【正文】 任意激勵(lì)下的 強(qiáng) 迫振動(dòng) 第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng) 138 無(wú)阻尼系統(tǒng)對(duì)單位脈沖激勵(lì)的響應(yīng)為 n1( ) s innh t tm???對(duì) t＝ t處的單位脈沖激勵(lì)的響應(yīng)為 n1( ) s in [ ( ) ]nh t tmt ? t?? ? ? 任意激勵(lì)下的 強(qiáng) 迫振動(dòng) 第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng) 139 設(shè)有圖示任意激勵(lì) F(t)，在時(shí)間區(qū)間 [0,t]內(nèi)的作用可視為一系列脈沖 F(t)dt?連續(xù)作用疊加而成 。 在 0～ T積分時(shí)： 2102 s in ( )nb F t n t d t???? ???? ?3212( 1 ) 2 s in ( )t F n t d t?????? ??????23 122( 4 ) s in ( )t F n t d t?????? ???? ? ??1224 si n ( ) ( 1 c o s )2F n nn? ???? 周期激勵(lì)下的 強(qiáng) 迫振動(dòng) 第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng) 127 在半周期內(nèi)積分時(shí)： 最終結(jié)果均為： 作業(yè)： T326 1228 s in , ( 1 , 3 , 5 )2nF nbnn??????????代入公式即可得出響應(yīng) 。 令其特解為 * itz Z e ?? 單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強(qiáng)迫振動(dòng) 第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng) 111 代入方程得到 令 * 022/2itnnFmzei?? ? ? ? ??? ? ?* 0() itz H F e ???21/()12kHr i r????? H(?)稱為復(fù)頻率響應(yīng)函數(shù) ， 是系統(tǒng)對(duì)頻率為 ??的單位諧干擾力的復(fù)響應(yīng)的振幅 。 這表明：當(dāng) r→∞ （ 即高速旋轉(zhuǎn) ） 時(shí) ,振動(dòng)機(jī)的質(zhì)心幾乎保持靜止 。 ? r?→∞ 時(shí) , f→ ?, 激振力與位移反相 , 系統(tǒng)平穩(wěn)運(yùn)行 。 單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強(qiáng)迫振動(dòng) R r ? 阻尼比 ?的影響 : 阻尼越小 ， 共振越厲害 。 02 2 201/ ( 1 ) ( 2 )XRFk rr ????? 單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強(qiáng)迫振動(dòng) 第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng) 82 （ 3） 強(qiáng)迫振動(dòng)振幅 X0的大小 ， 在工程實(shí)際中具有重要的意義 。 由于阻尼的存在 ,振動(dòng)現(xiàn)象很快就會(huì)消失 。 具有黏性阻尼的振動(dòng)系統(tǒng) 第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng) 63 振幅衰減的快慢程度可用相鄰振幅的比值來(lái)表示 ， 稱為衰減率或減幅率或減縮率；也可以用衰減率的自然對(duì)數(shù)來(lái)表示 ， 稱為對(duì)數(shù)衰減率 。 2( 1 ) n tBe ? ? ?? ? ?2( 1 ) n tDe ? ? ?? ? ? 具有黏性阻尼的振動(dòng)系統(tǒng) 第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng) 56 （ 2） ?＝ 1（ 臨界阻尼情況 ） 此時(shí)特征方程有重根 ， 通解為 () n tx B Dt e ????利用初始條件確定常數(shù)為 0 0 0, nB x D v x?? ? ? 此時(shí)的阻尼系數(shù)稱為臨界阻尼系數(shù) ， 記為 cc mkmc nc 22 ?? ? 具有黏性阻尼的振動(dòng)系統(tǒng) 21 , 2 ( 1) ns ? ? ?? ? ? ?第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng) 57 臨界阻尼情況也是一種非振動(dòng)形式的衰減運(yùn)動(dòng) ， 按不同的初始條件其運(yùn)動(dòng)圖形如下 。 而實(shí)際情況并非如此 ， 必須考慮阻力對(duì)振動(dòng)過(guò)程的影響 。 m a x m a xnxx?? 能量法 第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng) 45 例 利用能量法求純滾動(dòng)圓盤系統(tǒng)作微幅振動(dòng)的固有頻率 。 是振動(dòng)分析中極其重要的參數(shù) 。則方程變?yōu)椋? 0?? kxxm ?? 因此只討論此方程的解即可 。 振動(dòng)微分方程 (P620) 自由振動(dòng)系統(tǒng) 自由振動(dòng)系統(tǒng) 第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng) 25 mk系統(tǒng)的自由振動(dòng) (P6) mk系統(tǒng)雖然非常簡(jiǎn)單 ，但卻是許多實(shí)際結(jié)構(gòu)振動(dòng)問(wèn)題的力學(xué)模型 。 