【正文】 ∴△MEC為直角三角形．∵M(jìn)G=CG，∴EG=MC，∴EG=CG．（3）解：（1）中的結(jié)論仍然成立．理由如下：過F作CD的平行線并延長(zhǎng)CG交于M點(diǎn)，連接EM、EC，過F作FN垂直于AB于N．由于G為FD中點(diǎn)，易證△CDG≌△MFG，得到CD=FM，又因?yàn)锽E=EF，易證∠EFM=∠EBC，則△EFM≌△EBC，∠FEM=∠BEC，EM=EC∵∠FEC+∠BEC=90176。且β=120176。﹣α=α﹣60176?；?10176。＜α＜180176。∴∠F=∠GMC．∵在△GFE與△GMC中，∴△GFE≌△GMC（SAS）．∴EG=CG，∠FGE=∠MGC． ∵∠FMC=90176?！螮BC=90176。=90176。﹣∠BAE=90176。∴∠BAD+∠EAC=45176。得到△ACG，連接EG（如圖3）；請(qǐng)你從中任選一種方法進(jìn)行證明；（3）小敏繼續(xù)旋轉(zhuǎn)三角板，在探究中得出當(dāng)45176。+15176。+45176。得到長(zhǎng)方形AMNH（如圖），這時(shí)BD與MN相交于點(diǎn)O．（1）求∠DOM的度數(shù)；（2）在圖中，求D、N兩點(diǎn)間的距離；（3）若把長(zhǎng)方形AMNH繞點(diǎn)A再順時(shí)針旋轉(zhuǎn)15176。AB=AC，BM=BN，∴∠ABC=∠ACB=∠BNP=45176?！?；②如圖b，當(dāng)θ≠45176。﹣α；（3）如圖1，延長(zhǎng)BM，CQ交于點(diǎn)D，連接AD，∵∠CDB=90176。∴∠CDB=30176。=180176。=90176。得到△A′O′B（得到A、O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A′、O′），并回答下列問題：∠ABC=　30176。﹣272176。∴∠BEC=180176?！郃F∥BP，∴∠F=∠FPC=60176。角的直角三角板ABC與AFE按如圖（1）所示位置放置放置，現(xiàn)將Rt△AEF繞A點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角α（0176。BP=DF，BQ=DN，AF=AP，∵△CEF的周長(zhǎng)等于正方形ABCD的周長(zhǎng)的一半，∴EF=BE+DF，∴EF=EP，∴△AEF≌△AEP，∴∠1=∠3+∠4，而AQ=AN，∴△AMQ≌△AMN，∴MN=QM，而∠ADN=∠QBA=45176?！唷螱AE=90176。連接AD，BE，如圖2；在圖2中，線段BE與AD之間具有怎樣的大小關(guān)系？證明你的結(jié)論；（2）操作：若將圖1中的△C′DE，繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向任意旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度α，連接AD，BE，如圖3；在圖3中，線段BE與AD之間具有怎樣的大小關(guān)系？證明你的結(jié)論；猜想與發(fā)現(xiàn)：根據(jù)上面的操作過程，請(qǐng)你猜想當(dāng)α為多少度時(shí)，線段AD的長(zhǎng)度最大是多少？當(dāng)α為多少度時(shí)，線段AD的長(zhǎng)度最小是多少？【解答】解：操作與證明：（1）BE=AD．∵△C′DE繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30176。時(shí)，連接BE、DF，猜想溝AE與AD滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，直線DF垂直平分BE．請(qǐng)直接寫出結(jié)論．（4）如圖4，等腰直角三角形FAE繞直角頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠α，當(dāng)90176。＜α＜180176。小敏將一塊三角板中含45176。得到△A′O′B（得到A、O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A′、O′），并回答下列問題：∠ABC=　 　，∠A′BC=　 　，OA+OB+OC=　 ?。?．在△ABC中，BA=BC，∠BAC=α，M是AC的中點(diǎn)，P是線段BM上的動(dòng)點(diǎn)，將線段PA繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2α得到線段PQ．（1）若α=60176。