【正文】 邊緣分布律自然也滿足分布律的性質(zhì)。 解 dx dyeDYXPDyx?? ???? )32(6}),{(? ?????303220)32(6 dyedxxyx671 ??? e 3. 兩個常用的二維連續(xù)型分布 (1)二維均勻分布 (p45) 若二維隨機變量 (X, Y)的密度函數(shù)為 則稱 (X, Y)在區(qū)域 D上 (內(nèi) ) 服從均勻分布。 2)求 P{0X2,0Y3} 解 : 1]2[),( ??????BAF0)]3(][2[),( ?????? ya r c t gCBAyF ?0]2) ] [2([),( ?????? ?Cxa r c t gBAxF212 ?? ???? ACB161)0,2()3,0()3,2()0,0(}30,20{ ????????? FFFFYXP三 .聯(lián)合分布律 (P42)若二維隨機變量 (X, Y)只能取至多可列個值 (xi, yj), (i, j＝ 1, 2, … )， 則稱 (X, Y)為 二維離散型隨機變量。 解： Y的分布函數(shù)為 FY(y)=P{Y?y}=P{g(X)?y} =P{X≥g1(y)}=1FX(g1(y)) ?Y的概率密度為 fY(y)=F?(g1(y))=－ fX(g1(y)) g1(y) dyd公式法：一般地 若 X～ fX(x), y=g(x)是 單調(diào)可導 函數(shù)，則 |)(|)]([)(~)( yhyhfyfXgY XY ???注 ： 1 只有當 g(x)是 x的單調(diào)可導函數(shù)時，才可用以 上公式推求 Y的密度函數(shù)。 正態(tài)分布也稱為高斯 (Gauss)分布 ? (p38) 參數(shù) ?＝ 0， ?2＝ 1的正態(tài)分布稱為 標準正態(tài)分布，記作 X~N(0, 1)。0 a babcddxabdxxfdXcPdcdc ????? ? ? ＝＝＝1)(}{)x(fx則稱 X在 (a, b)內(nèi)服從 均勻分布。 歸一 性 ：對任意實數(shù) x， 0?F(x)?1， 且 。 解 k可取值 0， 1， 2 2. 分布律的性質(zhì) 例 5次，每次命中目標的概率為 p，以 X表示命中目標的次數(shù)，求 X的分布律。 思考： A、 B、 C、 D相互獨立，則 獨立嗎？與 CDBA ? 骰子擲 4次至少得一個六點與兩顆骰子擲24次至少得一個雙六，這兩件事， 哪一個有更多的機會遇到？ 答 :, 三、事件獨立性的應用 加法公式的簡化 ：若 事件 A1， A2， … ， An相互獨立 , 則 () 在可靠性理論上的應用 P23, 24．如圖， 5表示繼電器觸點 ,假設(shè)每個觸點閉合的概率為 p,且各繼電器接點閉合與否相互獨立，求 L至 R是通路的概率。 思考：上例中，若已知取到一個紅球，則從甲袋放入乙袋的是白球的概率是多少？ 答 : 74127)()|()()()|( 1111 ???APABPBPBAPBAP(P22,22.) 商店論箱出售玻璃杯，每箱 20只，其中每箱含 0， 1， 2只次品的概率分別為 , , ，某顧客選中一箱，從中任選 4只檢查，結(jié)果都是好的，便買下了這一箱 .問這一箱含有一個次品的概率是多少？ 解 :設(shè) A:從一箱中任取 4只檢查 ,結(jié)果都是好的 . B0, B1, B2分別表示事件每箱含 0， 1， 2只次品 已知 :P(B0)=, P(B1)=, P(B2)= 1)|(0 ?BAP54)|(4204191 ?? CCBAP1912)|(4204182 ?? CCBAP由 Bayes公式 : ??? 20111)|()()|()()|(iii BAPBPBAPBPABP0 8 4 1955????????例 6 (p18)數(shù)字通訊過程中 ， 信源發(fā)射 0、 1兩種狀態(tài)信號 ，其中發(fā) 0的概率為 ， 發(fā) 1的概率為 。 