第三節(jié)空間曲線-免費閱讀
【正文】 我們設(shè) 和 為分別對應于曲線 和 的基本向量。于是有 但是混合積 是 的連續(xù)函數(shù)，由于當 時它等于 +1，所以對于所有的 都為 +1，即 成右手系。 ，這就是主法向量正向的真正意義。 的基本向量、曲率、撓率。()C P空間曲線的伏雷內(nèi)公式 ()( ) ( )()ksk s ss??? ? ? ?? ? ????? ? ???????＝這組公式是空間曲線論的基本公式。 ,? ? ?p? ? ???因為 ，所以切向量和主法向量所確定 的平面就是曲線 在 點的 密切平面 ，又因為 和 都垂直于切向量 ，所以 和 所確定的平面是曲線上 點的 法平 面 ， 和 所確定的平面則稱為曲線 上 點的 從切平面 ()C,rr???pp? ??? ?? ? ()Cp方程分別為： 密切平面 或 法平面 或 從切平面 或 ( , , ) 0Rr ????( , , ) 0R r r r??( ) 0Rr ???( ) 0R r r??()0Rr ???( ) 0R r r??單位向量 稱為曲線的 基本向量 。 當 時， 就是所求密切面的一個法向量，所以曲線 在 點的密切面方程為 即 其中 表示 點的密切平面上任一點的向徑。也可以用行列式表示： , , ,00( ) ( ) 0r t r t??, ,00( ) ( ) 0rt r t??, , ,0 0 0[ ( ) ] [ ( ) ( ) ] 0R r t r t r t? ? ? ?? 0P, , ,00( ) ( )r t r t?, , ,0 0 0( ( ) , ( ) , ( ) ) 0R r t r t r t??{ , , }R X Y Z? 0P0 0 0, , ,0 0 0, , , , , ,0 0 0( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0( ) ( ) ( )X x t Y y t Z z tx t y t z tx t y t z t? ? ??如果曲線是平面曲線，那么它在每一點的密切平面都是曲線所在的平面。 由三個基本向量和密切平面、法平面、從切 平面所夠成的圖形稱為曲線的 基本三棱形 ,? ? ?對于曲線 的一般參數(shù)表示 有 ()r r t?, , , , , , ,r r rr r r??????, , , , , , , , , , ,( ) ( )r r r r r rr r r? ? ??? ? ?? 定義： 空間曲線 在 點的 曲率 為 其中 為 點及其鄰近點 間的弧長， 為 曲線在點 和 的切向量的夾角。它的特點是基本向量 關(guān)于弧長 的微商可以用 的線性組合來表示。 的撓率 曲率 曲率半徑為 則 在以原點為中心的 球面上的充要條件是 R{ ( 1 sin ) , ( 1 c o s ) , }( 0 )r a t a t b t a? ? ? ?: ( )r r t?? 0? ?0k ? ? ?r?? ? ??? ? ? 我們研究空間曲線在一點臨近的形狀。 時，曲線在 附近是右旋的；當 時，曲線在 附近是左旋的，這就是撓率的幾何意義。 由此得出 是兩兩正交的構(gòu)成右手系的單位向量。兩組向量函數(shù) 和
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