【正文】 b. 利用參數(shù)雙三次樣條插值方法，可對上述的算例在以每隔1個單位的矩形網(wǎng)格上得出更完美的效果： 上圖其實(shí)是很光滑的，實(shí)際中出現(xiàn)顏色變深，模糊不清，有縫隙的主要原因是計(jì)算機(jī)中小數(shù)點(diǎn)的舍入誤差和多達(dá)1600個曲面的結(jié)合所產(chǎn)生的結(jié)果，有待改進(jìn)?；谇蛎婺Ｐ?、指數(shù)模型的Kringing插值方法所差值出的曲面與原曲面在形狀上有一點(diǎn)瑕疵，主要是因?yàn)槭艿角蛎婺Ｐ?、指?shù)模型中的變程a很關(guān)鍵，直接關(guān)系到插值的精度和效果。當(dāng)然，上述四步也可以換成不同的順序，也可采用其他的邊界條件。當(dāng)然，具體決定參數(shù)化時還應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況及要求，確定切合實(shí)際需要的參數(shù)化，不能生搬硬套上述方法。┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊裝┊┊┊┊┊┊┊訂┊┊┊┊┊┊┊線┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊裝┊┊┊┊┊訂┊┊┊┊┊線┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊安徽工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 畢業(yè)論文 給定三維空間呈矩形拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的一組離散數(shù)據(jù)點(diǎn)我們構(gòu)造插值這些數(shù)據(jù)點(diǎn)的一張參數(shù)雙三次樣條曲面。曲面造型方法分為兩大類：一是以曲線為基礎(chǔ)，即由曲線構(gòu)造曲面。zier曲面、Shepard曲面等。zier和de Casteljau的開創(chuàng)性工作，他們分別對立地提出了現(xiàn)在稱之為Coos曲面和B233。所以在實(shí)際問題的計(jì)算中經(jīng)常采用較小的形狀參數(shù)c。其結(jié)果與用MultiQuadric函數(shù)代替Kriging中的自相關(guān)函數(shù)或樣條函數(shù)中的核函數(shù)，利用Kriging公式或樣條插值公式求解的結(jié)果是一樣的，Hardy在很多實(shí)際問題計(jì)算中發(fā)現(xiàn)，如果數(shù)據(jù)點(diǎn)兩兩不同，用MultiQuadric函數(shù)構(gòu)造插值的插值問題都是有唯一解的，而且在很多情況下可以獲得甚至比在Kriging方法中運(yùn)用通常的自相關(guān)函數(shù)及樣條函數(shù)通常的核函數(shù)更好的解。假設(shè)數(shù)據(jù)點(diǎn)兩兩不同，是其上的數(shù)據(jù)值。一般認(rèn)為塊金值代表隨機(jī)變異的量，基臺值代表變量空間變異的結(jié)構(gòu)性方差，塊金系數(shù)是塊金值與基臺值的比值，用于反映變量的空間自相關(guān)程度。 ①在整個研究區(qū)內(nèi)有 ② 增量[]的方差函數(shù) (變差函數(shù),Variogram) 存在且平穩(wěn) (即不依賴于u)，即： 定義七：變異函數(shù)區(qū)域化變量在點(diǎn)和的值與差的方差的一半為區(qū)域化變量F(x)在x軸方向上的變異函數(shù)，記為。我們討論的隨機(jī)函數(shù)對任何兩兩不同的的點(diǎn)，隨機(jī)變量一般都是線性無關(guān)的。(3) 協(xié)方差(Variance)：二個隨機(jī)變量，η的協(xié)方差為二維隨機(jī)變量的二階混合中心矩記為，或=其簡算公式為= 可見，如果知道了隨機(jī)函數(shù)的協(xié)相關(guān)函數(shù)，那么我們可以寫出關(guān)于這個隨機(jī)函數(shù)在任意點(diǎn)的協(xié)方差矩陣，即如果，那么協(xié)方差矩陣的元素可以用協(xié)相關(guān)函數(shù)表示，寫成矩陣得到。(1) 數(shù)學(xué)期望：是隨機(jī)變量的整體代表性特征數(shù)?？紤]到函數(shù)的連續(xù)性及隨機(jī)因素的影響，這些隨機(jī)變量是相互相關(guān)的。為網(wǎng)格點(diǎn)高度(z軸）間距。若判別式成立，則說明網(wǎng)格最下面的橫邊有等值點(diǎn)。┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊裝┊┊┊┊┊┊┊訂┊┊┊┊┊┊┊線┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊裝┊┊┊┊┊訂┊┊┊┊┊線┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊安徽工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 畢業(yè)論文求出對應(yīng)軸上的坐標(biāo)數(shù)據(jù)的步長數(shù)組求出散亂數(shù)據(jù)的原始空間三維坐標(biāo)(xi,yi,zi)分別抽出原始數(shù)據(jù)中x,y,z軸上的數(shù)據(jù)坐標(biāo)，進(jìn)行排序分別以dx,dy,dz為三邊邊長構(gòu)造空間正六面體網(wǎng)格通過以下流程可以求得： 其中，此方法適用于給出的散亂數(shù)據(jù)比較密集，對于叫疏遠(yuǎn)的數(shù)據(jù)點(diǎn)則影響后面的結(jié)果。