注冊(cè)設(shè)備工程師10年培訓(xùn)課件4-免費(fèi)閱讀
【正文】 鏡像法的主要步驟是確定鏡像電荷的位置和大小。 將上式寫成增量的形式 4/)4( ,1 1,1 ,11,1,1, n kjn kjn kjn kjn kjn kjn kj ??????? ?????? ? ?????? 引進(jìn)加速收斂因子 ?， ?在 1－ 2之間。 2）按一固定順序 (從左到右，從下到上 )依次利用 1 2 3 44o? ? ? ?? ??＋＝ 計(jì)算內(nèi)點(diǎn) O點(diǎn)的新值。當(dāng)用網(wǎng)格將區(qū)域劃分后，對(duì)每一個(gè)網(wǎng)絡(luò)點(diǎn)寫出類似的式子，就得到方程數(shù)與未知電位的網(wǎng)絡(luò)點(diǎn)數(shù)相等的線性方程組。 有限差分法的基本思路 在用有限差分法求解經(jīng)典問題時(shí)，首先需要把求解的區(qū)域劃分成網(wǎng)格，把求解區(qū)域內(nèi)連續(xù)的場(chǎng)分布，用求網(wǎng)節(jié)點(diǎn)上的離散的數(shù)值接代替。應(yīng)用上題結(jié)果，圓柱看成是兩電軸（帶電＋ pl和－ pl）的等位面。 求解鏡像電荷的大小和位置： 我們用 的關(guān)系進(jìn)行試探求解。 對(duì)于 A點(diǎn)有： 有： 對(duì)于 B點(diǎn)有 ： 代入，有： 即： 120 1 21 04qqRR?????? ? ?????1 1 2 2,R a d R a d? ? ? ?120 1 21 04qqa d a d????????????1 1 2 2,R d a R a d? ? ? ?0 1 21 04 d a a d?? ??1 2 2 11 2 2 1( ) ( )( ) ( )q a d q a dq a d q d a? ? ? ?? ? ? ? 聯(lián)立求解 ： 可以證明，將此結(jié)果代入完全滿足球面電位為零的條件，從而得到球外電位表達(dá)式為： 其中 ： 221211addaqqd???1 2 1 10 1 2 0 1 2 11144q q q aqr r r r d?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?122 21 1 1( 2 c os )r r d rd ?? ? ?11 22 2 2222 2 2 211( 2 c os ) ( 2 c os )aar r d rd r rdd??? ? ? ? ? ? 空間任意點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為： 同時(shí) ， 可以證明 ， 總的球面電荷等于鏡像電荷 。這樣能保證原電場(chǎng)的邊界條件不變。 求解電場(chǎng)力。此時(shí)，可在研究的區(qū)域之外，用假想的電荷來代替原來的邊界，即：由假想的電荷和原來的電荷共同產(chǎn)生的場(chǎng)在邊界上滿足原來的邊界條件，則在所研究的區(qū)域內(nèi)的場(chǎng)即為真實(shí)電荷與假想電荷（又稱為鏡像電荷）產(chǎn)生的場(chǎng)的疊加。 。 其次，圓柱內(nèi)的解應(yīng)為 因?yàn)? 處， 必須為有限制，故 通解 中所有 r的冪項(xiàng)都不存在。 于是 的解具有如下形式 代入 x=0的邊界條件，得 用 乘上式兩邊，并對(duì) y從 積分得 只有當(dāng) s為偶數(shù)時(shí)， 才不為零，且有 用 2n代替 s， n=1,2,3,… ，得 。 000yydU??????00 20 2 0xU d y ddy? ????? ???? 對(duì)于上面的二維邊值問題，可采用疊代法求解，即將原來的邊值問題分成如下兩個(gè)邊值問題的疊加來解決。 0222222?????????zyx???首先觀察邊界條件，有 要滿足在 x=0， x=a的邊界上，電位為零的邊界條件，在 f(x)的三種可能的解中只能有 ( , )0zcU x y?????其 它12( ) si n( ) c os( )xxf x A k x A k x?? 根據(jù) x=0面上的邊界條件得到 即 又根據(jù) x=a的邊界條件，有 從而得到 f(x)的解的形式為 2( 0) 0fA??2 0A ?1( ) si n( ) 0xf a A k a?? 1 , 2 , 3xnkna?1( ) si n( )nnnf x A xa???? ? 同理 ， 對(duì)于 g(y)，有 由分離常數(shù)之間的關(guān)系可知， h(z)只能或者是雙曲函數(shù)，或者是指數(shù)函數(shù)，同樣要根據(jù)邊界條件來定。 直角坐標(biāo)系中的拉普拉斯方程： 變量分離 設(shè) 拉普拉斯方程變?yōu)? 上式成立的唯一條件是三項(xiàng)中每一項(xiàng)都是常數(shù)，故可分解為下列三個(gè)方程： 其中 、 和 為常數(shù)，但不能全為實(shí)數(shù)或全為虛數(shù)。求解邊值問題的方法，可以分為解析法和數(shù)值法兩大類。 如果邊界是 導(dǎo)體 ，則上述 三類問題 分別變?yōu)椋阂阎鲗?dǎo)體表面的電位；已知各導(dǎo)體表面的總電量；已知一部分導(dǎo)體電位與另一部分導(dǎo)體的電荷量。邊界條件為除 z＝ c面電位不為零外，其他各表面的電位都為零。槽的寬度為 d，在 x和 z方向都是無窮大，槽由兩塊 L形的導(dǎo)體構(gòu)成，兩塊導(dǎo)體間有一狹縫，外加恒定電壓 U0?，F(xiàn)在只需求解 。 求圓柱內(nèi)外的電位函數(shù) 。 球坐標(biāo)系中的分離變量法 球坐標(biāo)系中的拉普拉斯方程（我們只討論場(chǎng)問題與 無關(guān)的情形） 在二維情況下 ， 場(chǎng)在 φ 方向無變化 ， 此時(shí) 拉氏方程變?yōu)椋? 0?? ?? 2211( ) ( si n ) 0si nrr r r r?? ?? ? ?? ? ? ???? ? ? ? 令 代入，有： 上式中 f(r) 和 已分開在兩項(xiàng)中，令分別等于常數(shù) 和 ，得 常微分方程的解 （ 1） 在該式中引入一個(gè)新的自變量 ,于是該式可變?yōu)? 上式稱為勒讓德方程。 在坐標(biāo)系中，待求偏微分方程的解可表示為三個(gè)函數(shù)的乘積，其中每個(gè)函數(shù)分別是一個(gè)坐標(biāo)的函數(shù)。 步驟
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