán)值與結(jié)構(gòu)元素有關(guān)，并由核心和軟邊界兩大部分組成。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)蓬勃發(fā)展，由于其并行快速，易于硬件實(shí)現(xiàn)，已引起了人們的廣泛關(guān)注。 UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 畢業(yè)論文 題 目 基于形態(tài)學(xué)圖像處理方法研究 學(xué)生姓名 學(xué) 號(hào) 專(zhuān)業(yè)班級(jí) 通信工程 指導(dǎo)教師 學(xué) 院 計(jì)算機(jī)與通信 答辯日期 2021 年 基于形態(tài)學(xué)圖像處理方法研究 Research on image processing method on morphology xxx 理工大學(xué)畢業(yè)論文 1 摘 要 數(shù)學(xué)形 態(tài)學(xué)是一種基于集合論的方法和理論， 它 的基本思想是利用一個(gè) 結(jié) 構(gòu)元素去探測(cè)一個(gè)圖像，通過(guò)目標(biāo)圖像的形態(tài)變換實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)分析和特征提取的目的。目前 ， 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)已在計(jì)算機(jī)視覺(jué)、信號(hào)處理與圖像分析、模式識(shí)別、計(jì)算方法與數(shù)據(jù)處理等方面得到了極為廣泛的應(yīng)用。軟數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)具有硬數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)相似的代數(shù)特性，但具有更強(qiáng)的抗噪聲干擾的能力，對(duì)加性噪聲及微小形狀變化不敏感。當(dāng)探針在圖像中不斷地移動(dòng)時(shí)，便可以考察圖像各個(gè)部分間的相互關(guān)系，從而了解圖像的結(jié)構(gòu)特征。有人稱數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)在理論上是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，在基本觀念上卻是簡(jiǎn)單和優(yōu)美的。目前，有關(guān)形態(tài)學(xué)的技術(shù)和應(yīng)用正在不斷地發(fā)展和擴(kuò)大。用于圖像處理的形態(tài)系統(tǒng)， 具有完備的結(jié)構(gòu)和理論體系，是進(jìn)行非線性性態(tài)分析和描述的有力工具。 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)比其他空域或頻域圖像處理和分析方法具有一些明顯的優(yōu)勢(shì)。 二值數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)和灰度數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)構(gòu)成了經(jīng)典的數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)?；叶刃螒B(tài)學(xué)、模糊形態(tài)學(xué)和形態(tài)金字塔等算法運(yùn)算速度慢，不適合實(shí)時(shí)處理。用形態(tài)學(xué)算子作為提升算子，用提升方法還可以構(gòu)造出性能更優(yōu)良的非線性小波。在研究數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)原理及其應(yīng)用以前，首先要掌握集合論中的一些基本概念。 定義 1： 設(shè)集合 A 及 ),( 21 zzZ? ，將 A 平移到點(diǎn) z ，表示為 zA)( ， 其 定義 如式（ 23）所示。根據(jù)這種解釋?zhuān)€可以寫(xiě) 為如式（ 26）的形式。 圖 25[7]給出了二值圖像腐蝕示意圖， (a)和 (b)分別給出原點(diǎn)在結(jié)構(gòu)元素內(nèi)部和不在結(jié)構(gòu)元素內(nèi)部的情況。 BAAABABO ?????? , （ 211） 如果結(jié)構(gòu)元素包含原點(diǎn)， A 腐蝕的結(jié)果是使圖像 A 收縮，是 A 的一個(gè)子集；而 A 是膨脹結(jié)果的子集。 