【正文】 s1 的流量豎直落至轉(zhuǎn)臺 ， 并粘附于臺面形成一圓環(huán) ， 若環(huán)的半徑為 r ＝ m， 求砂粒下落 t ＝ 10 s 時 ， 轉(zhuǎn)臺的角速度 . 分析 對轉(zhuǎn)動系統(tǒng)而言 ， 隨著砂粒的下落 ， 系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量發(fā)生了改變 .但是 ， 砂粒下落對轉(zhuǎn)臺不產(chǎn)生力矩的作用 ， 因此 ， 系統(tǒng)在轉(zhuǎn)動過程中的角動量是守恒的 .在時間 t 內(nèi)落至臺面的砂粒的質(zhì)量 ， 可由其流量求出 ， 從而可算出它所引起的附加的轉(zhuǎn)動慣量 .這樣 ， 轉(zhuǎn)臺在不同時刻的角速度就可由角動量守恒定律求出 . 解 在時間 0→ 10 s 內(nèi)落至臺面的砂粒的質(zhì)量為 ?? ? tm 根據(jù)系統(tǒng)的角動量守恒定律 ， 有 ? ?ωmrJωJ 2022 ?? 則 t ＝ 10 s 時 ， 轉(zhuǎn)臺的角速度 112000 ???? JmrJ ωJω 4 － 32 如圖所示 ， A 與 B 兩飛輪 的軸桿由摩擦嚙合器連接 ， A 輪的轉(zhuǎn)動慣量 J1 ＝ kgs,此力作用的時間； (3) 若物體的初速度 v1 ＝ 10 m角下降．求雨滴下落的速度 v2 ． (設下降的雨滴作勻速運動 ) 分析 這是一個相對運動的問題． 設雨滴為研究對象 ,地面為靜止參考系Ｓ ,火車為動參考系Ｓ ′． v1 為Ｓ ′相對Ｓ 的速度 ,v2 為雨滴相對Ｓ的速度 ,利用相對運動速度的關(guān)系即可解．解 以地面為參考系 ,火車相對地面運動的速度為 v1 ,雨滴相對地面豎直下落的速度為 v2 ,旅客看到雨滴下落的速度 v2′為相對速度 ,它們之間的關(guān)系為 139。41′ (2) 加速度的分量式為 2sm60dd ???? ta xx v , 2sm40dd ????? ta yy v 則加速度的大小為 222 ????? yx aaa 設 a 與 x 軸的夾角為 β,則 32tan ??? xyaaβ β＝ 33176。41′(或 326176。22 vvv ?? (如圖所示 ),于是可得 1o12 ???? vv 2 6 圖示一斜面 ,傾角為 α,底邊 AB 長為 l ＝ m,質(zhì)量為 m 的物體從題 2 6 圖斜面頂端由靜止 開始向下滑動 ,斜面的摩擦因數(shù)為 μ＝ ．試問 ,當 α為何值時 ,物體在斜面上下滑的時間最短？ 其數(shù)值為多少？ 分析 動力學問題一般分為兩類： (1) 已知物體受力求其運動情況； (2) 已知物體的運動情況來分析其所受的力．當然 ,在一個具體題目中 ,這兩類問題并無截然的界限 ,且都是以加速度作為中介 ,把動力學方程和運動學規(guī)律聯(lián)系起來．本題關(guān)鍵在列出動力學和運動學方程后 ,解出傾角與時間的函數(shù)關(guān)系 α＝ f(t),然后運用對 t 求極值的方法即可得出數(shù)值來． 解 取 沿 斜 面 為 坐 標 軸 Ox, 原點 O 位 于 斜 面 頂 點 , 則 由 牛 頓 第 二 定 律 有maαmg μαmg ?? c o ss in (1) 又物體在斜面上作勻變速直線運動 ,故有 ? ? 22 c oss i n2121c os tαμαgatαl ??? 則 ? ?αμααg lt c oss inc os 2 ?? (2) 為使下滑的時間最短 ,可令 0dd ?αt ,由式 (2)有 ? ? ? ? 0s i nc o sc o sc o ss i ns i n ????? αμαααμαα 則可得 μα 12tan ??, o49?? 此時 ? ? c oss i nc os 2 ??? αμααg lt 2 9 質(zhì)量為 m′的長平板 A 以速度 v′在光滑平面上作直線運動 ,現(xiàn)將質(zhì)量為 m 的木塊 B 輕輕平穩(wěn)地放在長平板上 ,板與木塊之間的動摩擦因數(shù)為 μ,求木塊在長平板上滑行多遠才能與板取得共同速度？ 分析 當木塊 B 平穩(wěn)地輕輕放至運動著的平板 A 上時 ,木塊的初速度可視為零 ,由于它與平板之間速度的差異而存在滑動摩擦力 ,該力將改變它們的運動狀態(tài)．根據(jù)牛頓定律可得到它們各自相對地面的加速度．