【正文】 由 187頁表查到相應(yīng)的 5類非本原多項(xiàng)式是： m3(x)= x6+x4+x2+x+1 m9(x)= x3+x2+1 m15(x)= x6+x5+x4+x2+1 （ 與 m3(x)對(duì)偶 ） m21(x)= x2+x+1 m27(x)= x3+x+1 （ 與 m9(x)對(duì)偶 ） 它們都是 x211的因式 , 由它們?nèi)我庖粋€(gè)或幾個(gè)的乘積均可以構(gòu)成 構(gòu)造碼長(zhǎng)為 21的非本原 BCH碼生成多項(xiàng)式 。 由此可構(gòu)造 (17,9)碼 。這樣必然導(dǎo)致編碼效率 k/n降低。 這是更具實(shí)際意義的定義。 比如 x71=（ x+1)(x3+x+1)(x3+x2+1)；取生成多項(xiàng)式： g(x)=(x3+x+1)(x3+x2+1)=x6+x5+x4+x3+x2+x+1 現(xiàn)在監(jiān)督位增加到 r=6，就能構(gòu)成（ 7,1）碼 (即七連重復(fù)碼 )，它可以糾正 3位錯(cuò) (因?yàn)?26=1+7+21+35)。反之也可以說，本原多項(xiàng)式的根是本原根，非本原多項(xiàng)式的根是非本原根。因此： (x α3) (x α6) (x α9) (x α12 ) = x4 +x3 +x2 + x+1 不僅是 x15 1的因式，也 是 x5 1的因式 。 例中第 i=1類和 i=7類， k值與 n值互素，因而每個(gè)根 αk因式都必須自乘 n=15次才能回到 α0 =1，表明這些根的循環(huán)級(jí) m =15 結(jié)論：本原根的冪次與 n互素，所以循環(huán)級(jí)等于 n；非本原根的冪次與 n可約，所以循環(huán)級(jí)是 n的因子。比如在復(fù)數(shù)域中 x2+1=(x+j )(xj )，但在實(shí)數(shù)域中， x2+1已經(jīng)不能再分解了。0 ，根據(jù)復(fù)數(shù)開方公式： 插件 2： xn1的因式分解原理 這 n個(gè)根模長(zhǎng)均為 1，輻角等分單位園的圓周。它能檢測(cè)出： （ 1）絕大部分連續(xù)長(zhǎng)度不大于 nk+1的突發(fā)錯(cuò)誤。但由于 “ 截短 ” ， 只取用了循環(huán)組中的部分許用碼 ， 會(huì)使碼組失去循環(huán)移位性 。 其次，并不是任何xn1中都能找到 r次的因子。 k (x) mod g(x)； （ 3）寫出相應(yīng)碼字： C(x) = x r （ 6） 由 C(x) = R(x) + E (x)進(jìn)行糾錯(cuò)。 當(dāng) R(x)為正確碼時(shí)， E(x)是全 0， 除法器求余結(jié)果為 0，與門不會(huì)打開， R(x)從緩沖器中原樣輸出。 R0R1R2R3R4R5R6 ⊕ K1 ⊕ D0 ⊕ D1 D2 K2 然后，斷開 K1，接通 K2。 2. 編碼電路 ： 把輸入的 K(x)從 D0端移到 D2后面，就得到了如圖所 示的實(shí)用編碼電路。 k (x) = x5=0100000，除數(shù)是 g(x) = x3+x+1=1011， 相除的過程見表所示。 [例 3] 已知 (7,4)碼的生成多項(xiàng)式是 g(x) = x3+x+1；請(qǐng)為 R = (0110010)譯碼 。 k (x) mod g(x) 計(jì)算出它的監(jiān)督位。 k (x) mod g(x) ] + [ r (x) mod g(x) ] = 0； 移項(xiàng) ， 并考慮到模 2運(yùn)算可把負(fù)號(hào)變正號(hào) ， 于是： r (x) mod g(x) = x r (1000)?G1=(1011000)。 i=9： (015)8=(1101)2，得知 m9(x)=x3+x2+1； 由對(duì)偶式 (1011)2和 187頁表知 m27(x)=x3+x+1； i=11： (155)8=(1101101)2，得知 m11(x)=x6+x5+x3+x2+1； 由對(duì)偶式 (1011011)2和 187頁表知 m13(x)=x6+x4+x3+x+1； i=21： (007)8=(111)2，得知 m21(x)=x2+x+1； 其對(duì)偶式仍是自己； 最終結(jié)果： 1） x631=m0(x)m1(x)m3(x)m5(x)m7(x)m9(x)m11(x) （ 3） xn1其它因式是 mi(x), i=1,3,5,7…… （ 4） mi(x)的表達(dá)由 8進(jìn)制數(shù)給出 ，將它換成二進(jìn)制自然碼就是 mi(x)各位的系數(shù)。g (x) = xn1 + T(x) = xn1 + h(x) = （ 1xk1 + 2xk2 +……+ k） g(x) 的模 xn1得到。x3 +1 對(duì)于循環(huán)碼，有了一個(gè)的碼字，按循環(huán)移位規(guī)律就能寫出 n個(gè)碼字。 C1=(0011101)。 C1=(0011101)。