【正文】 第二種方法是基于小波變換模極大值的原理，最初由 Mallat 提出的方法。第一部分， 對(duì)圖像的二維離散付利葉變換進(jìn)行了介紹，并對(duì)基于離散付利葉變換的去噪方法進(jìn)行了比較詳細(xì)的介紹。由于 A=B =1 時(shí)小波框架 為正交小波基，因此稱公式 345 和公式 348 為離散正交小波變換的分解公式。 設(shè) ??? ?0,k t?為空間 0W 的一組正交基，且 ??t? 滿足容許性條件，可以證明， ? ?? ?,jk jzt? ?必然構(gòu)成了 ? ?2LR空間的一組正交基。尤其是其 基 本思想與多采樣率濾波器組相一致，建立了小波變換與數(shù)字濾波器之間的聯(lián)系。 離散小波變換 (1)尺度與位移的離散化 對(duì)連續(xù)小波基函數(shù)進(jìn)行離散化可以得到離散小波變換，減少小波變換系數(shù)的冗余度。 與付利葉變換不同，尺度和位移均連續(xù)變化的連續(xù)小波基函數(shù)構(gòu)成了一組非正交的過(guò)渡完全 基 .即任意函數(shù)的小波展開(kāi)系數(shù)之間存在相關(guān)性。 根據(jù)小波函數(shù)的定義，小波函數(shù)一般在時(shí)域具有緊支集或近似緊支集，即函數(shù)的非零值定 義域具有有 限的范圍，這即所謂“小”的特點(diǎn) ； 另一方面，根據(jù)可容，即直流分量為零，因此小波又具有正負(fù)交替的波動(dòng) ? ? 0 0???? ? ， 即直流分量為零，因此小波又具有正負(fù)交替的波動(dòng)性。 1981 年，法國(guó)地質(zhì)物理學(xué)家 Morlet 在分析地質(zhì)資料時(shí)創(chuàng)造性地提出了小波分析(Wavelet Analysis)這一概念，但 Morlet 最初提出的僅僅是形狀不變的小波。因?yàn)樾盘?hào)經(jīng)過(guò)傅立葉變換以后，時(shí)間特性消失，只能進(jìn)行 頻域信息的分析。 ? ?,Duv 從頻率平面的原點(diǎn)到? ?,uv 點(diǎn)的距離 ： ? ? 1 / 222,D u v u v?????? (317) 理想低通濾波器平滑處理的概念是清楚的，但它在處理過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生較嚴(yán)重 的模糊 和振鈴現(xiàn)象。此時(shí)，所需的復(fù)數(shù)乘法次數(shù)為 222NlogN 。 二維離散付利葉變換的性質(zhì) 在二維情況下，存在和一維變換相同的性質(zhì)，如線性、位移、尺度、卷積、相關(guān)等。而對(duì)于數(shù)字化的圖像，采用的是二維的離散付利葉變換。而人眼對(duì)圖像的邊緣很敏感，這就不可避免的降低了去噪圖像的主觀質(zhì)量。 .用公式 217 的組合中值波波可以使輸入圖像中各種方向的線條保持不變，而且又有一定的噪聲平滑性能。圖 (a)表示原始 Lena 圖像，圖(b)和圖 (c)分別為在圖 (a)疊加高斯噪聲和椒鹽噪聲后的圖像，圖 (d)和 (e)分別是采用 3 x 3 窗算術(shù)平均平滑去除噪聲后的圖像，圖 (f)和 (g)分別是采用 5 x 5 窗口中值濾波后 的圖像。 對(duì)脈沖干擾來(lái)講，特別是脈沖寬度小于 m/2，相距較遠(yuǎn)的窄脈沖干擾，中值濾波是很有效的。例如 ： ? ? . . . , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , . . .nf ? ? ? ? ? ? ? ?二若設(shè)窗口長(zhǎng)度為 9，則中值濾波對(duì)此序列保持不變性，也就是說(shuō) ，當(dāng)窗口為 9 的中值濾波的輸入到一周期為 4 的輸入序列時(shí)，輸出不變。 