換以平板為參考系來分析 ,此時 ,木塊以初速 度 v′(與平板運動速率大小相等、方向相反 )作勻減速運動 ,其加速度為相對加速度 ,按運動學公式即可解得． 該題也可應用第三章所講述的系統(tǒng)的動能定理來解．將平板與木塊作為系統(tǒng) ,該系統(tǒng)的動能由平板原有的動能變?yōu)槟緣K和平板一起運動的動能 ,而它們的共同速度可根據(jù)動量定理求得．又因為系統(tǒng)內(nèi)只有摩擦力作功 ,根據(jù)系統(tǒng)的動能定理 ,摩擦力的功應等于系統(tǒng)動能的增量．木塊相對平板移動的距離即可求出． 解 1 以地面為參考系 ,在摩擦力 Fｆ ＝ μmg 的作用下 ,根據(jù)牛頓定律分別對木塊、平板列出動力學方程 Fｆ ＝ μmg ＝ ma1 F′ｆ ＝ Fｆ ＝ m′a2 a1 和 a2 分別是木塊和木板相對地面參考系的加速度．若以木板為參考系 ,木塊相對平板的加速度 a ＝ a1 ＋ a2 ,木塊相對平板以初速度 v′作勻減速運動直至最終停止．由運動學規(guī)律有 v′2 ＝ 2as 由上述各式可得木塊相對于平板所移動的距離為 ? ?mmgμ ms ????? 2 2v 解 2 以木塊和平板為系統(tǒng) ,它們之間一對摩擦力作的總功為 W ＝ Fｆ (s ＋ l) Fｆ l ＝ μmgs 式中 l 為平板相對地面移動的距離． 由于系統(tǒng)在水平方向 上不受外力 ,當木塊放至平板上時 ,根據(jù)動量守恒定律 ,有 m′v′＝ (m′＋ m) v″ 由系統(tǒng)的動能定理 ,有 ? ? 22 2121 vv ???????? mmmm gsμ 由上述各式可得 ? ?mmgμ ms ????? 2 2v 2 12 一雜技演員在圓筒形建筑物內(nèi)表演飛車走壁．設演員和摩托車的總質(zhì)量為 m,圓筒半徑為 R,演員騎摩托車在直壁上以速率 v 作勻速圓周螺旋運動 ,每繞一周上升距離為 h,如圖所示．求壁對演員和摩托車的作用力． 分析 雜技演員 (連同摩托車 )的運動可以看成一個水平面內(nèi)的勻速率圓周運動和一個豎直向上勻速 直線運動的疊加．其旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋線軌跡展開后 ,相當于如圖 (b)所示的斜面．把演員的運動速度分解為圖示的 v1 和 v2 兩個分量 ,顯然 v1是豎直向上作勻速直線運動的分速度 ,而 v2則是繞圓筒壁作水平圓周運動的分速度 ,其中向心力由筒壁對演員的支持力 FN 的水平分量 FN2 提供 ,而豎直分量 FN1 則與重力相平衡．如圖 (c)所示 ,其中 φ角為摩托車與筒壁所夾角．運用牛頓定律即可求得筒壁支持力的大小和方向 解 設雜技演員連同摩托車整體為研究對象 ,據(jù) (b)(c)兩圖應有 01 ??mgFN ( 1 ) RmFN 22 v? ( 2 ) ? ? 222 π2 π2c os hR Rθ ??? vvv (3) 2221 NNN FFF ?? (4) 以式 (3)代入式 (2),得 222222222222 π4 π4π4 π4 hRRmhR RRmF N ???? vv (5) 將式 (1)和式 (5)代入式 (4),可求出圓筒壁對雜技演員的作用力 (即支承力 )大小為 2222222222 1 π4π4 ???????? ????? hR RgmFFFNNNv 與壁的夾角 φ為 ? ?ghR RFF NN 222 2212 π4 π4a rc t a na rc t a n ??? v 討論 表演飛車走壁時 ,演員必須控制好運動速度 ,行車路線以及摩托車的方位 ,以確保三者之間滿足解題用到的各個力學規(guī)律． 2 13 一質(zhì)點沿 x軸運動 ,其受力如圖所示 ,設 t ＝ 0 時 ,v0＝ 5ms1 ,方向與 Fx 相同 ,在 t＝ ,此物體的速度 v2 ． 分析 本題可由沖量的定 義式 ?? 21 dtt tFI,求變力的沖量 ,繼而根據(jù)動量定理求物體的速度 v2． 解 (1) 由分析知 ? ? sN68230d430 20220 ?????? ? ttttI (2) 由 I ＝ 300 ＝ 30t ＋ 2t2 ,解此方程可得 t ＝ 6． 86 s(另一解不合題意已舍去 ) (3) 由動量定理 ,有 I ＝ m v2 m v1 由 (2)可知 t ＝ 6． 86 s 時 I ＝ 300 N m2 ， 開始時 B 輪靜止 ， A 輪以 n1 ＝ 600 r m2 .