本論文最終并不是延續(xù)MC算法所提到的用三角面片表示的等值面。要注意到使用不同的方法，得到不同的表面數(shù)據(jù)和完全不同的結(jié)果，所以選擇恰當(dāng)?shù)目臻g差值方法是空間散亂數(shù)據(jù)插值的關(guān)鍵。對給定的四維數(shù)據(jù)，前三維是空間坐標(biāo)，第四維是有用的信息，比如為壓力，溫度，密度等，要求在空間繪制出等值曲面，如等溫曲面，等壓曲面等，從其很有實(shí)用價值，如醫(yī)學(xué)上腫瘤邊界的數(shù)據(jù)灰度是相同的，這樣就可以構(gòu)造出腫瘤的形狀了，前提是要有計(jì)算機(jī)圖形學(xué)和曲面造型的相關(guān)知識。 關(guān)鍵詞：四維數(shù)據(jù)；等值點(diǎn)；等值面；Kriging插值；Shepherd插值；MultiQuadric插值 ┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊裝┊┊┊┊┊┊┊訂┊┊┊┊┊┊┊線┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊裝┊┊┊┊┊訂┊┊┊┊┊線┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊安徽工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 畢業(yè)論文AbstractThis paper was extracted from engineering fact, according to the four variables Scattered Data graphic isosurface and some other questions, point out the way to construct isosurface’s fourdimentional scattered data graphic which express the geometry generation method, in the process to use puter to achieve the way of generation, followed on the idea which was mentioned by Lorenson and Cline in 1987 the MC algorithm in theory, this algorithm apply to the volume data with high data field density. The following are using the idea of MC algorithm and the models, methods and theories which fitting with scattered data to get the isosurface which is needed. This method can effectively applied to the puter graphics, medicine, geography, meteorology ,thermal and some other practical application. This paper firstly give the Hexahedral Split of the given area, construct the fourdimentional scattered data node, then using the Linear interpolation to find the equivalent point of the scattered the equivalent point are quite sparse,we must deal with Encryption processing for , then though the Kriging interpolation，Shepherd interpolation and MultiQuadric and some other ways to achieve the fitting of isosurface, the key of Kriging interpolation is to choose the suitable Variogram model, such as Spherical, exponential, Gaussian model. In the end, though judging the superiority of all the methods to find out the best solving model, the effect is best especially for the intensive scattered the case of giving random scattered data in advance,we should be take preprocessing and adapt the above methods. Keywords: Fourdimensional data。