【正文】 不考慮其它因素影響時，轉動角速度數(shù)值上與軸橫向彎曲振動 固有頻率相等，即： 時的轉速叫 臨界轉速 。 20a第 2章 單自由度線性系統(tǒng)的受迫振動 2. 7 非簡諧周期激勵力的響應分析 ? ? ? ? ? ?????????????tmthtdds i ne1n響應 （杜哈曼積分） 任意激勵 F(t) 第 2章 單自由度線性系統(tǒng)的受迫振動 2. 8 任意激勵 下的響應 分析 ? ?tFxkxcxm ??? ???單位脈沖響應 ? ? ? ? ? ?????????????tmthtdds i ne1n? ??? ???? txkxcxm ???第 2章 單自由度線性系統(tǒng)的受迫振動 2. 8 任意激勵 下的響應 分析 杜哈梅積分 ? ?tFxkxcxm ??? ??? 全響應 ttxxtxtx ndd0n0d0 es i nc o s)(??????????????? ????? ? ? ? ? ?? ?? ??t t tFm 0 ddds i ne1 n ????????第 2章 單自由度線性系統(tǒng)的受迫振動 2. 8 任意激勵 下的響應 分析 具體分析 脈沖響應 沖量： I=P(τ)dτ )s i n ()()s i n ( 20220 ?????? ?? ?????? ?? texxxtAexdtddti ?temPdtexdx dtddtdn ???????? s i ns i n0 ?? ?? ? )s i n (1 temI dtdn ?????? mPdmIxx ????00 。這種阻尼是 線性 的，數(shù)學上易于處理，故常把非線性阻尼用等效粘性阻尼來代替。 ※ 當 ψ 0即外力超前位移時，作正功； ※ 當 φ0 即外力落后于位移時，作負功； ※ 而當 ψ =0或 ψ =π 時，即外力在一個周期內作功之和等于零。故在 高頻區(qū)受迫振動的振幅主要取決于系統(tǒng)的慣性， 稱為慣性區(qū)，這一特性正是隔振和慣性傳感器的理論依據(jù)。)2()1(1??????? ?????? kFBnn????? ?? 。 內容參考 。但是，即使彈簧的質量較大，用原式計算系統(tǒng)固有頻率也具有足夠的精確度。在下圖的系統(tǒng)中，若彈簧的質量與質量塊的質量相比是很小的，則系統(tǒng)的振動形式就不會顯著地受到彈簧質量的影響。即： ? ???? ?? tA ns in)c o s ( ???? ?? tA nn? nAA ??? ??? m a xm a x ?2202m a x0m a x 2121 nAIIT ?? ?? ? 當搖桿擺到最大角位移處時，速度為零，故此時系統(tǒng)動能為零，而勢能最大，它包括以下兩個部分： 1）彈簧變形后儲存的彈性勢能： 2) 質量塊 m的重心下降 Δ 后的重力勢能： AkakaU 22m a x2m a x1 212 ??? ?? ? 22m a xm a xm a x2 2121c o s1 mg l Amg lmg lmgU ?????????? ??第 2章 單自由度線性系統(tǒng)的振動 計算系統(tǒng)固有頻率的其它方法 解：取搖桿偏離平衡位置的角位移 θ為廣義坐標，并設 則 故 對簡諧振動來說，搖桿正經(jīng)過平衡位置時的速度最大，故此時系統(tǒng)動能最大，而勢能為零。但是復雜的單自由度系統(tǒng)用能量法計算固有頻率比較方便。 在保守系統(tǒng)中，根據(jù)機械能守恒定律，在整個振動過程的 任一瞬時機械能應保持不變。 第 2章 單自由度線性系統(tǒng)的振動 計算系統(tǒng)固有頻率的其它方法 靜變形法（ Static Deformation Method） Wk j ?? 