第3章(2)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)-免費(fèi)閱讀
【正文】 5 兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布 （一） 的分布 YXZ ??設(shè) (X,Y)的概率密度為 f(x,y)，則 Z=X+Y的分布函數(shù)為 ???????zyxZ d x d yyxfzZPzF ),(}{)(設(shè)積分區(qū)域?yàn)? 。 當(dāng) 時(shí)，有 )()(),( yfxfyxf YX?21 , ?? ?? yx2122121121?????????因此， 。若對(duì)于固定的 y， ， 則稱 為在 Y=y的條件下 X的條件概率密度，記為 )(yfY 0)( ?yf Y)(),(yfyxfY)(),()|(| yfyxfyxfYYX ?() 稱 為在 Y=y條件下， X的條件分布函數(shù)，記為 ?? ???? ? xYxYX dxyfyxfdxyxf)(),()|(|? ??????xYYX dxyfyxfyYxXPyxF)(),(}|{)|(|() 類似地，可定義條件密度 和 條件分布 )(),()|(| xfyxfxyfXXY ?? ???yXXY dyxfyxfxyF)(),()|(|例 3 設(shè) G是平面上的有界區(qū)域，其面積為 A。 167。 ?ip ),2,1( ??i jp? ),2,1( ??j▲ 對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量 (X,Y)，設(shè)它的密度函數(shù)為 f(x,y)，因 ? ??? ??? ????????? xX dxdyyxfxFxF ),(),()(因此 ? ???? dyyxfxf X ),()(() 同樣 ? ???? dxyxfyf Y ),()( () 分別稱 為 (X,Y)關(guān)于 X 和關(guān)于 Y 的 邊緣概率密度 。 由乘法公式 ，對(duì) 于是 (X,Y)的 分布律為 411}{}|{},{ ????????iiXPiXjYPjYiXPiji ?? ,4,3,2,1X 1 2 3 4 Y 1 1/4 1/8 1/12 1/16 2 0 1/8 1/12 1/16 3 0 0 1/12 1/16 4 0 0 0 1/16 ▲ 離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)為 ? ?? ??xx yyiji jpyxF ),(() ▲ 連續(xù)型隨機(jī)變量概念 對(duì)于二維隨機(jī)變量 (X,Y )的分布函數(shù) F(x,y)，若存在 非負(fù)的函數(shù) f(x,y)使對(duì)任意 x,y，有 ? ??? ??? y x d u d vvufyxF ),(),(則稱 (X,Y)是連續(xù)型的二維隨機(jī)變量，函數(shù) f(x,y) 稱為 二維隨機(jī)變量 (X,Y)的 概率密度 或 X與 Y的 聯(lián)合概率密度 ▲ 聯(lián)合密度函數(shù)的性質(zhì) 1. 非負(fù)性： 0),( ?yxf2. 規(guī)范性： 1),(),( ????? ???????Fd u d vvuf3. 概率的計(jì)算公式 ：設(shè) G是 xOy平面上的區(qū)域， (X,Y ) 落在 G內(nèi)的概率為 ????Gdx dyyxfGYXP ),(}),{(() 4. 若 f(x,y)在點(diǎn) (x,y)連續(xù)，則 ),(),(2 yxfyxyxF ????▲ 若 f(x,y) 在點(diǎn) (x,y)連續(xù)，當(dāng)和很小時(shí)，有 yxyxfyyYyxxXxP ??????????? ),(},{例 2 設(shè)二維隨機(jī)變量 (X,Y)具有概率密度 ??? ?????o t h e r w i s eyxeyxfyx,00,0,2),()2(（ 1）求分布函數(shù) F(x,y)；（ 2）求概率 。 1 二維隨機(jī)變量 ▲ 實(shí)際問(wèn)題：確定炮彈位置的坐標(biāo)；觀察兒童的身高 和體重等等，都會(huì)產(chǎn)生二維隨機(jī)變量。 顯然有 0?ijp 11 1?? ?????i jijp， 聯(lián)合分布律可用 二維表格 表示： X Y 1x 2x ix? ?1y2y??jy11p 21p1ip12p 22p 2ipjp1 jp2 ijp? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ? ?例 1 設(shè)隨機(jī)變量 X在 1， 2， 3， 4四個(gè)整數(shù)中等可能地 取一個(gè)值，另一個(gè)隨機(jī)變量 Y在 1~X中等可能地 取一整數(shù)值。 2 邊緣分布 ▲ 二維隨機(jī)變量（ X,Y）作為一個(gè)整體具有分布函數(shù) F(x,y)。 由已知條件， (D,F )取 (i,j), i=1,2,3,4, j=0,1,2的概率為 101}0,1{ ??? FDP104}1,2{ ??? FDP 等 其聯(lián)合分布律及邊緣 分布律如 右表所示 ： 1/10 0 0 0 0 4/10 2/10 1/10 0 0 0 2/10 1/10 7/10 2/10 1/10 4/10 2/10 3/10 P{D=i} 0 1 2 1 2 3 4 P{F=j} D F 1 即分布律為 ： D 1 2 3 4 F 0 1 2 pk
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