因此平均濾波的一般輸出為 ： ? ?11, . . . , , . . . , , . . . , , . . . , /i i v i i i i vz f f f f f m? ? ? ?? iZ? (210) 對(duì)于二維序列 ? ?yX進(jìn)行中值濾波時(shí)，濾波窗口也是二維的，但這種二維窗口可以有各種不同的形狀，如線狀、方形、圓形、十字形、圓環(huán)形等。在一定的條件下，可以克服線性濾波器所帶來(lái)的圖像細(xì)節(jié)模糊，而且對(duì)濾除脈沖干擾及圖像掃描噪聲最為有效。因此可以采用低通濾波的方法來(lái)去除噪 聲，而頻域的濾波又很容易從空間域的卷積來(lái)實(shí)現(xiàn)，為此只要適當(dāng)?shù)卦O(shè)計(jì)空間域系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)矩陣就可以達(dá)到濾除噪聲的效果。為了減少這種效應(yīng)，可以采用 閾 值法，也就是根據(jù)下列準(zhǔn)則形成處理圖像。變換域法是在圖像的變換域上進(jìn)行處理，對(duì)變換后的系數(shù)進(jìn)行相應(yīng)的處理，然后進(jìn)行反變換達(dá)到圖像去噪的目的。比較典型的是 :臉部識(shí)別、表情識(shí)別、符號(hào)語(yǔ)言 閱讀、盲文識(shí)別、物體識(shí)別、手勢(shì)語(yǔ)言、手寫文件閱讀，以及機(jī)器自動(dòng)執(zhí)行某些工作等。但對(duì)多數(shù)情況下，逼真度的測(cè)量往往與實(shí)際觀察效果不一致。 對(duì)于連續(xù)圖像場(chǎng)合，設(shè) f（ x, y） 為一定義在矩形區(qū)域 xxl x l? ? ? , yyl y l? ? ? 的連續(xù)圖像，其降質(zhì)圖像為 ? ?,f xy ，它們之間的逼真度可用歸一化的互相關(guān)函數(shù) K 來(lái)表示 ： (13) 對(duì)于數(shù)字圖像場(chǎng)合，設(shè) f ( j, k )為原參考圖像， ? ?,f jk 為其降質(zhì)圖像，逼真度可定義為歸一化的均方誤差值 NMSE: (14) 其中，運(yùn)算符 ??Q? 表示在計(jì)算 逼 真度前，為使測(cè)量值與主觀評(píng)價(jià)的結(jié)果一致而 進(jìn)行的某種預(yù)處理。表 是幾個(gè)國(guó)家和地區(qū)所采用過(guò)的對(duì)電視圖像評(píng)價(jià)的觀察條件。另一個(gè)是圖像的可值度，是指圖像能向人或機(jī)器提供信息的能力。 1 .2 圖像質(zhì) 量 評(píng)價(jià)方法 [8] 圖像質(zhì) 量 評(píng)價(jià)的研究是圖像信息學(xué)科的基礎(chǔ)研究之一。空間域低通濾波方法也可以平滑圖像的噪聲，它實(shí)際上是通過(guò)一個(gè)低通卷積模板在圖像空間域進(jìn)行二維卷積來(lái)達(dá)到去除圖像噪聲的目的。 圖像 去噪方法概述 圖像去噪的目的就是為了減少圖像噪聲 [2]。所以現(xiàn)在還不能規(guī)定出確切的圖像噪聲干擾的客觀指標(biāo)，而只能進(jìn)行一些主觀評(píng)價(jià)研究。 但是，噪聲在理論上可以定義為“不可預(yù)測(cè)，只能用概率統(tǒng)計(jì)方法來(lái)認(rèn)識(shí)的隨機(jī)誤差”，因此將圖像噪聲看成是多維隨機(jī)過(guò)程是 合適的，因而描述噪聲的方法完全可以借用隨機(jī)過(guò)程的描述，即用其概率分布函數(shù)和概率密度分布函數(shù)。但在很多情況下，這樣描述方法是很復(fù)雜，甚至不可能的，而實(shí)際應(yīng)用往往也不必要，通常使用其數(shù)值特征，即均值方差、相關(guān)函數(shù)等。