簡(jiǎn)諧振動(dòng)屬于周期性振動(dòng) , 非簡(jiǎn)諧振動(dòng)也可能是周期性振動(dòng) 。 電線在風(fēng)載作用線的舞動(dòng)等 。 這樣 ， 能量不斷地變換就導(dǎo)致系統(tǒng)質(zhì)量的反復(fù)運(yùn)動(dòng) （ 振動(dòng) ） 。 簡(jiǎn)化為無(wú)質(zhì)量的阻力元件 。 實(shí)際工程結(jié)構(gòu)力學(xué)模型的建立 , 是振動(dòng)分析中很關(guān)鍵很難的一步 。 第 1 章 導(dǎo) 論 13 （ 2） 系統(tǒng)設(shè)計(jì) 已知振動(dòng)系統(tǒng)激勵(lì) (輸入 )和所要滿足的動(dòng)態(tài)響應(yīng) (輸出 )的要求 ， 設(shè)計(jì)合理的系統(tǒng)參數(shù) 。 響應(yīng)或輸出：機(jī)器或結(jié)構(gòu)在激勵(lì)作用下產(chǎn)生的動(dòng)態(tài)行為 。 ? 振動(dòng)檢測(cè) ， 分析事故原因及控制環(huán)境噪聲 。 4. 研究振動(dòng)問(wèn)題的目的 ? 工程和日常生活中 ， 振動(dòng)現(xiàn)象和振動(dòng)問(wèn)題既有有用的一面也有不利的一面 。與多門學(xué)科緊密相關(guān) … ? 數(shù)學(xué)基礎(chǔ) : 微積分 、 微分方程 、 線性代數(shù) 、 復(fù)變函數(shù) 、 積分變換 、 計(jì)算方法 、 級(jí)數(shù)等 。 如 : 日常生活中 ， 心臟的跳動(dòng) 、 鐘擺的擺動(dòng) 、琴弦的振動(dòng) 、 車箱的晃動(dòng) 、 大海波濤橋等等 。 ? 有時(shí)候振動(dòng)甚至釀成災(zāi)難性事故 , 如大橋因共振而倒塌 , 煙囪因風(fēng)振而傾倒 , 飛機(jī)因顫振而墜落等等 。 振動(dòng)系統(tǒng)及參量 振動(dòng)系統(tǒng)的分類及研究方法 第 1 章 導(dǎo) 論 10 確定性激勵(lì) :可用時(shí)間的確定函數(shù)來(lái)描述的激勵(lì) 。 第 1 章 導(dǎo) 論 12 （ 1） 響應(yīng)分析 已知系統(tǒng)和輸入?yún)?shù) ， 求系統(tǒng)響應(yīng) 。 （ 4） 環(huán)境預(yù)測(cè) 在已知系統(tǒng)響應(yīng) (輸出 )和系統(tǒng)參數(shù)的情況下確定系統(tǒng)的輸入 ,以判別系統(tǒng)的環(huán)境特征 。 彈簧 :表示振動(dòng)系統(tǒng)彈性的理想模型 。 任何結(jié)構(gòu) ， 之所以能產(chǎn)生振動(dòng) ， 是因?yàn)樗旧砭哂匈|(zhì)量和彈性 。 第 1 章 導(dǎo) 論 19 自激振動(dòng)：在系統(tǒng)自身控制的激勵(lì)作用下發(fā)生的振動(dòng) 。 （ 4） 按振動(dòng)微分方程或系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)特性分類 線性振動(dòng) :振動(dòng)系統(tǒng)的慣性力 、 阻尼力 、 彈性恢復(fù)力分別與加速度 、 速度 、 位移成線牲關(guān)系 ， 能夠用常系數(shù)線性微分方程表述的振動(dòng) 。 ? 許多實(shí)際問(wèn)題可以足夠精確地簡(jiǎn)化為單自由度振動(dòng)系統(tǒng) 。 設(shè)梁長(zhǎng)為 l， 材料的彈性模量為 E， 截面慣性矩為 I。 自由振動(dòng)系統(tǒng) 第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng) 35 從方程的解中還可以看出 ， 系統(tǒng)屬于周期振動(dòng) ， 振動(dòng)的周期為 nT??2? 周期是系統(tǒng)振動(dòng)一次所需要的時(shí)間 ， 單位為秒 （ s） 。 質(zhì)量在靜平衡位置時(shí)彈簧的位移為 stmgkd ?nstkgm?d??則固有頻率為 自由振動(dòng)系統(tǒng) dst 第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng) 39 復(fù)擺系統(tǒng)的固有頻率 用轉(zhuǎn)角 f?表示的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程 : 0?? ff mg aJ O ??mg 則固有頻率 : OeqeqnJm gamk??? 自由振動(dòng)系統(tǒng) 第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng) 40 純滾動(dòng)圓盤系統(tǒng) 用角度 f?表示的運(yùn)動(dòng)微分方程 : 0)(23 ??? ff grR ??則固有頻率 : )(32rRgmkeqeqn ???? 自由振動(dòng)系統(tǒng) 第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng) 41 扭轉(zhuǎn)振動(dòng)系統(tǒng) 轉(zhuǎn)動(dòng)方程為 0tJkqq??則固有頻率 : eq tneqk kmJ? ?? 自由振動(dòng)系統(tǒng) 第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng) 42 梁的橫向振動(dòng)系統(tǒng) 利用振動(dòng)方程 048 3 ?? yl EIym ??固有頻率 : 348mlEImkeqeqn ???或利用材料力學(xué)公式計(jì)算出靜位移 : 348stmglEId ?固有頻率 : 348nstg E Iml?d?? 