全國通用19屆高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第九章平面解析幾何97拋物線學(xué)案180402433-免費閱讀
【正文】 ＝|AF|2＋|BF|2＋|AF||BF|，∴2＝鄭州模擬)已知過拋物線y2＝2px(p0)的焦點，斜率為2的直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)兩點，且|AB|＝9.(1)求該拋物線的方程；(2)O為坐標原點，C為拋物線上一點，若＝＋λ，求λ的值．解 (1)直線AB的方程是y＝2，與y2＝2px聯(lián)立，從而有4x2－5px＋p2＝0.由題易知，方程必有兩個不等實根．所以x1＋x2＝，由拋物線定義得|AB|＝x1＋x2＋p＝＋p＝9，所以p＝4，從而拋物線方程為y2＝8x.(2)由于p＝4，則4x2－5px＋p2＝0，即x2－5x＋4＝0，從而x1＝1，x2＝4，于是y1＝－2，y2＝4，從而A(1，－2)，B(4,4)．設(shè)C(x3，y3)，則＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4,4)＝(4λ＋1,4λ－2)．又y＝8x3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，整理得(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.12．(2017汕頭一模)過拋物線C：x2＝2y的焦點F的直線l交拋物線C于A，B兩點，若拋物線C在點B處的切線的斜率為1，則|AF|等于( )A．1 B．2 C．3 D．4答案 A解析 設(shè)B(x1，y1)，因為y＝x2，所以y′＝x，所以＝x1＝1，則B，因為F，所以直線l的方程為y＝，故|AF|＝|BF|＝1.6．(2017全國Ⅲ)已知拋物線C：y2＝2x的焦點為F，平行于x軸的兩條直線l1，l2分別交C于A，B兩點，交C的準線于P，Q兩點．(1)若F在線段AB上，R是PQ的中點，證明：AR∥FQ；(2)若△PQF的面積是△ABF的面積的兩倍，求AB中點的軌跡方程．(1)證明 由題意知，F(xiàn)，設(shè)l1：y＝a，l2：y＝b，則ab≠0，且A，B，P，Q，R.記過A，B兩點的直線為l，則l的方程為2x－(a＋b)y＋ab＝0.由于F在線段AB上，故1＋ab＝0.記AR的斜率為k1，F(xiàn)Q的斜率為k2，則k1＝＝＝＝－＝－b＝＝k2.所以AR∥FQ.(2)解 設(shè)過AB的直線為l，設(shè)l與x軸的交點為D(x1,0)，則S△ABF＝|b－a||FD|＝|b－a|，S△PQF＝.由題意可得|b－a|＝，所以x1＝1，x1＝0(舍去)．設(shè)滿足條件的AB的中點為E(x，y)．當AB與x軸不垂直時，由kAB＝kDE可得＝(x≠1)．而＝y(tǒng)，所以y2＝x－1(x≠1)．當AB與x軸垂直時，E與D重合，此時E點坐標為(1,0)，滿足方程y2＝x－1.所以所求軌跡方程為y2＝x－1.思維升華 (1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系．(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點．若過拋物線的焦點(設(shè)焦點在x軸的正半軸上)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點，則必須用一般弦長公式．(3)涉及拋物線的弦長、中點、距離等相關(guān)問題時，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”、“整體代入”等解法．提醒：涉及弦的中點、斜率時一般用“點差法”求解．跟蹤訓(xùn)練 (2018屆武漢調(diào)研)已知拋物線C：x2＝2py(p0)和定點M(0,1)，設(shè)過點M的動直線交拋物線C于A，B兩點，拋物線C在A，B處的切線交點為N.(1)若N在以AB為直徑的圓上，求p的值；(2)若△ABN面積的最小值為4，求拋物線C的方程．解 (1)可設(shè)AB：y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，將AB的方程代入拋物線C，得x2－2pkx－2p＝0，顯然方程有兩不等實根，則x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p.①又x2＝2py得y′＝，則A，B處的切線斜率乘積為＝－＝－1，則有p＝2.(2)設(shè)切線AN為y＝x＋b，又切點A在拋物線y＝上，∴y1＝，∴b＝－＝－，∴yAN＝x－.同理yBN＝x－.又∵N在yAN和yBN上，∴解得N.∴N(pk，－1)．|AB|＝|x2－x1|＝，點N到直線AB的距離d＝＝，S△ABN＝4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k≤1. 題型一 拋物線的定義及應(yīng)用典例 設(shè)P是拋物線y2＝4x上的一個動點，若B(3,2)，則|PB|＋|PF|的最小值為________．答案 4解析 如圖，過點B作BQ垂直準線于點Q，交拋物線于點P1，則|P1Q|＝|P1F|.則有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即|PB|＋|PF|的最小值為4.引申探究1．若將本例中的B點坐標改為(3,4)，試求|PB|＋|PF|的最小值．解 由題意可知點B(3,4)在拋物線的外部．∵|PB|＋|PF|的最小值即為B，F(xiàn)兩點間的距離，F(xiàn)(1,0)，∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝＝2，即|PB|＋|PF|的最小值為2.2．若將本例
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