例 2.(p14)一盒中混有 100只新 ,舊乒乓球，各有紅、白兩色，分 類如下表。 可將此穩(wěn)定值記作 P(A)， 作為事件 A的概率 . 概率的公理化定義 注意到不論是對概率的直觀理解，還是頻率定義方式，作為事件的概率，都應具有前述三條基本性質(zhì)，在數(shù)學上，我們就可以從這些性質(zhì)出發(fā)，給出概率的公理化定義 (p8) 若對隨機試驗 E所對應的樣本空間 ?中的每一事件 A， 均賦予一實數(shù) P(A)， 集合函數(shù) P(A)滿足條件： (1) P(A) ?≥0 ； (2) P(?)＝ 1； (3) 可列可加性 ： 設(shè) A1， A2， …, 是一列兩兩互不相容的事件，即 AiAj＝ ?， (i?j), i , j＝ 1, 2, …, 有 P( A1 ? A2 ? … )＝ P(A1) ＋ P(A2)+…. () 則稱 P(A)為事件 A的 概率 。 （也可推廣到若干途徑） 這兩公式的思想貫穿著整個概率問題的求解 。 : 必然事件 S 、不可能事件 ?.(p3) 例如 對于試驗 E2 ，以下 A 、 B、 C即為三個 隨機事件 : A＝“ 至少出一個正面” ＝ {HHH, HHT, HTH, THH， HTT， THT， TTH}； B = “兩次出現(xiàn)同一面” ={HHH,TTT} C=“恰好出現(xiàn)一次正面” ={HTT， THT， TTH} 再如， 試驗 E6中 D＝“ 燈泡壽命超過 1000小時” ＝ {x:1000xT(小時） }。 E2: 將一枚硬幣連拋三次，考慮正反面出現(xiàn)的情況； E3:某城市某年某月內(nèi)發(fā)生交通事故的次數(shù)； E4:擲一顆骰子，可能出現(xiàn)的點數(shù)； E5: 記錄某網(wǎng)站一分鐘內(nèi)受到的點擊次數(shù)； E6:在一批燈泡中任取一只，測其壽命 。 ：（公認） P(e1)=P(e2)=…=P(e n). 則稱 E為古典概型也叫 等可能 概型。 解 :設(shè) A:每組有一名運動員 。 B取到 的數(shù)能被 3整除 21)( ?AP 103)( ?BP故 )()()()()1( ABPBPAPBAP ????101)( ?ABP107?)(1)()2( BAPBAP ?? ??103?)()()()3( ABPAPBAP ???52? 袋中有十只球，其中九只白球，一只紅球，十人依次從袋中各取一球 (不放回 )，問 第一個人取得紅球的概率是多少？ 第 二 個人取得紅球的概率是多少？ 條件概率 若已知第一個人取到的是白球，則第二個人取到紅球的概率是多少？ 已知事件 A發(fā)生的條件下， 事件 B發(fā)生的概率稱為 A條件下 B的條件概率，記作 P(B|A) 若已知第一個人取到的是紅球，則第二個人取到紅球的概率又是多少？ 一、條件概率 例 1 設(shè)袋中 有 3個白球， 2個紅球，現(xiàn)從袋中任意 抽取兩次，每次取一 個 ，取后不放回， （ 1）已知第一次取到紅球，求第二次也取到紅球的概率 。 買到一件丙廠的產(chǎn)品買到一件乙廠的產(chǎn)品買到一件甲廠的產(chǎn)品：買到一件次品設(shè)：:::321AAAB)()|()()|()()|( 332211 APABPAPABPAPABP ???0 2 2 ???????)()()()( 321 BAPBAPBAPBP ???定義 (p17)事件組 A1， A2， … ， An (n可為 ?)，稱為樣本空間 ?的一個劃分 ，若滿足： 1( ) 。 式 ()等價于： P(AB)＝ P(A)P(B) () 從一付 52張的撲克牌中任意抽取一張，以 A表示抽出一張 A，以 B表示抽出一張黑桃，問 A與 B是否獨立？ 定理、 以下四件事等價： (1)事件 A、 B相互獨立； (2)事件 A、 B相互獨立； (3)事件 A、 B相互獨立； (4)事件 A、 B相互獨立?？