【正文】 從而aRc。即R是自反的。根據(jù)逆元的定義，有(a,b)*(c,d)= (ac,ad+b)=(1,0)(c,d)*(a,b)= (ac,cb+d)=(1,0)即ac=1,ad+b=0,cb+d=0。因為G 是交換群，故G的所有元素之積可變成單位元和n對互為逆元的元素之積的積，從而結(jié)果為e。同理可證a*bB。5在一個群G,*中，若A和B 都是G的子群。從而aba, abb, abe,故ab=c。則H是G的子群且|H|=m。因為h是單一同態(tài)，所以am=e1。故cd=h(a)h(b)=h(ab)。若d=1 ,則結(jié)論顯然成立。從而H中的元素是兩兩不同的，易證HG。從而b=(am)q。從而km=1，即k=1,m=1或k=1,m=1。證明：aG，由封閉性及|G|=n可知a,a2,…,an,an+1中必有相同的元素，不妨設(shè)為ak=am,km。由n和p的定義，顯然有(ak)p=e。即a的階就是p，即群G的階。故HK是G的子群，從而也是H和K的子群。則HK是一個元素個數(shù)大于1的有限集。這與已知矛盾。證明：若G是平凡群，則結(jié)論顯然成立。a）再證C（G）是G的不變子群。b=xx= a證明：先證C（G）是G的子群。從而aa1a證明：HK也是G 的不變子群。4若群G,＊的子群H,＊滿足|G|＝2|H|，則H,＊一定是群G,＊的正規(guī)子群。對a，bG，因為G是可交換群，故f(aa)1)1=b是群，作f:GG,aa1。因為*是可結(jié)合的，故有b*a=(a*a)*a=a*(a*a)=a*b。3設(shè)群G,＊除單位元外每個元素的階均為2，則G,＊是交換群。b=(ab))。(bb2。b))b）2=(a由于*滿足消去律，故x1=x2。 因為a*e=a，所以a*a=a*e。因為任一階大于2 的元素和它的逆元的階相等。 則e1=e1*e2=e2。證明：（用反證法證明）設(shè)在素不少于兩個的群G,中存在零元。3設(shè)e和0是關(guān)于A上二元運算*的單位元和零元，如果|A|1，則e0。故Sa,的子半群。（3）對aI，因為a*（4a）=a+4a2=2=e=4a+a2=(4a)*a。這與已知矛盾。a2)=ba)(ab))b= a3試證a故階數(shù)大于2 的元素成對出現(xiàn)，從而其個數(shù)必為偶數(shù)。2證明：偶數(shù)階群中階為2 的元素的個數(shù)一定是奇數(shù)。由于ca) d。令H={xG|a試問I,*是循環(huán)群嗎？解：I,*是循環(huán)群。解： 因為|C12|=12，|H|=3，所以H 的不同右陪集有4 個：H，{a,a5,a9},{a2,a6,a10},{a3,a7,a11}。上確界是e，下確界是c。（1） 下列哪些關(guān)系式成立：ab,ba,ce,ef,df,cf；（2） 分別求出下列集合關(guān)于的極大（?。┰⒆畲螅ㄐ。┰⑸希ㄏ拢┙缂吧希ㄏ拢┐_界（若存在的話）：(a) A。下列哪個是A的劃分？若是劃分，則它們誘導(dǎo)的等價關(guān)系是什么？（1）B={{1,3,6},{2,8,10},{4,5,7}}。1設(shè)A={1,2,3},寫出下列圖示關(guān)系的關(guān)系矩陣，并討論它們的性質(zhì)： 1 1 12 3 2 3 2 3解：（1）R={2,1,3,1,2,3}。(2) x，zR(ST)，則由合成關(guān)系的定義知yB，使得x，yR且y，zST。 R=R1，y,xR。證明：x,yR ，R是對稱的，yRx。從而RS是傳遞的。從而RS是自反的。A上的任一良序關(guān)系一定是A上的全序關(guān)系。(2) 不成立。 (4) P(A)P(B)={nhcuj7d3,{a,d}}。設(shè)全集U={a,b,c,d,e}, A={a,d}, B={a,b,c}, C={b,d}。故B=C。即B=C。從而xA。證明：若B=，則BB=。（4）存在x，對任意y 使得xy=y。（4）存在自然數(shù)x，對任意自然數(shù)y滿足xy=1。 (2) xy(xy=1)。 故P(AB)=P(A)P(B)1（AB）B=（AB）B當(dāng)且僅當(dāng)B=。從而(AB)CA(BC) 1P(A)P(B)P(AB) （P(S)表示S的冪集）證明：SP(A)P(B)，有SP(A)或SP(B)，所以SA或SB。而A(BC)= (AB)(AC)， 所以A=(AB)(AC)。故AB=，BA=，從而AB，BA，故A=B。C: C隊獲亞軍。從而P也為F，即P為T。(1) 有些邊是割邊　　(2) 每條邊都是割邊(3) 所有邊都不是割邊 　(4) 圖中存在一條歐拉路徑答：（2）（數(shù)理邏輯部分）二、求下列各公式的主析取范式和主合取范式： (P→Q)R　 解：(P→Q)R(PQ )R(PR)(QR) （析取范式）(P()R)((PP)QR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)（主析取范式）((P→Q)R)(PQR)(PQR)(PQR) (PQR)( PQR)（原公式否定的主析取范式）(P→Q)R(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)（主合取范式）(PR)(QR)P 解： (PR)(QR)P（析取范式）(P()R)((PP)QR)(P()(RR))(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)( PQR)( PQR)(PQR)(PQR) (PQR)(PQR)(PQR)(PQR) (PQR)(PQR) (主析取范式)（(PR)(QR)P）(PQR)(PQR）（原公式否定的主析取范式）(PR)(QR)P (PQR)(PQR)（主合取范式）(P→Q)(RP)解：(P→Q)(RP)　(PQ)(RP)（合取范式）(PQ(RR))(P())R)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR) (PQR)(PQR)(PQR)（主合取范式） ((P→Q)(RP))(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)（原公式否定的主合取范式）(P→Q)(RP)　