【正文】 U24=(1 0 0 0 00 1ku2 Conjugate[ku2]/2 0 Conjugate[ku2] 00 0 1 0 00 ku2 0 1ku2 Conjugate[ku2]/2 00 0 0 0 1)。ku2=k Abs[u2] Exp[I Arg[u2]]。U24=(1 0 0 00 1ku2 Conjugate[ku2]/2 0 Conjugate[ku2]0 0 1 00 ku2 0 1ku2 Conjugate[ku2]/2)。,“NEUTRINO ASTROPHYSICS”,CAMBRIDGE,UK:.(1989)567p[3],2369(1978)。故本文采取的是用特殊矩陣的近似幺正形式，來逐一求解中微子質(zhì)量矩陣的各個子矩陣的近似幺正矩陣，最終達(dá)到對角化中微子質(zhì)量矩陣的目的。第五章 總結(jié)與展望 由于標(biāo)準(zhǔn)模型中的中微子是無質(zhì)量的粒子，而近年來的中微子振蕩實驗已經(jīng)證明了中微子的質(zhì)量不為零，并且中微子還有不同種味道之間可以相互混合的特性。，其它元素設(shè)為0，可得M14=000ku100000000000ku1001000000 （）由求解四代中微子時的求近似幺正矩陣的方法可以得出M14的近似的幺正矩陣U14=1ku12/200ku1*00100000100ku1001ku12/2000001 （）然后再求近似對角化后的M14，在命令窗口中輸入Normal[Simplify[Ulh=Transpose[U14].,AssumptionsElement[k,Reals]]]//FullSimplifyMatrixForm[%]得到如下非對角的矩陣U14TM14U14=k2u12+k4u13u1*001/4k3u1u12(6+k2u1u1*)000000000001/4k3u1u12(6+k2u1u1*)00134k4u14+k2u1u1*000000（）很顯然矩陣?yán)锖衚的高次項，由于 k?1所以可以近似略去k的3次以上的元素，輸入：Normal[Series[Simplify[Ulh=Transpose[U14].,AssumptionsElement[k,Reals]],{k,0,2}]]//FullSimplifyMatrixForm[%]近似后可得U14TM14U14=k2u12000000000000000001+k2u1u1*000000 ()這就完成了M14的對角化。輸入命令Normal[Series[Simplify[Ulh=Transpose[U24].,AssumptionsElement[k,Reals]],{k,0,2}]]//FullSimplifyMatrixForm[%]所以可得U24TM24U24=00000k2u220000000001+k2u2u2* （）由此完成了對M24的對角化工作。M14=000ku100000000ku1001 （）M24=0000000ku200000ku201 （）M34=0000000ku3000000ku31 （）下面就是對角化M14，M24，M34這3個矩陣。 特殊矩陣的對角化方法考慮一個惰性中微子作用下的質(zhì)量矩陣，形式如下MN=000ν2u1000ν2u2000ν2u3ν2u1ν2u2ν2u3M1 ()其中，我們有近似條件： M1?ν為了簡化計算可以令M1=MRk=ν/(2MR) MN=MR000ku1000ku2000ku3ku1ku2ku31 ()以下就是對角化這個質(zhì)量矩陣，由于MN是一個復(fù)數(shù)矩陣，不能簡單的用求解本征值的方法，由于MN矩陣的特殊形式，可以采取以下解法分次來對角化。則小于 4 度。這個矩陣有好幾種不同的參數(shù)化，但是由于中微子探測的難度，各參數(shù)的測量要比這個矩陣的夸克對應(yīng)版本（CKM矩陣）要難得多。三代中微子的混合矩陣如下： 。由于弱作用本征態(tài)并不一定要等于質(zhì)量本征態(tài),因此νe 及νμ 可寫成質(zhì)量本征態(tài)ν1及ν2的線性組合: （）假定在時間t =0 時νe經(jīng)由β 衰變產(chǎn)生,則 （）到了時間t,質(zhì)量本征態(tài)分別演變?yōu)?（）其中 （）因此 （）如果兩質(zhì)量本征值不相等,即 則意味νe(t) 與νμ 不再互相垂直,換言之, νe(t)里已經(jīng)有νμ的成分,我們可以計算在此時刻νe(t)究竟有多少機(jī)率是以νμ形式存在（）由于中微子速度已近光速,上式可改寫成 （）其中是中微子在時間t 所走的距離,A 是所謂的 振蕩長度(oscillation length ) （）從第(5 )式可知中微子一定要運動大約L/2 的距離后,才有顯著的振蕩產(chǎn)生當(dāng)然微中子振蕩的機(jī)率還跟有關(guān),當(dāng) 而當(dāng) 恒為零。