當單振子處于靜平衡狀態(tài)時，彈簧的彈性力與振動質量的重力互相平衡，即存在關系式： 由上式可得： jjmgWk?? ??故系統(tǒng)的固有頻率為： )1(2 12 1jngmkf??? ??由此可見，只要知道質量塊處的彈性靜變形，就可以計算出系統(tǒng)的固有頻率。 ： )(。若不計阻尼影響，振動將永遠持續(xù)下去。 第 2章 單自由度線性系統(tǒng)的振動 質量元件 無彈性、不耗能的剛體，儲存動能的元件 xmF m ???平動： 力、質量和加速度的單位分別為 N、 kg和 m / s 2。 第 2章 單自由度線性系統(tǒng)的振動 阻尼力 Fd反映阻尼的強弱，通常是速度 x’的函數(shù)，阻尼力可表示為 這種阻尼稱為粘性阻尼。 ? 單自由度系統(tǒng)： ? 多自由度系統(tǒng)： 可以是兩個、三個甚至是 n個自由度系統(tǒng)， n個獨立坐標， n維空間。 3. 已知系統(tǒng)的系統(tǒng)（ S）和輸出 (Y)，求輸入（ X） —— 環(huán)境預測?；蛘哒f某一物理量在其平衡位置或平衡值附近來回的變動。具體的講，是由運動副連接的一些構件所組成的能完成一定運動的機械裝置。 ? 周期振動： x（ t）＝ x（ t+kT）， ? 瞬態(tài)振動：風鈴隨風而動；地震 ? 隨機振動：不能用當前的現(xiàn)象預測未來，但是符合統(tǒng)計學規(guī)律，可以用統(tǒng)計的方法來研究。阻尼就是阻礙物體運動的性質。 質量、彈簧和阻尼器 是構成機械振動系統(tǒng) 物理模型 的三個基本元件。 靜平衡 振動 系統(tǒng)產(chǎn)生 彈性恢復力 彈力 ≠重力 靜平衡破壞 初始擾動 機 械 振 動 學 第 2章 單自由度線性系統(tǒng)的振動 2 .1單自由度無阻尼自由振動系統(tǒng) 解： 取靜平衡位置為坐標原點，以 X軸為系統(tǒng)的坐標軸，向下為正方向建立坐標系。此初始條件亦即：初速預先給定初始條件：考慮00002,0xxxxxxttn???????????)s i n(c oss i n)( 21????????tAtbtbtxnnn.。2。 自由端有集中質量的懸臂梁 解： 懸臂梁在自由端由集中力 mg所引起的靜撓度為： EJm g lj 33??)1(32 1 3mlEJf n ???當不易用計算方法求出靜撓度時，也可用實測方法得到靜撓度，然后按（ 1）式計算系統(tǒng)固有頻率。這一方程說明， 無阻尼自由振動系統(tǒng)的能量關系是振動質體的能量與彈性勢能的相互轉化過程 ，而無能量的消耗。且整個系統(tǒng)對轉動軸 o的轉動慣量。而且所假定的振動形式越接近實際的振動形式，則計算出來的固有頻率的近似值就越接近準確值。但是不同的振動系統(tǒng)，其彈簧的等效質量不同，需具體加以計算。 221 2 msss yg wbwaTTT ??? ????g wbwam s ?? ??sn mmk???? ? 223 babwawmg gE J l ?? ?? ?? 223 baEJlk ?第 2章 單自由度線性系統(tǒng)的振動 計算系統(tǒng)固有頻率的其它方法 2wlE J gn?? ?2wlE J ln?? ?第 2章 單自由度線性系統(tǒng)的振動 計算系統(tǒng)固有頻率的其它方法 從上式可以看出當忽略梁的質量時所計算出的系統(tǒng)固有頻率比用瑞利法計算出的數(shù)值要小，因而誤差較大。研究受迫振動中持續(xù)等幅振動時可忽略之。即振幅近似等于激勵力幅作用下的靜變形。 2?221 ?? ??221 ??? ?? n λ λ β 第 2章 單自由度線性系統(tǒng)的受迫振 動 2. 5 簡諧激勵力作用下的強迫振動 解的討論 相位 α與頻率比的關系曲線表明 λ=1時，振動位移總是滯后激振力 π/2 ，頻率比 λ1,α=0~π/2。