(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)（主析取范式）Q→(PR) 解：Q→(PR)QPR（主合取范式）（Q→(PR)）(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR）（原公式否定的主合取范式）Q→(PR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR）（主析取范式）P→(P(Q→P)) 解：P→(P(Q→P))P(P(QP))PP T (主合取范式)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)（主析取范式）(P→Q)(RP)解： (P→Q)(RP)(PQ)(RP)(PQ)(RP)（析取范式）(PQ(RR))(P()R)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)（主析取范式）((P→Q)(RP))(PQR)(PQR)(PQR) (PQR)(PQR)（原公式否定的主析取范式）(P→Q)(RP)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)（主合取范式）P(P→Q) 　　　　解：P(P→Q)P(PQ)(PP)QT(主合取范式)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)（主析取范式）(R→Q)P解：(R→Q)P(RQ )P (RP)(QP) （析取范式） (R()P)((RR)QP)(RQP)(RQP)(RQP)(RQP)(PQR)(PQR)(PQR)（主析取范式）((R→Q)P)(PQR)(PQR）(PQR) (PQR)(PQR)（原公式否定的主析取范式）(R→Q)P(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)（主合取范式）P→Q 解：P→QPQ（主合取范式）(P())((PP)Q)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)（主析取范式）　PQ　 解： PQ （主合取范式）(P())((PP)Q）(PQ)(PQ)(PQ)(PQ）(PQ)(PQ)(PQ)（主析取范式）1PQ解：PQ（主析取范式）(P())((PP)Q)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)（主合取范式）1（PR）Q解：（PR）Q(PR)Q(PR)Q(PQ)(RQ)（合取范式）(PQ(RR))((PP)QR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)（主合取范式）（PR）Q (PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR) （原公式否定的主析取范式）（PR）Q(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)（主析取范式）1（PQ）R解：（PQ）R(PQ)R(PQ)R(析取范式)(PQ(RR))((PP)()R)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(主析取范式）（PQ）R(PQ)R(PQ)R(析取范式)(PR)(QR)(合取范式)(P()R)((PP)QR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(主合取范式)1(P(QR))(P(QR))解：(P(QR))(P(QR))(P(QR))(P(QR))(PQ)(PR)(PQ)(PR)（合取范式）(PQ(RR))(P()R)(PQ(RR))(P()R)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(主合取范式)(P(QR))(P(QR))(PQR)(PQR)(原公式否定的主合取范式)(P(QR))(P(QR))(PQR)(PQR)(主析取范式)1P(P(Q(QR)))解：P(P(Q(QR))) P(P(Q(QR))) PQR(主合取范式)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(原公式否定的主合取范式)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(主析取范式)1(PQ)(PR)解、(PQ)(PR)(PQ)(PR) (合取范式)(PQ(RR)(P()R)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(主合取范式)(PQ)(PR)(PQ)(PR)P(QR)(合取范式)(P()(RR))((PP)QR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(主析取范式)三、證明：P→Q，QR，R，SP=S證明：(1) R 前提(2) QR 前提(3) Q （1），（2）(4) P→Q 前提(5) P （3），（4）(6) SP 前提(7) S （5），（6）A→(B→C)，C→(DE)，F(xiàn)→(DE),A=B→F證明： (1) A 前提(2) A→(B→C) 前提 (3) B→C （1），（2）(4) B 附加前提(5) C （3），（4）(6) C→(DE) 前提(7) DE （5），（6）(8) F→(DE) 前提(9) F （7），（8）(10) B→F CP PQ， P→R, Q→S = RS證明：(1) R 附加前提(2) P→R 前提(3) P （1），（2）(4) PQ 前提(5) Q （3），（4）(6) Q→S 前提(7) S （5），（6）(8) RS CP，（1），（8）(P→Q)(R→S)，(Q→W)(S→X)，(WX)，P→R = P證明： （1） P 假設(shè)前提（2） P→R 前提（3） R （1），（2）（4） (P→Q)(R→S) 前提（5） P→Q （4）（6） R→S （5）（7） Q （1），（5）（8） S （3），（6）（9） (Q→W)(S→X) 前提（10） Q→W （9）（11） S→X