＜α＜90176。），如圖（2），AE與BC交于點(diǎn)M，AC與EF交于點(diǎn)N，BC與EF交于點(diǎn)P．（1）求證：AM=AN；（2）當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α=30176。且點(diǎn)P與點(diǎn)M重合（如圖1），線段CQ的延長(zhǎng)線交射線BM于點(diǎn)D，請(qǐng)補(bǔ)全圖形，并寫出∠CDB的度數(shù)；（2）在圖2中，點(diǎn)P不與點(diǎn)B，M重合，線段CQ的延長(zhǎng)線于射線BM交于點(diǎn)D，猜想∠CDB的大?。ㄓ煤恋拇鷶?shù)式表示），并加以證明；（3）對(duì)于適當(dāng)大小的α，當(dāng)點(diǎn)P在線段BM上運(yùn)動(dòng)到某一位置（不與點(diǎn)B，M重合）時(shí)，能使得線段CQ的延長(zhǎng)線與射線BM交于點(diǎn)D，且PQ=QD，請(qǐng)直接寫出α的范圍．7．已知，在△ABC中，AB=AC．過A點(diǎn)的直線a從與邊AC重合的位置開始繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角θ，直線a交BC邊于點(diǎn)P（點(diǎn)P不與點(diǎn)B、點(diǎn)C重合），△BMN的邊MN始終在直線a上（點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方），且BM=BN，連接CN．（1）當(dāng)∠BAC=∠MBN=90176。角的頂點(diǎn)放在A上，從AB邊開始繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角α，其中三角板斜邊所在的直線交直線BC于點(diǎn)D，直角邊所在的直線交直線BC于點(diǎn)E．（1）小敏在線段BC上取一點(diǎn)M，連接AM，旋轉(zhuǎn)中發(fā)現(xiàn)：若AD平分∠BAM，則AE也平分∠MAC．請(qǐng)你證明小敏發(fā)現(xiàn)的結(jié)論；（2）當(dāng)0176。時(shí)（如圖4）等量關(guān)系BD2+CE2=DE2是否仍然成立？若成立，給出證明；若不成立，說明理由．10．如圖，將邊長(zhǎng)為a的正方形OABC繞頂點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角α（0176。＜α＜180176。∴∠BCE=∠ACD=30度，∵△ABC與△C′DE是等邊三角形，∴CA=CB，CE=CD，∴△BCE≌△ACD，∴BE=AD．（2）BE=AD．∵△C′DE繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的角度為α，∴∠BCE=∠ACD=α，∵△ABC與△C′DE是等邊三角形，∴CA=CB，CE=CD，∴△BCE≌△ACD，∴BE=AD．猜想與發(fā)現(xiàn)：當(dāng)α為180176。而∠3=45176?！螦BD=45176。＜α＜90176?！唷螰PC=∠B=60176。﹣∠C﹣∠CBE=72176。=36176?！?，∠A′BC=　90176?！摺螩=90176?！郈、O、A′、O′四點(diǎn)共線，在Rt△A′BC中，A′C===，∴OA+OB+OC=A′O′+OO′+OC=A′C=．故答案為：30176。；（2）如圖2，連接PC，AD，∵AB=BC，M是AC的中點(diǎn)，∴BM⊥AC，即BD為AC的垂直平分線，∴AD=CD，AP=PC，PD=PD，在△APD與△CPD中，∵，∴△APD≌△CPD（SSS），∴∠ADB=∠CDB，∠PAD=∠PCD，又∵PQ=PA，∴PQ=PC，∠ADC=2∠1，∠4=∠PCQ=∠PAD，∴∠PAD+∠PQD=∠4+∠PQD=180176。﹣α，且PQ=QD，∴∠PAD=∠PCQ=∠PQC=2∠CDB=180176。時(shí)，①中的結(jié)論是否發(fā)生變化？說明理由；（2）如圖c，當(dāng)∠BAC=∠MBN≠90176。又∵∠BPN=∠APC，∴△BNP∽△ACP，∴=，又∵∠APB=∠CPN，∴△ABP∽△CNP，∴∠ANC=∠ABC=45176。得到長(zhǎng)方形ARTZ，請(qǐng)問此時(shí)點(diǎn)B在矩形ARTZ的內(nèi)部、外部、還是邊上？并說明理由．【解答】解：（1）根據(jù)題意得：∠BAM=15176。=120176。=30176。＜α＜135176。．∵∠BAD=∠DAM，∴∠BAD+∠EAC=∠DAM+∠EAC=45176。﹣（45176。．∴∠DFE=90