【正文】 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 18 三、公式類型 定義 98 如果對于命題公式 F所包含的命題變元的任何一組真值指派， F的真值恒為真，則稱公式 F為 重言式（或 永真公式 ），常用“ 1”表示。 17 例 2 給 出公式 F=(（ P∨Q ） ?（ Q∧R ） )? (P∧ 172。 （ 2） 是命題公式。A 是命題公式； （ 4） 如果 A和 B是命題公式，則（ A∨ B）， （ A∧ B） ,(A→B ） ,(A? B ）也是命題公式； 有限次地利用上述（ 1） —（ 4）而產(chǎn)生的符號串是命題公式。 一個命題變元當(dāng)沒有對其賦予內(nèi)容時(shí)，它的真值不能確定，一旦用一個具體的命題代入，它的真值就確定了。 解 令 P：他晚上做完了作業(yè)； Q：他晚上有其它的事； R：他看電視； S：他聽音樂。 解 令 P：我看見的是小張； Q：我看見的是老李。 （ 1） 只有小孩才愛哭。（ P ∧ Q） （ 5） 令 P：上午下雨； Q：我去看電影； R：我在家讀書。 （ 3） 令 P：你來了； Q：他唱歌； R：你伴奏。 命題符號化為 P∨ Q。P ∧ 172。 （ 2）（ 172。 （ 1） 如果明天早上下雨或下雪，那么我不去學(xué)校 （ 2） 如果明天早上不下雨且不下雪，那么我去學(xué)校。 對于上述五種聯(lián)結(jié)詞 ， 應(yīng)注意到： 復(fù)合命題的真值只取決于構(gòu)成它的各原子命題的真 值 ， 而與這些原子命題的內(nèi)容含義無關(guān) 。 ?P Q P Q 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 例 10 非本倉庫工作人員，一律不得入內(nèi)。 于是上述命題可表示為 P→Q 。 當(dāng) P為真， Q為假時(shí)， P→ Q為假，否則 P→Q 為真。P∧ Q)。 例 7 今天晚上我在家看電視或去劇場看戲?！狈柣?。則P ∧ Q表示 “ 我們?nèi)タ措娪安⑶曳块g里有十張桌子。P 1 0 0 1 5 2．合取“ ∧ ” 定義 92 設(shè) P和 Q是兩個命題，由 P、 Q利用“ ∧ ”組成的復(fù)合命題，稱為合取式復(fù)合命題，記作“ P ∧ Q”（讀作“ P且 Q”）。 P：上海不是一個城市 。P取值為假；命題 P取值為假時(shí)，命題 172?！? 定義 91 設(shè) P是一個命題，利用“ 172。 B：張平或者正在釣魚或者正在睡覺。 例 2 判斷下列陳述句是否是命題。 （ 4）你吃飯了嗎？ （ 5） x=3。 例 1 判斷下列語句是否是命題。本章介紹數(shù)理邏輯中最基本的內(nèi)容命題邏輯。1 第九章 命題邏輯 數(shù)理邏輯是用數(shù)學(xué)方法研究思維規(guī)律的一門學(xué)科。首先引入命題、命題公式等概念。 （ 1）空氣是人生存所必需的。（ 6）啊，真美呀！ (7) 明年春節(jié)是個大晴天。 P：地球外的星球上也有人； Q：小王是我的好朋友； 解 P、 Q是命題 3 二、命題聯(lián)結(jié)詞 原子命題 ： 由簡單句形成的命題。 C：如果明天天氣晴朗，那么我們舉行運(yùn)動會?！焙?P組成的復(fù)合命題稱為 P的否命題，記作“ 172。P取值為真。 172。 當(dāng)且僅當(dāng)命題 P和 Q均取值為真時(shí)， P ∧ Q才取值為真。 ” P Q P∧ Q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 6 3. 析取“ ∨ ” 定義 93 由命題 P和 Q利用 “ ∨ ” 組成的復(fù)合命題，稱為析取式復(fù)合命題，記作 “ P∨Q ”（讀作 “ P或 Q”）。 解 令 P：他可能是 100米賽跑冠軍； Q：他可能是 400米賽跑冠軍。 令 P：今天晚上我在家看電視。 由于 “ ∨ ”可用“ ∨ ”，“ ∧ ”和“ 172。 P Q P→ Q 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 例 8 將命題“如果我得到這本小說，那么我今夜就讀完它。 例 9 若 P：雪是黑色的； Q：太陽從西邊升起； R：太陽從東邊升起。 解 令 P：某人是倉庫工作人員； Q：某人可以進(jìn)入倉庫。 11 三、命題符號化 利用聯(lián)結(jié)詞可以把許多日常語句符號化。 （ 3） 如果明天早上不是雨夾雪，那么我去學(xué)校。P ∧ 172。 Q） （ 3） 172。 （ 2） 令 P：我們劃船； Q：我們跑步。 則命題可表示為 P→ （ Q?R ） （ 4） 令 P：李明是體育愛好者； Q：李明是文藝愛好者。 則命題可表示為 （ 172。 （ 2） X+6=Y （ 3） 銀是白的。 則該命題可表示為 172。 則該命題可表示為 （ P∧ 172。 15 3. 命題公式 命題公式（或簡稱公式）是由 0、 1和命題變元以及命題聯(lián)結(jié)詞按一定的規(guī)則產(chǎn)生的符號串。 