今有砂粒以 Q ＝ 2t gｓ 1 )． (1) 求物體發(fā)射到最大高度所需的時間． (2) 最大高度為多少？ 分析 物體在發(fā)射過程中 ,同時受到重力和空氣阻力的作用 ,其合力是速率 v 的一次函數(shù) ,動力學方程是速率的一階微分方程 ,求解時 ,只需采用分離變量的數(shù)學方法即可．但是 ,在求解高度時 ,則必須將時間變量通過速度定義式轉(zhuǎn)換為位置變量后求解 ,并注意到物體上升至最大高度時 ,速率應為零． 解 (1) 物體在空中受重力 mg和空氣阻力 Fr ＝ kv 作用而減速．由牛頓定 律得 tmkmg ddvv ??? (1) 根據(jù)始末條件對上式積分 ,有 ?? ??? vv vvv0 dd0 kmgmtt 0 ????????? ?? mgkkmt v (2) 利用yvt dddd vv?的關(guān)系代入式 (1),可得 ymkmg ddvvv ??? 分離變量后積分 ?? ??? 00 0 dd v vvv kmgmyy 故 m1831ln00 ??????? ????????? ??? vvmgkkmgkmy 討論 如不考慮空氣阻力 ,則物體向上作勻減 速運動．由公式gt 0v?和gy 220v? 分別算得 t≈ y≈184 m,均比實際值略大一些． 2 21 一物體自地球表面以速率 v0 豎直上拋．假定空氣對物體阻力的值為 Fr ＝ kmv2 ,其中 m 為物體的質(zhì)量 ,k 為常量．試求： (1) 該物體能上升的高度； (2)物體返回地面時速度的值． (設重力加速度為常量． ) 分析 由于空氣對物體的阻力始終與物體運動的方向相反 ,因此 ,物體在上拋過程中所受重力 P 和阻力 Fr 的方向相同；而下落過程中 ,所受重力 P 和阻力 Fr 的方向則相反．又因阻力是變力 ,在解動力學方程時 ,需用積分的方法． 解 分別對物體上拋、下落時作受力分析 ,以地面為原點 ,豎直向上為 y 軸 (如圖所示 )． (1) 物體在上拋過程中 ,根據(jù)牛頓定律有 ymtmkmmg dddd2 vvvv ???? 依據(jù)初始條件對上式積分 ,有 ?? ??? 0 20 0 dd v vvv kgyy ???????? ???? 202ln21 vvkg kgky 物體到達最高處時 , v ＝ 0,故有 ???????? ??? gkgkyh 20m a x ln21 v (2) 物體下落過程中 ,有 yvmkmmg dd2 vv ??? 對上式積分 ,有 ?? ??? 0 20 0 dd v vvv kgyy 則 2/120 1????????? ?? gkvvv 3 8 Fx ＝ 30＋ 4t(式中 Fx 的單位為 N,t 的單位為 s)的合外力作用在質(zhì)量 m＝ 10 kg 的物體上 ,試求： (1) 在開始 2ｓ 內(nèi)此力的沖量； (2) 若沖量 I ＝ 300 Nｓ 1 的速度勻速前進 ,在車內(nèi)的旅客看見玻璃窗外的雨滴和垂線成 75176。ｓ 1 ,則初速度大小為 120200 ????? yx vvv 設 vo與 x 軸的夾 角為 α,則 23tan 00 ??? xyα vv α＝ 123176。19′) 1 15 一質(zhì)點具有恒定加速度 a ＝ 6i ＋ 4j,式中 a的單位為 mｓ 1 ,x0＝ 2 m,質(zhì)點質(zhì)量 m ＝ 1kg,試求該質(zhì)點 7ｓ末的速度和位置坐標． 分析 首先應由題圖求得兩個時間段的 F(t)函數(shù) ,進而求得相應的加速度函數(shù) ,運用積分方法求解題目所問 ,積分時應注意積分上下限的取值應與兩時間段相應的時刻相對應． 解 由題圖得 ? ? ??? ??? ??? 7st5s ,535 5st0 ,2 tttF 由牛頓定律可得兩時間段質(zhì)點的加速度分別為 5st0 ,2 ??? ta 。s ,將 I、 m 及 v1代入可得 112 sm40 ????? mmI vv 3 9 高空作業(yè)時系安全帶是非常必要的 ．假如一質(zhì)量為 kg 的人 ,在操作時不慎從高空豎直跌落下來 ,由于安全帶的保護 ,最終使他被懸掛起來．已知此時人離原處的距離為 m ,安全帶彈性緩沖作用時間為 s ．求安全帶對人的平均沖力． 分析 從人受力的情況來看 ,可分兩個階段：在開始下落的過程中 ,只受重力作用 ,人體可看成是作自由落體運動；在安全帶保護的緩