自由振動(dòng)系統(tǒng) dst 第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng) 43 對(duì)無(wú)阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng) ， 能量 （ 機(jī)械能 ） 是守恒的 。 瑞利法 dst l s ds 13nkmm? ??第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng) 48 題 (a) 求圖示系統(tǒng)的固有頻率 。 mg Fk Fc () stm x c x k x m gd? ? ? ? ? 具有黏性阻尼的振動(dòng)系統(tǒng) 第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng) 52 令阻尼比為 2 ncm? ??則方程可寫為 220nnx x x? ? ?? ? ?令其解為 stCex ?代入方程得到 2220nnss? ? ?? ? ?此特征方程的兩個(gè)根是 21 , 2 ( 1) ns ? ? ?? ? ? ? 具有黏性阻尼的振動(dòng)系統(tǒng) 第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng) 53 不同的阻尼比 ?， 對(duì)應(yīng)的解的形式不同 ，運(yùn)動(dòng)性質(zhì)也不同 。這種衰減振動(dòng)具有下列特性： （ 1） 振幅衰減 由前面的解可以看出 ， 振幅不再是常量 ， 而是以幾何級(jí)數(shù) 快速衰減 。 本 章 小 結(jié) 第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng) 70 小 結(jié) （ 2） 靜位移法 4. 固有頻率的確定 （ 1） 按定義直接計(jì)算 mkn ?2?nstg?d?（ 3） 能量法 （ 無(wú)阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng) ） m a x m a xTV?以及 m a x m a xnxx??第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng) 71 小 結(jié) 5. 考慮彈性元件質(zhì)量時(shí)的等效質(zhì)量 將這些彈性元件所具有的多個(gè)集中質(zhì)量或分布質(zhì)量簡(jiǎn)化到系統(tǒng)的集中質(zhì)量上去 ， 簡(jiǎn)化后系統(tǒng)的動(dòng)能與原系統(tǒng)的動(dòng)能相等 。 單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強(qiáng)迫振動(dòng) 非齊次方程的特解 （ P3334） 第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng) 80 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分析 (P3439) 1. 穩(wěn)態(tài)響應(yīng) xp=X0sin(?t－ f)的性質(zhì) (P34) （ 1） 在諧和激振條件下 ,響應(yīng)也是諧和的 ,其頻率與激振頻率相同 。 ? r?1時(shí) 22 2 211 0( 1 ) ( 2 )Rrrr ?? ? ???0 0 00 222 2 2/( 1 ) ( 2 )F k F FXk r mrr ??? ? ??? 單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強(qiáng)迫振動(dòng) R r 振幅的大小主要決定于系統(tǒng)的慣性 。 2QR＝ 單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強(qiáng)迫振動(dòng) 第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng) 89 討論： ? 從圖中可以看出 ,無(wú)阻尼情況下的曲線是由 f＝ 0和 f＝ ??的半直線段組成 ,在 r＝ 1處發(fā)生間斷 。 試討論振動(dòng)機(jī)在其平衡位置附近的運(yùn)動(dòng) 。 這兩部分都是衰減振動(dòng) ， 隨時(shí)間的推移而消失 ， 稱為瞬態(tài)響應(yīng)或暫態(tài)響應(yīng)； 0s in c o s s in s in c o sn t ndddX e t t?? ? ? ? ? ? ? ? ??? ?? ? ????? 最后只剩下第三部分 ， 代表與激振力同形式的等幅的強(qiáng)迫振動(dòng) ， 稱為穩(wěn)態(tài)響應(yīng) ， 這才是我們最關(guān)心的 。 解：取靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)建立振動(dòng)方程 22 0mx k x??則： 代公式即可求出振幅 … 1 2 201 2 1 2s ink k km x x Q tk k k k?????而： 1 1 2 2 012s ink x k x Q tx x x?????作業(yè)： T38,17,24 舉 例 第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng) 118 假設(shè) F(t)是周期為 T的函數(shù) ， 表示為 F(t177。 01()0taH t ata???? ???當(dāng)當(dāng)H0(ta) t O 1 a 任意激勵(lì)下的 強(qiáng) 迫振動(dòng) 第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng) 131 d函數(shù) （ Dirac函數(shù)