杀頌? X～ P{X=xk}=pk, (k=1, 2, … ) ， 或 … ~XX x1 x2 … xK … Pk p1 p2 … pk … (1) pk ? 0, k＝ 1, 2, … 。 ? ? 23}1{}0{1),(~ ??????? eXPXPXPpX 且??}2{}1{}0{1}3{ ???????? XPXPXPXP!22!121 222212 ??????? ???? eeee解 :由題意 , 23 2 ???? ??? ?? ?? eee例 6. 進行獨立重復試驗 ， 每次成功的概率為 p， 令 X表示直到出現(xiàn)第 m次成功為止所進行的試驗次數(shù) ，求 X的分布律 。當 x1時 ,F(x)=1 當 0≤x≤1時 , kxxXPxF ???? }0{)(特別 ,F(1)=P{0≤x≤1}=k=1 用分布函數(shù)描述隨機變量不如分布律直觀， 對非離散型隨機變量，是否有更直觀的描述方法 ？ a b ?}{ ??? bXap 連續(xù)型隨機變量 一、概率密度 1. 定義 (p33) 對于隨機變量 X， 若存在非負函數(shù) f(x)， (?x+?)， 使對任意實數(shù) x， 都有 ? ??? x duufxXPxF )()()( ＝＝則稱 X為連續(xù)型隨機變量， f(x)為 X的 概率密度函數(shù) ，簡稱概率密度或密度函數(shù) . 常記為 X～ f(x) , (?x+?) 密度函數(shù)的 幾何意義 為 ??? ba du)u(f)bXa(P ＝2. 密度函數(shù)的性質(zhì) (p34) (1) 非負性 f(x)?0， (?x?)； (2)歸一性 .1)( ＝? ???? dxxf性質(zhì) (1)、 (2)是密度函數(shù)的充要性質(zhì)； xaexf ??)(設(shè)隨機變量 X的概率密度為 求常數(shù) a. 答 : 21?a(3) 若 x是 f(x)的連續(xù)點，則 )()( xfdx xdF ?設(shè)隨機變量 X的分布函數(shù)為 求 f(x) ??????????0211021)(xexexFxx（ 4） 對任意實數(shù) b， 若 X～ f(x)， (?x?)， 則 P{X=b}＝ 0。)(ttetFtf t??正態(tài)分布是實踐中應用最為廣泛，在理論上 研究最多的分布之一，故它在概率統(tǒng)計中占有特 別重要的地位。） 一般地 X Pk Y=g(X) ?????? kxxx 21?????? kppp 21?????? )()()( 21 kxgxgxg二、連續(xù)型隨機變量函數(shù)的密度函數(shù) 一般方法 (p56) 若 X~f(x), ? x +?, Y=g(X)為隨機變量 X 的函數(shù)，則可先求 Y的分布函數(shù) FY (y) ＝ P{Y?y}＝ P {g(X) ?y}＝ ?? y)x(g dx)x(fdyydFyf YY)()( ?然后再求 Y的密度函數(shù) 此法也叫“ 分布函數(shù)法” 例 X?U(1,1),求 Y=X2的分布函數(shù)與概率密度。如圖陰影部分： 對于 (x1, y1), (x2, y2)?R2, (x1 x2， y1y2 ),則 P{x1X? x2， y1y?y2 } ＝ F(x2, y2)－ F(x1, y2)－ F (x2, y1)＋ F (x1, y1). (x1, y1) (x2, y2) (x2, y1) (x1, y2) 分布函數(shù) F(x, y)具有如下 性質(zhì) ： (p4142) 0),(l i m),( ????????????yxFFyx1),(lim),( ????????yxFFyx且 0),(lim),( ???????yxFyFx0),(lim),( ???? ??? yxFxF y(1)歸一性 對任意 (x, y) ?R2 , 0? F(x, y) ? 1, (2)單調(diào)不減