例 1 下列符號串是否為命題公式。 16 二、真值指派 命題公式代表一個命題，但只有當(dāng)公式中的每一個命題變元都用一個確定的命題代入時(shí)，命題公式才有確定的真值，成為命題。R）的真值表。相反地，若對于 F所包含的命題變元的任何一組真值指派， F的真值恒為假，則稱公式 F為 矛盾式 （或 永假公式 ），常用“ 0”表示。（ P?Q ）； （ 2）（ Q→P ） ∧ （ 172。P? Q） ? 172。P?Q P ?Q 172。 20 命題公式的等值關(guān)系和蘊(yùn)含關(guān)系 一、命題公式的等值關(guān)系 定義 99 設(shè) A和 B是兩個命題公式 , P1, P2, …, P n 是所有出現(xiàn)于 A和 B中的命題變元，如果對于 P1, P2, …, P n 的任一組真值指派， A和 B的真值都相同 ,則稱公式 A和 B等值 ，記為 A ? B,稱 A?B為等值式 。 A?B當(dāng)且僅當(dāng) A?B 是永真公式。 可傳遞性 ：對任意公式 A、 B、 C，若 A?B，B?C，則 A?C。 1 0 1 1 0 0 1 1 1 27 (1) 代入規(guī)則 代入規(guī)則 對于重言式中的任一命題變元出現(xiàn)的每一處均用同一命題公式代入，得到的仍是重言式。 28 (2) 置 換規(guī)則 定義 910 設(shè) C是命題公式 A的一部分（即 C是公式 A中連續(xù)的幾個符號），且 C本身也是一個命題公式，則稱 C為公式 A的 子公式。 29 (3) 等值演算 等值演算是指利用已知的一些等值式，根據(jù)置換規(guī)則、代入規(guī)則以及等值關(guān)系的可傳遞性推導(dǎo)出另外一些等值式的過程。 32 三、命題公式的蘊(yùn)含關(guān)系 定義 911 設(shè) A， B是兩個公式，若公式 A?B是重言式，即 A?B?1，則稱公式 A蘊(yùn)含公式 B，記作 A?B。 “?”是聯(lián)系詞， A?B是一個公式。 傳遞性 ：若 A?B， B?C，則 A?C。 P Q R P∨Q P→R Q →R (P∨Q)∧ (P→R ）∧ （ Q →R ） F 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 39 2. 等值演算方法 例 5 證明 I11： P∧ （ P?Q） ? Q 證明 （ P∧ （ P?Q） ） ? Q ? ?（ P∧ （ ?P∨Q ） ） ∨ Q E11 ? （ ?P∨ ?（ ?P∨Q ） ） ∨ E10ノ ?（ ?P∨Q ） ∨ ?（ ?P∨Q ） E2 ? 1 代入規(guī)則 ,E5 因此 P∧ （ P?Q） ? Q 40 3. 假定前件 A真 假定前件 A為真，檢查在此情況下，其后件 B是否也為真。 故蘊(yùn)含式 I12 成立。 由 P?R為假 ,得 P為真， R為假。 因此蘊(yùn)含式成立。P∧Q∧R∧S 是由命題變元 P、 Q、 R、 S組成的一質(zhì)合取式。 Q∨P∨ 172。 （ 2） 一質(zhì)析取式為永真式的充分必要條件是，它同時(shí)包含某個命題變元 P及其否定 172。P i時(shí)，指派 Pi取 1。P i，而 Pi∨ 172。 例如 ， F1=P∨(P∧Q)∨R∨( ?P∧ ?Q∧R) 是一析取范式。 F3=(?P∨R∨Q)∧(P∨Q)∧R∧(P∨ ?R)也是一合取范式。 解 F2 ? (?(P∨ Q) ?(P∧ Q))∧ ((P∧ Q) ?? (P∨ Q)) E14 ? ((P∨ Q)∨ (P∧ Q))∧ (?(P∧ Q)∨ ? (P∨ Q)) E11,E6 ?(P∨ (Q∨ (P∧ Q)))∧ (?P∨ ?Q∨ (?P∧ ?Q)) E2,E10ノ ,E10 ? (P∨ Q)∧ (?P∨ ?Q) （合取范式） E2,E9 ?(P∧ (?P∨ ?Q))∨ (Q∧ (?P∨ ?Q)) E3 ?(P∧ ?P) ∨ (P∧ ?Q)∨ (?P∧ Q)∨ (Q∧ ?Q)（析取范式） E3 50 定理 95 （ 1）公式 A為永真式的充分必要條件是， A的合取范式中每一質(zhì)析取式至少包含一對互為否定的析取項(xiàng)。 對同一組真值指派， A的取值也必為真，這與 A是矛盾式不符，假設(shè)不成立。 51 例 3 判別公式 A=P? (P∧(Q ?P))是否為重言式或矛盾式。 解 P?(P?Q) ?(P?(P?Q))?(?P??(P?Q)) E12 ?(P?Q)?(?P?(?P??Q)) E?10 ?(P?Q)??P (析取范式 ) E?9 由定理 95，該公式不是永假公式。而形如 的命題公式稱為是由命題變元 P1， P2， … ， Pn所產(chǎn)生的最大項(xiàng) 。 定義 918 由不同最大項(xiàng)所組成的合取式，稱為 主合取范式 。 56 F2?(P?Q)?(P??Q) ? (?P?Q)? (P??Q) E11 ? (?P?P??Q)?(Q?P??Q) E3 ? 0?0 E?1, E?5 ? 0 定理 96 每一個不為永