xBAxBAxBAxBA ?????????? )()(,)()( （ 216） xBABxAxBABxA ?????????? )()(,)()( （ 217） 平移不變性意味著圖像或結(jié)構(gòu)元素的位置變化僅引起變換結(jié)果的位置變化，而結(jié)果的形態(tài)無(wú)任何改變。 二值圖像開(kāi)運(yùn)算和閉運(yùn)算的仿真結(jié)果如圖 29 所示， (a)是 一幅原始的二值圖像， (b)是采 理工大學(xué)畢業(yè)論文 10 (a)原圖像 (b)開(kāi)運(yùn)算 (c)閉運(yùn)算 圖 29 二值圖像開(kāi)閉運(yùn)算仿真結(jié)果 用半徑為 3 的圓形結(jié)構(gòu)元素對(duì)原始圖像作開(kāi)運(yùn)算后得到的結(jié)果。 BABBABABBA ????? )(,)( ??? （ 225） 5．平移不等性 如式（ 226）所示。 將 信號(hào)，向右水平移動(dòng) x ，稱移位， 其 定義 如式（ 227）所示。如果 x 不在 f 和 g 的定義域內(nèi)，即 x 不在 ][][ gDfD ? 之內(nèi)，則gf? 無(wú)定義。式 （ 233） 與 2D 卷積的形式很類(lèi)似，區(qū)別是這里用 max(極大 )替換了卷積中的求和 (或積分 )，用加法替換了卷積中的相乘。式 （ 232） 與 2D 卷積的形式很類(lèi)似，區(qū)別是這里用 min(極小 )替換了卷 積中的求和 (或積分 )，用加法替換了卷積中的相乘。從圖 213 可以看出，灰度腐蝕與二值腐蝕之間的一個(gè)基本關(guān)系：被灰度腐蝕信號(hào)的定義域等于利用結(jié)構(gòu)元素的定義域作為結(jié)構(gòu)元素，再對(duì)信號(hào)的定義域作二值腐蝕所得的結(jié)果。 (a)為原始的灰度圖像， (b)為膨脹后的圖像， (c)為腐蝕后的圖像，采用的是 33? 的 方形結(jié)構(gòu)元。 gffgfg ?????? 0)0( （ 242） 4. 交換律 如式（ 243）所示。 bbfbf ??? )(? （ 252） 開(kāi)啟運(yùn)算可以通過(guò)求出所有結(jié)構(gòu)元素的形態(tài)學(xué)平移都可填入輸入信號(hào)下方的極大點(diǎn)來(lái)計(jì)算。換句話說(shuō)，當(dāng) b 貼著 f 的下沿滾動(dòng)時(shí)， f 中沒(méi)有與 b 接觸的部位都落到與 b 接觸。 ghgfhf ?? ????? （ 255） gfggffgf ???? ??? )(, （ 256） 理工大學(xué)畢業(yè)論文 18 軟數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué) 在軟數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的運(yùn)算中 ， 注入了 ―順序統(tǒng)計(jì) ‖ 的數(shù)學(xué)思想 .標(biāo)準(zhǔn)形態(tài)學(xué)里用到的極大極小運(yùn)算用加權(quán)排序統(tǒng)計(jì)法代替并將結(jié)構(gòu)元素分為核 心和軟邊界兩大部分 。所以軟化形態(tài)學(xué)退化為標(biāo)準(zhǔn)形態(tài)學(xué)。 理工大學(xué)畢業(yè)論文 19 第 3 章 形態(tài)學(xué)在圖像處理的基本應(yīng)用 擊中或擊不中變換 在圖像分析中，同時(shí)探測(cè)圖像的內(nèi)部和外部，而不僅僅局限于探測(cè)圖像的內(nèi)部或圖像的外部，對(duì)于研究圖像中物體與背景之間的關(guān)系，往往會(huì)起到很好的效果 [12]。擊中擊不中變換需要兩個(gè)結(jié)構(gòu)元 1B 和 2B ，這兩個(gè) 結(jié)構(gòu) 元被作為一個(gè)結(jié)構(gòu)元素 ， 對(duì) )( 21BBB? ，一個(gè)用來(lái)探測(cè)圖像內(nèi)部，另一個(gè)用來(lái)探測(cè)圖像外部， A 被 B擊中或擊不中變換定義 如式（ 31）所示。圖 32[7]表示了細(xì)化效果。 （ 2） 進(jìn)行形態(tài)學(xué)重構(gòu) 形態(tài)學(xué)重構(gòu)操作具有很多獨(dú)有的特性： （ 1） 形態(tài)學(xué)重構(gòu)處理基于兩幅圖像，一個(gè) 是 標(biāo)記圖像，另一個(gè)是掩模圖像，而不僅僅是一幅圖像和一個(gè)結(jié)構(gòu)元素。進(jìn)行這兩種操作的最終結(jié)果是除去或