在這一節(jié),我將介紹非加速器微中子物理。1956年二分量理論的建立,還有宇稱不守恒的發(fā)現(xiàn)使人們認(rèn)為中微子質(zhì)量為零。無質(zhì)量的假定 是由于電子能譜的頂點Temax 已經(jīng)和核子能量差 (MZ+1,AMZ,A)c2相等,再也沒有多余能量可以給中微子帶走。實驗發(fā)現(xiàn)了中微子振蕩,表明中微子具有質(zhì)量,可以從μ中微子變成其他類型的中微子,而且輕子數(shù)不守恒,這就不符合粒子物理標(biāo)準(zhǔn)模型, 預(yù)示著這個發(fā)現(xiàn)將會推動這粒子物理學(xué)的快速發(fā)展。中微子振蕩并非新觀念,理論上早有人提出,只是實驗上一直未能證實,因此也凸顯 SuperKamiokande 實驗的重要性。新添加了一些主要的性能和質(zhì)量改進(jìn)功能，進(jìn)一步拓展了Mathematica 9 算法、知識和界面功能。它在許多重要的發(fā)現(xiàn)中扮演著關(guān)鍵的角色，并是數(shù)以千計的科技文章的基石。很多功能在相應(yīng)領(lǐng)域內(nèi)處于世界領(lǐng)先地位，截至2013年，它也是為止使用最廣泛的數(shù)學(xué)軟件之一。宇宙中存在大量的中微子，其中大部分為宇宙大爆炸所殘留的，所以每時每刻都有大量中微子在宇宙中各個角落穿梭，然而卻長期不為人所知。1998年，超級神岡探測器首次發(fā)現(xiàn)了中微子振蕩的確切證據(jù)，表明三種中微子是可以互相轉(zhuǎn)換的，為解決太陽中微子問題指明了道路。1973年，小林和益川將夸克推廣到三代，并給出了CKM矩陣[8,9]。但是Sheldon Glashow的這個理論并不是嚴(yán)格的非阿貝耳規(guī)范場理論，因為這個理論中加進(jìn)了中間玻色子的質(zhì)量項。按照V－A理論，中子與質(zhì)子或中微子與電子不僅形成了矢量流(V)，而且還形成了一種軸矢量流(A)。在υμ被發(fā)現(xiàn)后，1962年，Maki等人提出兩代中微子混合，接著1967年，Pontecorvo提出了兩代中微子混合于振蕩概念。這篇文章先是綜述中微子研究的的歷程,核心是計算在在考慮惰性大質(zhì)量中微子的的影響下輕中微子的質(zhì)量矩陣,并對角化其質(zhì)量矩陣 。但是在標(biāo)準(zhǔn)模型中，中微子是沒有質(zhì)量的，而中微子振蕩實驗卻表明其是有質(zhì)量的。之后1932年中子被查得威克發(fā)現(xiàn)，費米才將這個新粒子命名為中微子。 費米于1934年提出了弱相互作用的四費米子的相互作用理論。格拉肖首先意識到，要同時描寫弱作用和電磁作用，內(nèi)部對稱性應(yīng)當(dāng)擴(kuò)大，即除了弱同位旋以外還應(yīng)加上弱超荷。這一模型因而被稱為格拉肖溫伯格薩拉姆電弱統(tǒng)一理論模型。他們也因此獲得1988年的諾貝爾物理學(xué)獎；2000年7月21日，美國費米國家實驗室宣布發(fā)現(xiàn)了τ子中微子υτ存在的證據(jù)。該發(fā)現(xiàn)是對自然界最基本的物理參數(shù)的測量，被認(rèn)為是對物質(zhì)世界基本規(guī)律的新的認(rèn)識。本文主要考慮通過對標(biāo)準(zhǔn)場擴(kuò)充解釋中微子質(zhì)量，而解釋中微子質(zhì)量的Seesaw機(jī)制就屬于這一類情況。但是，隨著時間的變化，Mathematica在許多重要領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。本文主要利用Mathematica軟件在物理研究中的廣泛的應(yīng)用,例如強(qiáng)大的符號運算功能,可以進(jìn)行繁瑣的公式推導(dǎo)等等,只要掌握一些常用的命令,就能解決許多物理難點問題,這樣將有助于大大減少因為復(fù)雜計算所帶來的錯誤和不必要的時間浪費。第二章 中微子的基本理論2．1 概述近幾年來,中微子物理研究進(jìn)行得如火如涂, 主要原因1998 年日本SuperKamiokande 實驗組的重大發(fā)現(xiàn)。帶電粒子以超過介質(zhì)中的光速穿過介質(zhì)時，會發(fā)出切連科夫輻射。有中微子帶走一部份動能,電子能譜的連續(xù)分布現(xiàn)象就很容易解釋了。由于微中子的作用很微弱,使得偵測微中子成為實驗物理學(xué)家的一大挑戰(zhàn)。 輕子, 因此證實π 介子衰變出的中微子有別于β衰變中的中微子νe 。為方便說明起見,我們先假定只有兩類中微子。