（6）整理相關(guān)資料，完成畢業(yè)論文的寫作。（3）查閱資料怎樣給出散亂數(shù)據(jù)求出等值點(diǎn)，并且知道多種插值方法，學(xué)會編程實(shí)現(xiàn)等值面。否則，再通過Kriging插值，Shepherd插值，MultiQuadric等方法實(shí)現(xiàn)等值曲面的插值擬合，其中Kriging插值關(guān)鍵是選擇較為合適的變差函數(shù)模型，例如球面，指數(shù)，高斯模型。例如醫(yī)學(xué)數(shù)據(jù)、地震數(shù)據(jù)、氣象數(shù)據(jù)、熱流場等大部分都都是四維及以上的數(shù)據(jù)、由科學(xué)計(jì)算或?qū)嶒?yàn)得到的某一零、部件表面及內(nèi)部的四維數(shù)據(jù), 要求分析其應(yīng)力場分布情況、人體內(nèi)部組織的各種性能狀態(tài)分析、零件表面及內(nèi)部溫度場分析等等, 都可以歸納為四維離散變量的處理問題。此外，在臨摹、仿制及考古的古生物復(fù)原問題中，人們通常利用仿制對象的一些離散測量值來繪制對象的表面形狀，從而制模。這樣做有助于對原始離散數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，便于運(yùn)算求解。下面主要討論第一種方法，便于對數(shù)據(jù)的處理。該步驟可以通過C++,Mathematica軟件求解，驗(yàn)證。等值點(diǎn)在z軸方向時，坐標(biāo)值可由下式求得： ； ； ；分別對x,y軸上進(jìn)行掃描，可求得空間中所有的z軸方向上的等值點(diǎn)坐標(biāo)。1951年，Krige把礦藏的分布函數(shù)看成是一個隨機(jī)函數(shù)的實(shí)現(xiàn)。所謂的Kriging方法就是在已知隨機(jī)函數(shù)的一階矩和二階矩的條件下在線性模型：中，求最小方差線性無偏估計(jì)。(2) 方差：為隨機(jī)變量ξ的離散性特征數(shù)。如果只對隨機(jī)函數(shù)在某個點(diǎn)上的行為感興趣，可以對這個隨機(jī)向量利用聯(lián)合分布進(jìn)行研究。2　 空間各點(diǎn)處隨機(jī)變量的集合構(gòu)成一個隨機(jī)函數(shù)。最后將所有級別的這些點(diǎn)連接后就可以得到實(shí)驗(yàn)變異函數(shù)。那么：=┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊裝┊┊┊┊┊┊┊訂┊┊┊┊┊┊┊線┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊裝┊┊┊┊┊訂┊┊┊┊┊線┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊安徽工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 畢業(yè)論文其中 ； 注：為點(diǎn)之間的變異量，變異量只與兩點(diǎn)間的距離有關(guān)，A為對陣矩陣。┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊裝┊┊┊┊┊┊┊訂┊┊┊┊┊┊┊線┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊裝┊┊┊┊┊訂┊┊┊┊┊線┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊安徽工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 畢業(yè)論文其中，會影響插值的效果。其中，c的取值考慮到： 注意到在MultiQuadric函數(shù)中，如果參數(shù)c趨于0，那么插值問題在一元情形與分段線性插值一致。┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊裝┊┊┊┊┊┊┊訂┊┊┊┊┊┊┊線┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊裝┊┊┊┊┊訂┊┊┊┊┊線┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊安徽工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 畢業(yè)論文 在曲面模型中，主要研究具有一定光滑性的曲面外形的數(shù)學(xué)描述，其歷史由來已久。沒有解決所有問題的統(tǒng)一方法，例如在工業(yè)產(chǎn)品外形設(shè)計(jì)中，廣泛采用的是矩形拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)上的曲面方法，像B233。與曲線的表示類似，曲面方法也應(yīng)該具有能夠插值或逼近給定“硬”數(shù)據(jù)的品質(zhì)。若給出兩個補(bǔ)充方程，即可求出所有的切矢，代入上述方程求出每一參數(shù)段的曲線。這種參數(shù)化法僅適合于每一參數(shù)方向上數(shù)據(jù)點(diǎn)均勻分布的情況。2. 固定下標(biāo)，以為數(shù)據(jù)點(diǎn)， 為邊界條件在參數(shù)分割上構(gòu)造參數(shù)三次樣條曲線，