[理學(xué)]多元函數(shù)積分學(xué)習(xí)題課-免費(fèi)閱讀
【正文】 dyyxxdxyxyIL 2222 ???? ?解：dyyx xdxyx yL 2222 )4()3(3)4()3(4?????????? ?yPxQyPxQ?????????? 2211???? ???12222 yx yxx d yy d xI ????? ???????1)4()3(2222 )4()3()3()4(yx yxdyxdxy?4??2 2 2 2 2 2 2 24320 ( ) ( ) ,( 3 ) ( 4) ( 3 ) ( 4)( 5 , 6) , ( 5 , 6) , ( 5 , 6) , ( 5 , 6)Ly y x xI dx dyx y x y x y x yL A B C D? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ??例 、其 中 為 連 接 點(diǎn) 的 矩 形 路 徑 。與 1222 ??? zzyx ,1: 22 ?? yxD222 zyx ???,rz ??,20,10,1: ?? ?????? rzr?例 12 ???? 110 220 r z d zdrrd? ?? ?? 1022 )21(2 drrr?.152????? ??d x d y d zyxz 22?????dzd r dzr ?2所以 ，求 )(1lim 40tFtt ???)(tF解 : 在球坐標(biāo)系下 ?? t rrrf0 2 d)(4 ?40)(limttFt ??利用洛必達(dá)法則與導(dǎo)數(shù)定義 ,得 320 4)(4l i mtttft ???? ttft)(l i m0?? )0(f?0)0( ?Fzyxzyxftzyxddd)(2222222????????其中 0? )0(f ??例 13 22221 1 1 ( 1 , 1 , 3 )z x y Mz x y? ? ? ???例 求 曲 面 上 點(diǎn) 處 的切 平 面 與 曲 面 所 圍 空 間 區(qū) 域 的 體 積 。??????2122zyxL解：?????????2s inc o szyxL ????????? dI ]0)1si n( c o sc o ssi nc o s2[02 22? ???????2??2 2 22 2 2 2 23 1 ( ) ( 1 ) ,51LI x y zd x x y d y x y d zL x y z z x yoz? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??例 、 計(jì) 算 ： 其 中為 球 面 與 旋 轉(zhuǎn) 拋 物 面 的 交 線 ，從 軸 正 向 看 去 為 順 時(shí) 針 。多元函數(shù)積分學(xué)習(xí)題課 一、多元函數(shù)積分學(xué)內(nèi)容的復(fù)習(xí)（略） 二、多元函數(shù)積分學(xué)有關(guān)例題 例 1 比較下列積分的大?。? ?? ?Ddyx ?2)(與 ?? ?Ddyx ?3)(其中 D: 2)1()2( 22 ???? yx0 y x (3,0) (1,0) (0,1) 1?? yx. D 解：在區(qū)域 D內(nèi)，顯然有 ,1?? yx 故在 D內(nèi) 32 )()( yxyx ??????? ????DDdyxdyx ?? 32 )()(例 2 估計(jì)積分大小 20,10 ,)1(??????? ??yxDdyxID是矩形閉區(qū)域：其中?解： 在 D內(nèi)的最大值為 4，最小值為 1 區(qū)域 D的面積為 2 所以由性質(zhì) 6得 812 ???? ??Ddyx ?)(yxyxf ??),(D例 3 解： 圍成．由其中計(jì)算 2,1,.22????? xxyxyDdyxD?X型 ???? ? xxDdyyxdxdyx 1 222122?? ????????21 12dxyxxx? ?? 21 3 )( dxxx .49?.21,1: ???? xxyxD），左邊交點(diǎn)坐標(biāo)為（ 11所圍成的閉區(qū)域。1: 2211 yxz ?????,1: 2222 yxz ????xyz2??1? ????????????12x y z d x d yx y z d x d yx y z d x d y???? ???????xyxy DDd x d yyxxyd x d yyxxy )1(1 2222?? ???xyDd x d yyxxy 2212.1521c o ss i n2 22?? ???xyDr d r drr ???例 35 計(jì)算曲面積分 x d y d zzydxdyyx )()( ?????? 其中 Σ 為柱面 122 ?? yx 及平 面 3,0 ?? zz 所圍成的空間閉 區(qū)域 ? 的整個(gè)邊界曲面的外側(cè) . xozy113解 ,0,)(yxRQxzyP?????,0,0, ?????????? zRyQzyxP?????? d x d y d zzy )(原式?????? dzr d r dzr ?? )s i n(.29???(利用柱面坐標(biāo)得 ) xozy113? ? ? ?? ? ??20 10 30 )s i n( dzzrr d rd?zyxo?? ? ?? ,dddddd yxzxzyzyx 其中 ? 為半球面 的上側(cè) . 且取下側(cè) , 提示 : 以半球底面 0?原式 = 3323 R??? 0? 32 R??0?zyx ddd3 ?? ? ???0dddddd yxzxzyzyx記半球域?yàn)? ? , 高斯公式有 例 36計(jì)算 為輔助面 , 利用 xyzo例 37 計(jì)算曲面積分 dszyx )c o sc o sc o s(222??? ?????, 其中 Σ 為 錐面 222zyx ?? 介于平面 0?z 及 )0( ?? hhz 之間的部分的下側(cè) , ??? co s,co s,co s 是 Σ 在 ),( zyx 處 的法向量的方向余弦 . h?xyDxyzoh?1?解 空間曲面在 面上的投影域?yàn)? xoy xyD)(: 2221 hyxhz ???補(bǔ)充曲面 ?不是封閉曲面 , 為利用高斯公式 取上側(cè)，1? ?構(gòu)成封閉曲面，1???.1 ???? 圍成空間區(qū)域,上使用高斯公式在 ??? ????????????dvzyxdSzyx)(2)c osc osc os(1222 ????? ? ? ???xyDhyxdzzyxdx dy 22 ,)(2}.|),{( 222 hyxyxD xy ???其中?? ? ? ??xyDhyxdzyxd x d y 22 ,0)(??????????????xyDdxdyyxhdSzyx)()c osc osc os(2222221???.21 4h??????????????112222 )c osc osc os( dSzdSzyx????xyDdxd yh 2 .4h??故所求積分為 ???????? dSzyx )c o sc
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