【正文】 P→ Q 前 提 （ 9） Q （ 7），（ 8）； I11 （ 10） Q→ 172。P∧ 172。P∧ 172。 Q， R ? 172。 Q 78 例 題 1．判斷下列推理是否正確 如果這里有球賽，則通行是困難的；如果他們按指定的時間到達，則通行是不困難的；他們按指定時間到達了，所以這里沒有球賽。R (P∧ Q） → R 172。P 77 練習(xí) 75 用形式證明方法證明： （ 1） 172。P） P P→ Q Q R→ 172。 76 例 5 證明： R → 172。 證明 設(shè) H1 ∧H 2∧ … ∧H n ==R∧ 172。A） B→ 172。R∨ P P P→ （ Q→ S） Q→ S Q S R→ S 附加前提 前提 （ 1），（ 2）； I10 前提 （ 3），（ 4）； I10 前提 （ 5），（ 6）； I11 （ 1） ,（ 7）； CP規(guī)則 73 例 4 符號化下面語句的推理過程，并指出推理是否正確。 證明 編號 公 式 依 據(jù) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) 172。 代入規(guī)則 ： 在證明的任何步驟上，重言式中的任一命題變元都可以用一命題公式代入，得到的仍是重言式。 合理的證明 ：一個證明是否有效與前提的真假沒有關(guān)系。P 172。一般地設(shè) H1， H2， … ,Hn和 C是一些命題公式 ,若蘊含式 H1∧H 2∧ … ∧H n ? C (*) 成立，則稱 C是前提集合 { H1， H2， … ,Hn}的結(jié)論，或稱從前提 H1， H2， … ,Hn能推出結(jié)論 C。 例如 ， 例 5中的 F1。 永假公式 的主合取范式包含所有 2n個最大項 。 例如 (?P1??P2?P3)?(?P1?P2?P3)?(P1?P2?P3)是一個主析取范式。 ?(P??P ) ?(?P?Q) （合取范式） E1， E?3 由定理 95， 該公式也不是永真公式 。 充分性 ：假設(shè)任一 Ai(1≤i≤n)中含有形如 P∧ P合取式，其中 P為命題變元。 47 二、求公式的析取范式和合取范式 任何一個命題公式都可以變換為與它等值的析取范式或合取范式。P i是永真式， 由結(jié)合律和零一律， A的真值必為 1，故 A也是永真式。P 。 定義 913 一個命題公式若具有P1*∨P 2*∨ … ∨P n*（ n≥1 ）的形式，其中 P*i是命題變元 Pi或是其否定 172。 又 P?Q為真，故得 Q為真。 A B A?B 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 例 6 證明 I12 : ?Q ∧ （ P?Q） ? ?P 證明 令前件 ?Q∧ （ P?Q）為真， 則 ?Q為真 , 且 P?Q為真。 A?B當(dāng)且僅當(dāng) A?B是永真公式 。 由代入規(guī)則知前述的基本等值式，不僅對任意的命題變元 P， Q， R是成立的，而且當(dāng) P， Q， R分別為命題公式時，這些等值式也成立 例 2 證明命題公式的等值關(guān)系： （ P?Q） ∧ （ R?Q） ?（ P∨ R） ?Q； 證明 （ P?Q） ∧ （ R?Q） ?（ ? P∨ Q） ∧ (? R∨ Q) E11 ?（ ? P∧ ? R） ∨ Q E3ˊ( 分配律 ) ? ? (P∨ R)∨ Q E10(德 .摩根定律 ) ? (P∨ R) ? Q E11 所以（ P?Q） ∧ （ R?Q） ?（ P∨ R） ?Q 30 例 3 證明下列命題公式的等值關(guān)系 (P ? Q ) ? (? P ? ( ? P ? Q ) ) ? ?P ? Q 證明 (P?Q)?( ?P?(?P?Q)) ? (P?Q)?( (?P? ? P ) ? Q ) E2(結(jié)合律 ) ? (P?Q)?( ?P?Q) E7(等冪律 ) ? (?P ? Q )? ( P?Q ) E1 (交換律 ) ? ? P?(Q?(P?Q)) E2(結(jié)合律 ) ? ?P?Q E?1， E9(交換律，吸收律 ) 31 例 4 判別下列公式的類型。 2．等值演算方法 例如 F=（ P?Q） ? （ ?Q??P）是重言式，若 用公式 A∧ B代換命題變元 P得公式 F1=（（ A∧ B） ?Q） ? （ ?Q??（ A∧ B））， F1仍是重言式。 21 （ 2） 可以驗證等值關(guān)系是等價關(guān)系。(P→Q) F1 Q→P 172。P ∧ Q）； （ 3）（（ P∨Q ） → （ Q∧R ）） → （ P∧ 172。 解 公式 F的真值表如下： P QR 172。 （ 1） P→( Q∧ PR）； （ 2）（ P∨ Q） → （ 172。Q） → （ R∨ S） 14 命題公式 一 、 命題公式的概念 1. 命題常元 一個表示確定命題的大寫字母。 （ 4） 起來吧，我的朋友。 則命題可表示為 （ P ∧ 172。(P∧ Q） → R； 12 例 13 將下列命題符號化 （ 1） 派小王或小李出差； （ 2） 我們不能既劃船又跑步； （ 3） 如果你來了，那么他唱不唱歌將看你是否伴奏而定； （ 4） 如果李明是體育愛好者，但不是文藝愛好者，那么 李明不是文體愛好者； （ 5） 假如上午不下雨，我去看電影，否則就在家里看書。 （ 4） 只有當(dāng)明天早上不下雨且不下雪時，我才去學(xué)校。 則上述命題可表示為 P?Q 。”符號化。 Q：今天晚上我去劇場看戲 例 7中的命題可表示為 P ∨ Q，或者表示為（ P∧ 172。 當(dāng)且僅當(dāng) P和 Q至少有一個取值為真時， P∨Q 取值為真。Q：并非每個自然數(shù)都是偶數(shù)。P” (讀作“非 P”)。 復(fù)合命題： 由一個或幾個原子命題通過聯(lián)結(jié)詞的聯(lián)接而構(gòu)成的命題。 （ 2）請把門關(guān)上。所謂數(shù)學(xué)方法是指 :用一套數(shù)學(xué)的符號系統(tǒng)來描述和 處理思維的形式與規(guī)律。 主要內(nèi)容如下： 命題和命題聯(lián)結(jié)詞 命題公式 命題公式的等值關(guān)系和蘊含關(guān)系 范式 命題演算的推理理論 2 命題和命題聯(lián)結(jié)詞 一、 命題的概念 命題 ： 是能分辨真假的陳述句。分別用 “ 1”和“ 0”表示 命題用大寫的拉丁字母 A、 B、 C、 ……P 、 Q、 …… 或 者帶下標(biāo)的大寫的字母來表示。 1. 否定“ 172。則有 172。 Q：房間里有十張桌子。 7 設(shè) P、 Q是兩個命題， P異或 Q是一個復(fù)合命題，記作 P∨Q 。 P Q P∨ Q 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 8 4. 蘊含“ → ” 定義 94 由命題 P和 Q利用 “ → ” 組成的復(fù)合命題，稱為蘊含式復(fù)合命題，記作 “ P→Q ”（讀作 “ 如果 P，則Q”）。 當(dāng) P和 Q的真值相同時 ,P? Q取真 ,否則取假。 例 12 用符號形式表示下列命題。R； （ 4） R→ （ 172。(P∧ Q） 。 13 練習(xí) 71 1. 判斷下列語句哪些是命題，若是命題，則指出其真值。Q （ 2） 如果晚上做完了作業(yè)并且沒有其它的事，他就會看電視或聽音樂。） （ 1） 0， 1是命題公式； （ 2） 命題變元是命題公式； （ 3） 如果 A是命題公式，則 172。 公式與其命題變元之間的真值關(guān)系，可以用真值表的方法表示出來。 例 3 構(gòu)造下列命題公式的真值表，并判斷它們是何種類型的公式 （ 1）（ 172。 P∧Q ） F1和 F2的真值表如下： P Q 172。 “?”不是聯(lián)結(jié)詞， A?B不表示一個公式，它表示兩個公式間的一種關(guān)系，即等值關(guān)系。 22 二 、 基本的等值式 設(shè) P、 Q、 R是命題變元 ， 下表中列出了 24個最基本的等值式 : 編號 公 式 E1 E1ノ E2 E2ノ E3 E3ノ E4 E4ノ E5 E5ノ E6E6ノ E7 E7ノ P∨ Q?Q∨ P 交換律 P∧ Q?Q∧ P 交換律 (P∨ Q)∨ R ? P∨ (Q∨ R) 結(jié)合律 (P∧ Q)∧ R ?P∧ (Q∧ R) 結(jié)合律 P∧ (Q∨ R) ? (P∧ Q)∨ (P∧ R) 分配律 P∨ (Q∧ R) ? (P∨ Q)∧ (P∨ R) 分配律 P∨ 0?P 同一律 P∧ 1?P 同一律 P∨ ?P?1 互否律 P∧ ?P?0 互否律 ?（ ?P） ?P 雙重否定律 P∨ P?P 等冪律 P∧ P ?P 等冪律 23 編號 公 式 E8 E8ノ E9 E9ノ E10 E10ノE11 E12 E13 E14 E15 P∨ 1?1 零一律 P∧ 0?0 零一律 P∨ （ P∧ Q） ?P 吸收律 P∧ （ P∨ Q） ?P 吸收律 ?（ P∨ Q） ??P∧ ?Q 德 .摩根定律 ?（ P∧ Q） ??P∨ ?Q 德 .摩根定律 P?Q??P∨ Q P?Q ? (P∧ Q)∨ (?P∧ ?Q) P? (Q?R) ? (P∧ Q) ? R P?Q ? (P?Q)∧ (Q?P) P?Q??Q??P 24 三 、 等