【正文】 例3 （2002年吉林省中考題）木工師傅在做完門框后，為防止變形，常常像圖7所示釘上兩根斜拉的木條（即圖中的AB、CD兩根木條），這樣根據(jù)的數(shù)學(xué)道理是_________________。多邊形內(nèi)角和公式還有許多其他證法。 如果多邊形的各邊都相等，各內(nèi)角也都相等，那么就稱它為正多邊形。因此，可將三角形按角進(jìn)行如下的分類：直角三角形三角形 斜三角形 銳角三角形鈍角三角形（2）三角形有邊和角兩類元素，對(duì)三角形進(jìn)行分類時(shí)，除了按角進(jìn)行分類外，還可按邊的相等關(guān)系來(lái)分。銳角三角形的三條高在三角形內(nèi)部，如圖3，在銳角△ABC中，AD、BE、CF分別是BC、AC、AB邊上的高。2．三角形中有哪些重要線段？答：（1）三角形的角平分線三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線。3．掌握三角形的分類。故所求學(xué)生人數(shù)是17人。Z=7符合題意，所以這個(gè)學(xué)生有7道題沒(méi)做。解：設(shè)原方程組為 ax＋by=2 ① 3c－7y=8 ②由于 x=3 是這個(gè)方程組的解， y=－2 所以 3a－2b=2 ③ 3c＋14=8 ④由④式解出c=－2小明由于看錯(cuò)了c，而解出了 x=－2 y=2這表明x=－2，y=2只滿足①式，即－2a＋2b=2 ⑤聯(lián)立③、⑤，得到關(guān)于a、b的二元一次方程組 3a－2b=2 －2a＋2b=2利用加減消元法可解得 a=4，因此原來(lái)的方程組為 4x＋5y=2 b=5 －2x－7y=8例8 購(gòu)買五種教學(xué)用具A1，A2，A3，A4，A5的件數(shù)和用錢總數(shù)如下表所示：品名次數(shù)A1A2A3A4A5總錢數(shù)第一次采購(gòu)的件數(shù)134561992元第二次采購(gòu)的件數(shù)1579112984元問(wèn)每種教具各購(gòu)買一件共需多少元？ 解：設(shè)A1，A2，A3，A4，A5的單價(jià)分別為x1，x2，x3，x4，x5元。a、b的運(yùn)算a＋ba－b運(yùn)算結(jié)果－49－97問(wèn)表中空格內(nèi)所填的數(shù)就是多少？解：從上表可知a、b滿足二元一次方程組 a＋b=－49 a－b=－97利用加減消元法求得 a=－73 b=24所以所以表中空格內(nèi)應(yīng)填的數(shù)是－3。由于方程組各項(xiàng)的系數(shù)都比較大，直接代入消元或加減消元運(yùn)算會(huì)比較繁。例6 有一口能持續(xù)涌出泉水的井，每小時(shí)涌出的水量相等。在無(wú)上游洪水注入的情況下，只要打開一個(gè)水閘泄洪就可使水庫(kù)水位勻速下降。例4某市電信局現(xiàn)有600部已申請(qǐng)裝機(jī)的固定電話尚待裝機(jī)，此外每天還有新申請(qǐng)裝機(jī)的電話也待裝機(jī)。為了提高服務(wù)質(zhì)量，減少學(xué)生排隊(duì)的時(shí)間，食堂計(jì)劃在8分鐘內(nèi)讓排隊(duì)等候的學(xué)生全部買到晚餐，以使后到的學(xué)生能隨到隨買，問(wèn)至少要同時(shí)開放幾個(gè)窗口？分析：這是一個(gè)排隊(duì)問(wèn)題，看似只有一個(gè)未知數(shù)——同時(shí)開放幾個(gè)窗口，實(shí)質(zhì)上還有三個(gè)未知數(shù)：原來(lái)等候的學(xué)生人數(shù)、前來(lái)排隊(duì)的每分鐘增加的學(xué)生人數(shù)、每個(gè)窗口賣晚餐的速度。二、求代數(shù)式的值例2 已知方程組 x－2y＋4z=0 ，且xyz≠0 2x＋3y－13z=0求代數(shù)式的值。根據(jù)題意，可列出方程組a＋24x=7024y 解得 x=a＋60x=3060y y=如果要在96天內(nèi)把牧場(chǎng)的草吃完，設(shè)要頭牛，則 a＋96x=96也就是說(shuō)，草是不停地長(zhǎng)著的。