盡管如此，圖像噪聲在數(shù)字圖像處理技術(shù)中的重要性己愈加明顯，如高放大倍數(shù)航片的判讀， X 射線圖像系統(tǒng)中的噪聲去數(shù)等都己成為不可缺少的技術(shù)。圖像噪聲來(lái)自于多方面。多幅圖像平均法是利用對(duì)同一景物的多幅圖像取平均來(lái)消除噪聲的。對(duì)圖像處理或圖像通信系統(tǒng)，其信息的主體是圖像，衡量這個(gè)系統(tǒng)的重要指標(biāo)，就是圖像的質(zhì)量。盡管是最理想的情況是能夠找出圖像通真度和圖像可值度的定量描述方法，以作為評(píng)價(jià)圖像和設(shè)計(jì)圖像系統(tǒng)的依據(jù)。 在圖像質(zhì)量的主觀評(píng)價(jià)方法中又分兩種評(píng)價(jià)計(jì)分方法，就是國(guó)際上通行的 S 級(jí)評(píng)分的質(zhì)量尺度和妨礙尺度，如表 所示。如對(duì)數(shù)處理、冪 處理等，常用的 ??Q? 為 ? ?1 2 3lo g ,bK K K f j k?????， 1K ， 2K ， 3K ， b 均為常數(shù) 。這時(shí)采用的就可能是多種評(píng)價(jià)方法和測(cè)量參數(shù)，比如主觀評(píng)分、 PMSE 測(cè)量，有時(shí)甚至還要加上以對(duì)畫面的動(dòng)感 (幀頻 )評(píng)價(jià)等。此時(shí)對(duì)圖像質(zhì) 量 的評(píng)價(jià)并不完全建立在觀賞的 基 礎(chǔ)上，更重要的是考慮圖像符號(hào)的功能，如對(duì)啞語(yǔ)手勢(shì)圖像，主要看破它是否能正確表達(dá)適當(dāng)?shù)氖謩?shì)。 下面介紹幾種常用空間域圖像去 噪 的方法。 （ 22) 式中 T 是一個(gè)規(guī)定的非負(fù) 閾 值，當(dāng)一些點(diǎn)和它們鄰值的差值不超過(guò)規(guī)定的 T 閾 值時(shí)，仍保留這些點(diǎn)的像素灰度值。即采用下式 ： (23) 式中 ： g 為 N x N 濾波結(jié)果 圖像陣列， f 為 N x N 圖像陣列， h 為 L x L 低通濾波陣列。但是對(duì)一些細(xì)節(jié)多，特別是點(diǎn)、線、尖頂細(xì)節(jié)多的圖 像不宜采用中值濾波的方法。二維數(shù)據(jù)的中值濾波可以表示為 ： ? ? ? ? AyyY M e d X? 為 濾 波 窗 口 (211) 在實(shí)際使用窗口時(shí)，窗口的尺寸一般先用 3 x 3 再取 5 x 5 逐漸增大，直到其濾波效果滿意為止。對(duì)于一個(gè)二維序列，這一類不變性更為復(fù)雜，但它們一般也是二值的周期性結(jié)構(gòu)，即周期性網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的圖像。 (3)中值濾波的頻譜特性 ： 由于中值濾波是非線性的，為此在輸入與輸出之間 不存在一一 對(duì)應(yīng)的關(guān)系，故不能用一般線性濾波器頻率特性的研究方法。 ? ? 22 21 24 12M e d m p m m ??? ?? ? ???GH F? 陜西理工學(xué)院畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 第 10 頁(yè)共 45頁(yè) （ a） Lena 原圖 （ b） Lena 原圖加高斯噪聲 （ c） Lena 原圖加椒鹽噪聲 （ d） Lena 高斯噪聲 3 x 3 窗算術(shù)平均平滑 （ e） Lena 椒鹽噪聲 3 x 3 窗算術(shù)平均平滑 陜西理工學(xué)院畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 第 11 頁(yè)共 45頁(yè) （ f） Lena 高斯噪聲 5 x5 窗中值濾波 （ g） Lena 椒鹽噪聲 5 x5 窗中值濾波 圖 圖像去 噪 情況對(duì)比圖 顯然 從圖 可以看出，算術(shù)平均平滑對(duì)高斯噪聲污染圖像有效果，而中值濾波對(duì)椒鹽噪聲去噪聲效果很明顯。 