[經(jīng)濟學]第12講求導法則-免費閱讀
【正文】 ),11( ,a r c c o s yxxy ????它是 x = cos y , , ),0( 的反函數(shù)??y 0s i n)(c osdd ????? yyyx解 例 16 c os ( 0 , ) , x y ??又 在 內(nèi)單調(diào)、連續(xù)、可導 且故 )( c o s1dd1dd)( a r c c o s???????yyxxyxy )11( 11)( a r c c os 2??????? xxx22 11c os11s i n1xyy ????????)11( ??? x ,2,2 , t a n )( 的反函數(shù)它是 ????? yy x又 0t a n1)(t a n 2 ???? yy故 )(t a n1)(a rc t a n?????yxy),( ?????x解 。求 y?解 由和的求導公式 21 )1( ??? nxna ??? xa n 22? 1?? na 通常說 , 多項式的導數(shù)仍是多項式 , 其次 數(shù)降低一次 , 系數(shù)相應改變 . 例 6 ( ) , ( )u x v x x( ) ( )y u x v x?? x[ ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( )y u x v x u x v x u x v x? ? ? ?? ? ? ?乘積函數(shù)的導數(shù) 在點 處可導， 在點 處也可導， 定理 ： 設函數(shù) 則函數(shù) 且有 證 )()()()())()(( xvxuxvxuxvxu ?????xxvxuxxvxxuxvxux ??????????)()()()(l i m))()((00( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )l imxu x x v x x u x v x x u x v x x u x v xx??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???0[ ( ) ( ) ] ( ) ( ) [ ( ) ( ) ]l imxu x x u x v x x u x v x x v xx??? ? ? ? ? ? ? ? ???0lim ( )xvuxx?????)()()()( xvxuxvxu ???? 因為可導必連續(xù) , 所以 。時， 0 0 ???? vx0l im ( )xuv x xx???? ? ??設 u ? C ( C為常數(shù) ) , v = v(x) 可導 , 則 通常說成 : 常數(shù)因子可以提到導數(shù)符號外面 ))(()()())(( ????? xvCxvCxvC))(( ?? xvC例 7 設 bxay ??)( ???? bxay則 直線上任意一點處的切線就是它本身 . )()( ???? bxaaxa ??? )( 線性函數(shù)的導數(shù)為一個常數(shù) . 例 8 )( l o g ??? xy a。求 yxxy ???????? ),( ,a r c t a ny2t a n11? 211x??例 17 x=t a ny ,且 滿足定理的條件 ),( 1 1)( a r c t a n 2 ???????? xxx類似可得 ),( 1 1)a r c c ot( 2 ????????? xxx四 .復合函數(shù)的導數(shù) 且 )())(()))((( xxfxf ??? ????xuuyxydddddd ?或 定理 設 u = ? (x) 在點 x 處可導 , y = f (u) 在對應 點 u ( u = ? (x) ) 處也可導 , 復合函數(shù) y = f (? (x)) 在 U(x) 內(nèi)有定義 , 則 y = f (? (x)) 在點 x 處可導 , Q y = f (u) 在相應點 u 處可導 , ? uuufuuufy ??????????? ?)()o()(( 當 ?u? 0, ? ? 0 ) 以 ?x 除上式 , 得 xuxuufxy????????? ?)(證 給 x 以增量 ?x, 相應地 u = ? (x) 有增量 ?u, 對于 ?u, y = f (u) 有增量 ?y. 對上式兩邊取 ?x? 0 的極限 , 由 u = ? (x) 在點 x 處可導 , 得 )()(l i ml i ml i m)(l i m0000xufxuxuufxyxxxx?? ????????????????????即 )())(()()()))((( xxfxufxf ???? ???????或 xuuyxydddddd ?例如 , ， )()( :))](([ xhvvuuyxhfy ???? ??則在各函數(shù)可導且 f [? (h(x))] 在 U(x) 有定義 時 , )()()()))](([ ( xhvufxhfy ??????? ??或 xvvuuyxydddddddd ?)())(())](([ xhxhxhf ???? ?? 該定理可推廣到任意有限次復合的情形 . 有 )()( s i n)( s i n ?????? axuaxy u? au ?? c o s解 . , s i n yaxy ?? 求Q axuuy ?? , s i naxa c o s?)( s in ??? axy 一般按 “由外向里層層求導” 法求導 c o s ax? )( ?? ax c o s axa?例 18 )( 5 ??? ? xey解 . ,5 yey x ?? ? 求)5(5
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