（3）設(shè)甲、乙兩人單獨(dú)完成此工程各需費(fèi)用a元、b元。解：由題意知 x=2 和 x=3 都是方程ax＋by=2的解，因此有 2a＋4b=2 y=4 y= 3a＋=10解得 a=5 b=－2把 x=2 代入cx＋2y=10中，得2c＋24=10，∴c=1 y=4因此正確的c=1，b=－2例9 寫出一個(gè)以 x=0 為解的二元一次方程組。（2003年無(wú)錫） y=1解：將 x=2代入已知方程中，得22－1＋3k=0 y=1解得k=－1例2 王老師在課堂上給出了一個(gè)二元方程x＋y=xy，讓同學(xué)們找出它的解。解：由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，可得方程組x－2y－3=0 解得 x=1 x＋3y＋2=0 y=－1把x、y的值代入已知條件所給出的方程組得a－2=b 解得 a=3 4＋b=2a－1 b=1聚焦二元一次方程（組）考點(diǎn)概述1．二元一次方程的概念按定義判斷一個(gè)方程是否是二元一次方程，應(yīng)考慮：（1）含有兩個(gè)未知數(shù)；（2）含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1；（3）方程兩邊的代數(shù)式都必須是整式。（1）當(dāng)某一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)互為相反數(shù)時(shí)，兩個(gè)方程相加把這個(gè)未知數(shù)消去；（2）當(dāng)某一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相等時(shí)，兩個(gè)方程相減把這個(gè)未知數(shù)消去； （3）若未知數(shù)的系數(shù)都不相等時(shí)，可利用方程的變形原理2將方程兩邊都乘以一個(gè)正數(shù)，把未知數(shù)的系數(shù)化成絕對(duì)值相等，再進(jìn)行加減，消去一個(gè)未知數(shù)。 2x＋3y=4 4x－3y=28．關(guān)于x、y的二元一次方程組 3x－ay=16的解是 x=7，那么關(guān)于x、y的二元一次方程 2x＋by=15 y=1組 3（x＋y）－a（x－y）=16 2（x＋y）＋b（x－y）=15的解是______________。在列二元一次方程組時(shí)，要根據(jù)題目中的數(shù)量關(guān)系，假設(shè)兩個(gè)未知數(shù)，選擇兩個(gè)不同的等量關(guān)系，由此列出兩個(gè)含有這兩個(gè)未知數(shù)的等式，建立方程組，然后再求出方程組的解，從而解決問(wèn)題。3．二元一次方程組的解的情況：當(dāng)時(shí)，二元一次方程組有惟一一個(gè)解；當(dāng)時(shí)，二元一次方程組無(wú)解；當(dāng)時(shí)，二元一次方程組有無(wú)數(shù)多個(gè)解。第七章 二元一次方程組《二元一次方程組》知識(shí)梳理方程組是方程內(nèi)容的深化和發(fā)展，二元一次方程組是方程組內(nèi)容的開端。先要弄清一些基本概念：兩種物質(zhì)的均勻的分子混合物叫做溶液，被溶解的物質(zhì)（如鹽）叫溶質(zhì)，溶解物質(zhì)的介質(zhì)（比如水）叫做溶劑，在一定量的溶液中所含溶質(zhì)的量叫做溶液的濃度。解法二：設(shè)乙走的路程AC為xkm，則甲由A—B—C的路為（2126－x）km。甲由A到B后立即返回，在歸途中與乙在C點(diǎn)相遇，其中A—B—C表示了甲行進(jìn)的路程，虛線A—C表示了乙行進(jìn)的路程。因此可得到方程=。解法二：若1990x≥1990，則1990x－1990=1990即1990x=3980得x=2若1990x1990，則1990x－1990=－1990，即1990x=0得x=0經(jīng)檢驗(yàn)，x=2，x=0都是原方程的根。例4 有理數(shù)，8恰是下列三個(gè)方程(1)(2)3(2y＋1)=2（1＋y）＋3（y＋3）(3)的根，則的值等于______________。