：大氣中微子行進(jìn)路徑: Atmospheric neutrinos travel path PMNS矩陣的介紹在粒子物理學(xué)中，龐蒂科夫牧中川坂田矩陣（英語：PontecorvoMakiNakagawaSakata Matrix，簡稱PMNS矩陣），又稱牧中川坂田矩陣（MNS矩陣）、輕子混合矩陣或中微子混合矩陣，是一個幺正矩陣，內(nèi)含自由轉(zhuǎn)播中與弱相互作用中的輕子間量子態(tài)的相異之處，因此是研究中微子振蕩的重要工具。Ue1Ue2Ue3Uμ1Uμ2Uμ3Uτ1Uτ2Uτ3=cosθ12cosθ13sinθ12cosθ13sinθ13eiδsinθ12cosθ23cosθ12sinθ23sinθ13eiδcosθ12cosθ23sinθ12sinθ23sinθ13eiδsinθ23cosθ13sinθ12sinθ23cosθ12cosθ23sinθ13eiδcosθ12sinθ23sinθ12cosθ23sinθ13eiδcosθ23cosθ13()從2011年以前的實驗結(jié)果得知，混合角θ12其值約為 度。ku2=k Abs[u2] Exp[I Arg[u2]]。U14TM14U14=k2u12000000000000001+k2u1u1* （）由此完成了對M14的對角化工作。接下來就是利用PMNS矩陣來對角化輕中微子質(zhì)量矩陣UPMNS+MlightUPMNS*=diag(mυ1,mυ2,mυ3) （）這樣在四代模型下的中微子質(zhì)量已經(jīng)求出，下面是五代模型下的中微子質(zhì)量的求解。，其它元素設(shè)為0，可得M35=00000000000000kv30000000kv301 ()由求解四代中微子時的求近似幺正矩陣的方法可以得出M35的近似的幺正矩陣U35=1000001000001kv32/20kv3*0001000kv301kv32/2 ()然后再求近似對角化后的M35，輸入：Normal[Simplify[Ulh=Transpose[U35].,AssumptionsElement[k,Reals]]]//FullSimplifyMatrixForm[%]可得非對角化的矩陣U35TM35U35=000000000000k2v32+k4v33v3*01/4k3v3v32(6+k2v3v3)00000001/4k3v3v32(6+k2v3v3*)0134k4v34+k2v3v3*（）很顯然矩陣?yán)锖衚的高次項，由于 k?1所以可以近似略去k的3次以上的元素，輸入：Normal[Series[Simplify[Ulh=Transpose[U35].,AssumptionsElement[k,Reals]],{k,0,2}]]//FullSimplifyMatrixForm[%]近似后可得U35TM35U35=000000000000k2v32000000000001+k2v3v3* （）這就完成了M35的對角化。闡述了PMNS矩陣在計算中微子質(zhì)量中的重要性。也許有關(guān)中微子的諸多問題可以在這個人類歷史上擁有最高能量的對撞機(jī)上得到圓滿的解決。M14=(0 0 0 ku10 0 0 00 0 0 0ku1 0 0 1)。U34=(1 0 0 00 1 0 00 0 1ku3 Conjugate[ku3]/2 Conjugate[ku3]0 0 ku3 1ku3 Conjugate[ku3]/2)。M14=(0 0 0 ku1 00 0 0 0 00 0 0 0 0ku1 0 0 1 00 0 0 0 0)。Normal[Series[Simplify[Ulh=Transpose[U34].,AssumptionsElement[k,Reals]],{k,0,2}]]//FullSimplify{{0,0,0,0,0},{0,0,0,0,0},{0,0,k^2 u3^2,0,0},{0,0,0,1+k^2 u3 Conjugate[u3],0},{0,0,0,0,0}}MatrixForm[%](0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 k^2 u3^2 0 00 0 0 1+k^2 u3 Conjugate[u3] 00 0 0 0 0)Normal[Simplify[Ulh=Transpose[U34].,AssumptionsElement[k,Reals]]]//FullSimplify{{0,0,0,0,0},{0,0,0,0,0},{0,0,k^2 u3^2 (1+k^2 u3 Conjugate[u3]),1/4 k^3 u3 Abs[u3]^2 (6+k^2 u3 Conjugate[u3]),0},{0,0,1/4 k^3 u3 Abs[u3]^2 (6+k^2 u3 Conjuga