圖 23 幾種線性窗口 (3)其它類型的中值浦波 :為了在一定的條件下對(duì)某些圖像盡可能干凈地去除噪聲，而又盡可能保持有效的圖像細(xì)節(jié)，可以對(duì)中值濾波器參數(shù)進(jìn)行某種修正。 傳統(tǒng)的去噪方法是將被噪聲干擾的信號(hào)通過(guò)一個(gè)濾波器，濾掉噪聲頻率成分，對(duì)于脈沖信號(hào)、白噪聲、非平穩(wěn)過(guò)程信號(hào)等等，傳統(tǒng)方法存在一定的局限性。因此，首先來(lái)介紹二維離散付利葉變換。下面介紹在二維情況下才有的兩條性質(zhì) : (1)變換的可分離性 由于離散付利葉變 換的指數(shù)項(xiàng) (變換核 )可以分解為只含 u x 和 v y 的兩個(gè)指數(shù)項(xiàng)的積，因此，二維離散付利葉正反變換運(yùn)算可以分別分解為兩次一維離散付利葉變換 : (38) (39) 這一性質(zhì)就是二維變換可分離性的含義。 3. 1. 4 基于二維離散付利葉變換的頻率域低通濾波去噪算法 這是一種圖像變換域處理法，而采用的變換方法是二維離散付利葉變換。這是由于 ? ?,Huv 在 0D 處由 1 突變到 0， 這種理想的 這種理想的 ? ?,Huv 對(duì) 應(yīng)的沖激響應(yīng) h(x, y)在空域中表現(xiàn)為同心環(huán)的形式，并且此同心環(huán)半徑與幾成反比 . 0D 越小，同心環(huán)半徑越大，模糊程 度愈厲害。為克服經(jīng)典的傅立葉變換的缺陷， Dennis Gabor 于 1946 年引入短時(shí)傅立葉變換 (ShortTime Fourier Transform)。 1985 年，法國(guó)大數(shù)學(xué)家Meyer 首次提出光滑的小波正交基，后被稱為 Meyer 基，對(duì)小波理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)。圖 為一個(gè)小波的例子。 若用 K? ,表示兩個(gè)基函數(shù) ? ?,a??與 ? ?39。在離散化時(shí)通常對(duì)尺度按幕級(jí)數(shù)進(jìn)行離散化，即取 0mmaa? ( m 為整數(shù)， 0 1a? ，一 般取 0 2a? )，并且相應(yīng)地位移間隔取為 2msT ，得到離散小波 函數(shù) ： (327) 當(dāng)把 t 軸用 Ts 歸一化后，則有 : (328) 于是，任意函數(shù) f (t )的離散小波變換 DWT 為 ： ? ? ? ? ? ?,f m nRW T m n f t t d t???? (329) (2)小 波框架 為了在尺度及位移均離散時(shí)能夠重建原始信號(hào)，必須引入小波框架的概念。因此 MRA在小波變換理論中具有十分重要的地位。此處， ??,jkt? 是由同一母函數(shù)伸 縮 平移得到的正交小波基，因而稱，??t? 為小函數(shù)， jW 是尺度為 j 的小波空間。 (3)正交小波變換的快速算法 Mallat 經(jīng)過(guò)分析，得出了剩余系數(shù)和小波系數(shù)分解的迭代關(guān)系 ： ? ?1 , 0 ,2j k j mmc h m k c? ??? (349) ? ?1 , 1 ,2j k j mmd h m k c? ??? (350) 這即著名的 Mallat 塔式算法 .式中