在代數(shù)中，未知數(shù)一般用字母x、y、z表示。例8 要將含鹽30%的鹽水20千克變成含鹽50%的鹽水。例7 一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字大2，如果個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字交換，比原數(shù)大18。例5 李明以兩種形式分別儲(chǔ)蓄了2000元和1000元。另外在列出的方程中，同類量的單位要統(tǒng)一，如時(shí)間單位都用小時(shí)，距離單位都用千米。10．?dāng)?shù)字問(wèn)題基本關(guān)系：若百位數(shù)字為x，十位數(shù)字為y，個(gè)位數(shù)字為z，則這個(gè)三位數(shù)用代數(shù)式表示為100x＋10y＋z（x、y、z在0至9之間，x≠0）典型例題例1 在甲處勞動(dòng)的有27人，在乙處勞動(dòng)的有19人，現(xiàn)另調(diào)20人去支援甲、乙兩處，使在甲處勞動(dòng)的人數(shù)為在乙處勞動(dòng)的人數(shù)的2倍，應(yīng)調(diào)往甲、乙兩處各多少人？分析：等量關(guān)系為：調(diào)往甲處的人數(shù)＋調(diào)往乙處的人數(shù)=20調(diào)入后甲處人數(shù)=調(diào)入后乙處人數(shù)的2倍解：設(shè)應(yīng)調(diào)往甲處x人，則就調(diào)往乙處（20－x）人。例8 解方程錯(cuò)解：去分母得2（2x－5）－1=3（3x＋1）－（1－5x）去括號(hào)得4x－10－1=9x＋3－1－5x移項(xiàng)得4x＋9x－5x=3－1－10－1合并同類項(xiàng)得8x=－9系數(shù)化為1得x=－分析 ：錯(cuò)解中有三處錯(cuò)誤（也是同學(xué)們?nèi)菀追傅腻e(cuò)誤）。分析：可先寫出一個(gè)與－有關(guān)的算式，再將－換成字母x即可。解：由同類項(xiàng)的定義知m－1=1，且n＋1=2解得m=2，n=1。列——列方程，根據(jù)題目中提供的相等關(guān)系列出方程。例1 下列方程是一元一次方程的是（ ）A．x＋=0 B．2x＋y－3=0 C．x2－2x＋1=0 D．3（x－1）=5x＋2析解：選項(xiàng)A中的方程不是整式方程，所以它不是一元一次方程；選項(xiàng)B中的方程不止一個(gè)未知數(shù)，而是含有兩個(gè)未知數(shù)x、y，所以它不是一元一次方程；選項(xiàng)C中的方程未知數(shù)的最高次數(shù)是2不是1，所以它不是一元一次方程。其中，方程的基本變形、方程和它的解是本章的基礎(chǔ)，一元一次方程的解法及其應(yīng)用是本章的重點(diǎn)，列一元一次方程解應(yīng)用題是本章的難點(diǎn)。（2）分母為小數(shù)需變形時(shí)，可利用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)、比例的基本性質(zhì)，化分母為整數(shù)或1。例4 解方程解：去括號(hào)得移項(xiàng)得合并同類項(xiàng)得化系數(shù)為1得x=說(shuō)明：（1）括號(hào)里含有分母時(shí)，一般應(yīng)先去括號(hào)，然后再去分母化簡(jiǎn)。許多問(wèn)題常需要通過(guò)方程來(lái)幫助解決。二、 典型例題例1 填空題：1．方程3x－1=4x＋2的最簡(jiǎn)形式是_____________或_____________。2．去分母：（1）方程的各項(xiàng)都乘以公分母；（2）分子是多項(xiàng)式時(shí)應(yīng)加括號(hào)。（二）方程的變形方程的變形1：方程兩邊都加上或都減去同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，方程的解不變。方程的變形2：方程兩邊都乘以或都除以同一個(gè)不為0的數(shù)，方程的解不變。3．