可微性與偏導(dǎo)數(shù)-免費(fèi)閱讀
【正文】 ( , )z f x y? 的增量 z?數(shù) 則是切平面 上相應(yīng) 的那 一段 增量 NM. 于 12P M M M而趨于零 , 而且是較 高階的無窮小量 . ?? 0?是 , 與 dz 之差是 MQ 那一段，它的長度將 隨著 z?返回 后頁 前頁 圖 17 – 4 xyzOS?PQ1Q2QM1M2MN1N2N?00( , )xy00( , )? ? ? ?x x y y????????????返回 后頁 前頁 例 6 試求拋物面 22 0 0 0( , , )z a x b y P x y z?? 在點(diǎn)處 的切平面方程與法線方程，其中 220 0 0 .z a x b y??解 0 0 0 0 0 0( , ) 2 , ( , ) 2 ,xyf x y a x f x y b y??由公式 (13), 在點(diǎn) P 處的切平面方程為 0 0 0 0 02 ( ) 2 ( ) .z z a x x x b y y y? ? ? ? ?220 0 0 ,z a x b y又因 所以它可化簡為??0 0 02 2 0 .a x x b y y z z? ? ? ?由公式 (14), 在點(diǎn) M 處的法線方程為 返回 后頁 前頁 0 0 000.2 2 1x x y y z za x b y? ? ??? ?下面的例 8 和例 9 是利用線性近似公式 (3) 所作的 近似計(jì)算和誤差估計(jì) . 例 7 求 3 . 9 61 . 0 8 的近似值 . ( , ) ,yf x y x? 00 1 , 4 , 0 . 0 8 ,x y x? ? ? ?并令解 設(shè) 0 . 0 4 .y? ? ?由公式 (3)，有 3 . 9 6 001 . 0 8 ( , )f x x y y??? ? ?( 1 , 4 ) ( 1 , 4 ) ( 1 , 4 )xyf f x f y??? ? ?返回 后頁 前頁 41 4 0 . 0 8 1 l n 1 ( 0 . 0 4) 1 . 3 2 .? ? ? ? ? ? ? ?例 8 1 s in2S a b C應(yīng)用公式 計(jì)算某三角形的面積,?1 2 . 5 0 , 8 . 3 0 , 3 0 . ,a b C a b現(xiàn)測得 若測量 的誤? ? ?0 . 0 1 , 0 . 1 ,C差為 測量 的誤差為 試求用此公式??計(jì)算三角形面積時(shí) 的絕對誤差限和相對誤差限 . 解 依題意，測量 a, b, C 的絕對誤差限分別為 | | 0 . 0 1 , | | 0 . 0 1 , | | 0 . 1 .1800a b C ?? ? ?? ? ? ?由于 返回 后頁 前頁 | | | d || | | | | |S S SS S a b Ca b CS S Sa b Ca b C? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?因此將各數(shù)據(jù)代入上式 , 即得 S 的絕對誤差限為 | | 0 . 1 3 .S? ?11| sin | | | | sin | | |221| c os | | |,2b C a a C bab C C???? ? ? ???返回 后頁 前頁 1 1 1s in 1 2 . 5 0 8 . 3 0 2 5 . 9 4 ,2 2 2S a b C? ? ? ? ? ?0 .1 3 0 . 5 % .2 5 .9 4SS? ??又因 所以 S 的相對誤差限為 返回 后頁 前頁 復(fù)習(xí)思考題 1. 已知函數(shù)的連續(xù)性、偏導(dǎo)數(shù)的存在性、可微性和 偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性之間有如下關(guān)系 : 偏導(dǎo)數(shù)連續(xù) 可 微 連 續(xù) 偏導(dǎo)數(shù)存在 返回 后頁 前頁 試舉出能分別滿足如下要求的函數(shù) ( , ) :f x y(i) ( 0 , 0 ) , 。 1 可微性與偏導(dǎo)數(shù) 本節(jié)首先討論二元函數(shù)的可微性 , 這是多元函數(shù)微分學(xué)最基本的概念 . 然后給出對單個(gè)自變量的變化率 , 即偏導(dǎo)數(shù) . 偏導(dǎo)數(shù)無論在理論上或在應(yīng)用上都起著關(guān)鍵性的作用 . 四、 可微性的幾何意義及應(yīng)用 返回一、 可微性與全微分 二、 偏導(dǎo)數(shù) 三、 可微性條件 返回 后頁 前頁 一、 可微性與全微分 定義 1 設(shè)函數(shù) 0( , ) ( )z f x y U P? 在某鄰域內(nèi)有定 0 0 0( , ) ( , ) ( ) ,P x y x x y y U P??? ? ? ?義 .對于 若 f 在 0P :z? 可表示為的全增量 0 0 0 0( , ) ( , )( ) ,z f x x y y f x yA x B y o ?? ? ???? ? ? ?? ? ?(1) 0P 22 ,xy? ????其中 A,B是僅與點(diǎn) 有關(guān)的常數(shù) , ()o ??是 0P的高階無窮小量 , 則稱 f 在點(diǎn) 可微 . 并稱 (1) 式中關(guān)于 ,x y A x B y? ? ? ??的線性表達(dá)式返回 后頁 前頁 | |, | |xy?? dz由 (1), (2) 可見 ,當(dāng) 充分小時(shí) , 全微分 ( , ) ( 0 , 0 ) ( , ) ( 0 , 0 )l i m l i m 0 .x y x y??? ? ? ??? ??這里 ,z A x B y x y??? ? ? ? ?? ? ? ?(4) 0 00d | d ( , ) .Pz f x y A x B y??? ? ?(2) 0fP在為 的 全微分 , 記作 z?可作為全增量 的近似值 , 于是有近似公式 : 在使用上 , 有時(shí)也把 (1) 式寫成如下形式： 0 0 0 0( , ) ( , ) ( ) ( ) .f x y f x y A x x B y y? ? ? ? ?(3) 返回 后頁 前頁
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