39。即： 其中 是與頻率無關的比例系數(shù)，隨材料不同而變。系統(tǒng)阻尼系數(shù)為 c,假定轉軸的質量忽略不計，軸的橫向剛度為 k，支撐系統(tǒng)是絕對剛性的。 不轉動的軸做橫向彎曲時，軸內產(chǎn)生交變應力 。1。 當質量從平衡位置移動到最大偏離位置 X，即在周期內，摩擦力做功為 FX，故一個整周期內做功 代入 （ 1） 式，得到干摩擦的等效阻尼 : XFXFXce ????442 ??第 2章 單自由度線性系統(tǒng)的振動 簡諧力的功和等效阻尼 結構阻尼： 由材料形變過程中的內摩擦產(chǎn)生。?????????????tdttBFdttBtFdtxtFWF?????????????????????)s i n (co s0 ??? ?tF與位移相同的力： 在一個周期內所作的功為： 第 2章 單自由度線性系統(tǒng)的振動 簡諧力的功和等效阻尼 簡諧力 tFtF ?s in)(0?※ 激振力在一個周期內所作的功為分量作功之和，即為 △ W =△ W +△ W =π F Bsinφ ※ 因此，激振力在一個周期內所作的功，就是其超前位移 π/2 的分量所作的功。習慣上把幅值 的頻率區(qū)間稱為共振區(qū)。不難理解，在簡諧激振力作用下，線性系統(tǒng)的受迫振動也是簡諧振動，振動的頻率等于激勵力的頻率，受迫振動的振幅取決于系統(tǒng)本身的物理特性、激勵力的大小及頻率值，但與初始條件無關。 ???令阻尼比或阻尼因子 第 2章 單自由度線性系統(tǒng)的振動 討論 (1) 系統(tǒng)無阻尼即 ,0,0 ?? n?方程的解 12nn2,1 ???? ????s特征值 系統(tǒng)對初始擾動的響應 ）（ ?? ?? tRtx nc o s)(2n020 )/( ?xxR ???0t a na r cπ0t a na r c0n000n00???????xxxxxx?????11100?????????? ，特征值取決于第 2章 單自由度線性系統(tǒng)的振動 討論 (2) 12nn2,1 ???? ????s特征值 系統(tǒng)對初始擾動的響應 方程的解 個不等的虛數(shù)根。 圖承受集中質量的等截面梁 第 2章 單自由度線性系統(tǒng)的振動 計算系統(tǒng)固有頻率的其它方法 解：假設梁在振動時撓度曲線與梁在圖示載荷作用下的靜撓度曲線一致。 令 ρ 表示彈簧單位長度的質量，則彈簧微段 dξ 的質量為 ρdξ. 其最大動能則為 : ??? dlx2m a x21 ?????? ?lx??x?彈簧在 ξ 處的微段 dξ 的速度應為 : 當質量塊在某一瞬時的速度為 時， 所以彈簧的全部動能為： ?????????????? ? 32212m a x20m a x lxdlxT ls???? ???????????????? ? 32212m a x20m a x lxdlxT ls???? ??)1(323221 2m a x2m a x2m a xm a x ?????? ?????????? lmxlxxmT ?? ???)2(22m a xm a x kxU ?第 2章 單自由度線性系統(tǒng)的振動 計算系統(tǒng)固有頻率的其它方法 顯然，系統(tǒng)的全部動能應該是質量塊 m的最大動能與彈簧的最大動能之和，即 系統(tǒng)的最大勢能仍與無質量彈簧的情況相同，即： 所以彈簧的全部動能為： 由動能和勢能相等原理得： 2322m a x2m a x kxlmx ??????? ? ??對簡諧振動來說，上式即成為： 232222 kAlmAn ??????? ? ??由此可以得出系統(tǒng)固有頻率的計算公式為： 3lmkn ????結論： 為了考慮彈簧質量對系統(tǒng)固有頻率的影響，只需要將