去括號(hào)：（1）去括號(hào)法則；（2）乘法分配律。2．（4y－3）=2的一般形式是___________________。用“回到定義上去”的方法來(lái)說(shuō)明代數(shù)式、等式和方程這些概念的重要，在學(xué)習(xí)過(guò)程中不可忽視。（2）可根據(jù)方程的特點(diǎn)，靈活安排解方程的步驟。（3）分?jǐn)?shù)線具有除號(hào)和括號(hào)的作用，去分母時(shí)，分子是多項(xiàng)式應(yīng)加上括號(hào)。一、學(xué)習(xí)目標(biāo)要求1．了解方程、一元一次方程以及方程的解等基本概念，了解方程的基本變形在解方程中的作用。因此，應(yīng)選D。解——解方程。例4 解方程分析：解此方程時(shí)，不宜一步一步地先去小括號(hào)，再去中括號(hào)，而應(yīng)從入手。符合條件的一元一次方程有無(wú)數(shù)個(gè)。第一處錯(cuò)誤是去分母時(shí)，不含分母的項(xiàng)－1漏乘了6；第二處錯(cuò)誤是去括號(hào)時(shí)，括號(hào)前是“－”號(hào)，去掉括號(hào)，括號(hào)內(nèi)第一項(xiàng)后面的項(xiàng)未變號(hào)，這里－（1－5x）=－1＋5x；第三處錯(cuò)誤是移項(xiàng)都未變號(hào)。根據(jù)題意得27＋x=2[19＋（20－x）]解得x=17∴20－x=3答：應(yīng)調(diào)往甲處17人，調(diào)往乙處3人。例3 一艘輪船航行于A、B兩地之間，順?biāo)叫兴俣葹関1，逆水航行速度為v2，那么這艘輪船航行于A、B兩地之間的平均速度是（ ）A． B． C． D．解：設(shè)A、B兩地的距離為s，順?biāo)叫袝r(shí)間為t1，逆水航行時(shí)間為t2，那么t1= t2=平均速度故應(yīng)選D。%，問(wèn)這兩種儲(chǔ)蓄的年利率各是百分之幾？（注：公民應(yīng)交利息所得稅=利息金額20%） （2000年廣西中考題）解：設(shè)儲(chǔ)蓄2000元的年利率為x，則儲(chǔ)蓄1000元的年利率為（%－x）。求這個(gè)兩位數(shù)。問(wèn)：（1）需蒸發(fā)掉多少千克的水？（2）需加入多少千克的鹽？（3）需加入60%的鹽水多少千克？解：（1）設(shè)需蒸發(fā)掉x千克水。在中國(guó)古代數(shù)學(xué)中，未知數(shù)用天、地、人等表示，稱為“天元術(shù)”。解：將，8代入方程（1），（2），（3）檢驗(yàn)，知滿足方程（1），8滿足方程（2），滿足方程（3），所以x=，y=8，z=。解法三：原方程兩邊同除以1990得，∣x－1∣=1∴x－1=1或x－1=－1解得x=2或x=0經(jīng)檢驗(yàn)，x=2，x=0都是原方程的根。解得x=180。設(shè)從A出發(fā)后x小時(shí)，甲在歸途中與乙在C點(diǎn)相遇。乙行進(jìn)xkm用了小時(shí)，甲行進(jìn)（2126－x）km用了小時(shí)，由于這兩個(gè)時(shí)間應(yīng)相等，于是可列出方程解得x=112（km）所以乙從A出發(fā)后=7(小時(shí))，在去的路上恰遇甲于歸途中。以下是基本的關(guān)系式：溶液質(zhì)量=溶質(zhì)質(zhì)量＋溶劑質(zhì)量，溶液濃度=100%=100%。用消元法解二元一次方程組的方法是解方程組的基本思想方法，本章的內(nèi)容是學(xué)習(xí)二元二次方程組和其他方程組、一元二次方程、函數(shù)等必備的基礎(chǔ)知識(shí)。(三)二元一次方程組的解法1． 代入消元法：求表示式，代入消元，回代得解。二、典型例題例1 填空題：1．在中，用含x的代數(shù)式表示y為y=____________________；用含y的代數(shù)式表示x為x=_______________。9．已知，則a∶b∶c=_____________。解法三：（消常數(shù)項(xiàng)法）：①2－②得－4x＋3y=0∴y= ③把③代入②得6x＋=22 ∴x=3把x=3代入③得y=4 ∴ x=3