HT ，可以預(yù)先由 S=E 譯瑪： 當(dāng)收到碼字 R時(shí)，首先計(jì)算伴隨子向量： S=RHT；若 S=0，則 R=C為正確碼字；若 S ≠ 0，則 R≠C為錯(cuò)誤碼字。 這里 H叫一致監(jiān)督矩陣，是 r行 n列的。HT計(jì)算出各種錯(cuò)誤格式 E所對(duì)應(yīng)的伴隨子向量 S，得到 E~S對(duì)照表。 C2=(0100111)。 C3=(0111010)。從中選出 k個(gè)來構(gòu)造生成矩陣 G，就能生成全部 2k個(gè)許用碼字。x2 +1 生成多項(xiàng)式的常數(shù)項(xiàng)為 1。g(x)； 即： T(x) = h (x) g (x) （ 3）生成多項(xiàng)式 g(x)的 確定： 由性質(zhì) 2知， g(x)是 xn1的一個(gè)因式 。如 m=5階時(shí)， n=31，可分解 x311為 ： 第 i=1類因式查表得到 (45)8=(100101)2，表示 m1(x)=x5+x2+1；第 i=3類因式查表得到 (75)8=(111101)2， m3(x)=x5+x4+x3+x2+1；第 i=5類因式查表得到 (67)8=(110111)2， m5(x)=x5+x4+x2+x+1； （ 5）表中并未列出 xn1所有的因式， 與已列出因式對(duì)偶的因式 都被省略了 。m13(x)m15(x)m21(x)m23(x)m27(x)m31(x)； 2)本原多項(xiàng)式是 m1(x), m5(x), m11(x), m13(x), m23(x)和 m31(x)； (1)循環(huán)碼的生成矩陣 求出了生成多項(xiàng)式 g(x)，等于得到了一個(gè)碼字，通過循環(huán)移位不難得到其它碼字。 然而發(fā)現(xiàn)碼字 不具備信息位在前，監(jiān)督位在后的形式。 k (x) mod g(x)； 因?yàn)? r (x) 是 r1次多項(xiàng)式 ， g(x) 是 r 次多項(xiàng)式 ， 所以 r (x) mod g(x)= r (x) 得到直接 計(jì)算系統(tǒng)碼碼字監(jiān)督多項(xiàng)式的公式是 ： r (x) = x r 由 信息位 + 監(jiān)督位 直接寫出編碼 C； 間接編碼方法： 由 g(x)得到一個(gè)碼字，循環(huán)移位得到 k個(gè)碼字，寫出生成矩陣，通過線性變換得到系統(tǒng)碼生成矩陣 G，最后由生成方程 C = K?G 求出相應(yīng)碼字。 解： 設(shè)接收碼為 R = (r6 r5 r4 r3 r2 r1 r0 )；由 S(x) = E(x) mod g(x)； 可列出 S(x)—E(x) 對(duì)照表： 當(dāng) R = (0110010)時(shí) ， R(x) = x5+x4+x； S (x)=（ x5+x4+x） mod（ x3+x+1） = x+1； 查表知： E(x) = x3； 糾錯(cuò)： C (x) = R (x) + E(x) = x5+x4+x3 +x ； 即： C = (0111010)； 譯碼結(jié)果是 K=0111 誤碼位置 r0 r1 r2 r3 r4 r5 r6 E(x) 1 x x2 x3 x4 x5 x6 S(x) 1 x x2 x+1 x2+x x2+x+1 x2+1 計(jì)算機(jī)中對(duì)公式的計(jì)算其實(shí)仍歸結(jié)為數(shù)值計(jì)算，對(duì)所有的賦值都能正確得到結(jié)果，就等于對(duì)公式的計(jì)算。 xr K(x) ⊕ D0 ⊕ D1 D2 輸入 輸出 xr K(x) 輸入 D0D1D2 輸出 x6位 0 0 0 0 0 x5位 1 1 0 0 0 x4位 0 0 1 0 0 x3位 0 0 0 1 0 x2位 0 1 1 0 1 x1位 0 0 1 1 0 x0位 0 1 1 1 1 電路原理 : 現(xiàn)在的除數(shù) g(x)是 3次多項(xiàng)式，余數(shù)至多 2次，故可取 3位寄存器來存放余數(shù)。 P D0 ⊕ D1 D2 ⊕ 輸出 Q 輸入 K K(x) 輸入 D0D1D2 輸出 x3位 0 0 0 0 0 x2位 1 1 1 0 1 x1位 0 0 1 1 0 x0位 0 1 1 1 0 1 1 1 首先開關(guān) P置向上 ， 開關(guān) Q閉合 ， 得到上面四行的數(shù)據(jù)；輸出的就是信息 K。 與門設(shè)計(jì)是對(duì)輸入（ 101）有響應(yīng)。 當(dāng) R(x)有一位不正確時(shí)， E(x)的相應(yīng)位是 1，其它全 0；除法器求余邏輯是按照 x3+x+1設(shè)計(jì)的 ,初值為 000,當(dāng)有 1輸入時(shí)才變?yōu)?100,此后由于輸入全為 0,寄存器則按照100→010 →001→110→011→111→101 的規(guī)律變化 ,共 7步變到 101。 思考： 是否任意碼長(zhǎng) n和任意信息位 k都能構(gòu)成 (n