【正文】 即 x=c 是方程 的根。 ② 在 x=o 處不可導， ∴ 也不滿足第二個條件。 Ⅵ 會判斷曲線的凹凸性，會求曲線的凹凸區(qū)間和拐點。 （ 7）已知 相切，求 a，并寫出切線方程。 例三：已知產品的需求量 D=10002P，求產品的需求彈性，并計算 （ 1） P＝ 200 時的彈性和 P=200 時的收入，說明它的經(jīng)濟意義； （ 2） P＝ 250 時的彈性和 P=250 時的收入，說明它的經(jīng)濟意義； （ 3） P＝ 300 時的彈性和 P=300 時的收入，說明它的經(jīng)濟意 義。 同樣地，我們將 y 在 x 處的導數(shù) 乘以 X 的微分 dx 叫 函數(shù) y 在點 處的微分，記作： （ 2）近似計算公式 可以證明， y 的增加量 △y＝ yy0 與 y 在點 處的微分 ，當 △x→0 時，近似相等，即：｜ △x｜很小時， 或 ｜ △x｜很小時， 即： |△x |很小時， 我們用｜ △x｜＜＜ 1 很小時，表示 △X 很小 則有：｜ △x｜＜＜ 1 時， 或：｜ △x｜＜＜ 1 時， ∴ ｜ △x｜＜＜ 1 時， 特別情形： 時，有： ｜ △x｜＜＜ 1 時， 例一 證明：｜ x｜＜＜ 1 時， 證：令 ∴ ∴ |△x |＜＜ 1， 將 △x 用文字 X 替換得 ｜ x｜＜＜ 1 時， 例二 證明 |x|＜＜ 1 時， 當 |△x|＜＜ 1 時， ∴ |△x|＜＜ 1 時， 用 X 替代 △X 得： |x|＜＜ 1 時， 例三：證明： |x|＜＜ 1 時， 例四：證明 上面 的結果總結一下，在近似計算中可以作為公式使用。 今后，我們用 表示函數(shù) 表示 。 例三：已知 解：因為 是導數(shù) 在 x=1 處的值，所以，第一步先求導數(shù) 第二步，再求導數(shù) 在 x=1 處的值 =2+1=3 今后，若函數(shù) f(x)在點 的導數(shù)值 存在，就說函數(shù) f(x)在點 可導；反之，若函數(shù) f(x)在點 導數(shù)值 不存在，就說函數(shù) f(x)在點 不可導。典型例題。 則在 (a,b)內至少存在一點 a＜ c＜ b， 能使 f(c)=0 或者說在 (a,b)內至少存在一點 a＜ c＜ b，使 x=c是方程 f(x)=0 的根。 解：（ ⅰ ） f(x)是初等函數(shù)，它在（ ∞ ， 1），（ 1， 1），（ 1， +∞ ）上處處有意義。 如例一 ：討論數(shù)項級數(shù) 的斂散性． 參見教材 55 頁面 例二：討論數(shù)項級數(shù) 的斂散性 例三：討論等比級數(shù) 的斂散性 解：（ ⅰ ） 時， （ ⅱ ） 時 的在 0 與 1 間跳躍， ∴ 不存在。 定義二：當 n 無限變大時，如果數(shù)列 的第 n項 與一個常數(shù) a 無限接近，就說常數(shù) a是數(shù)列 的極限，并且說數(shù)列收斂，也可以說數(shù)列 收斂于常數(shù) a，記作： （當 n→∞ 時）或 如果不存在這樣的常數(shù) a，就說數(shù)列 發(fā)散。 由 y=x1 解得 x=y+1， 2≤y＜ 0,再將 x 與 y 對換得： y=f－ 1(x)=x+1,2≤x＜ 0 (2)1≤x＜ 3 時， 1≤y＜ 5 ； 例四 解： （三）同步練習題 同步練習題答案 （ 1） Df：（ 3， 0） u（ 0， 2） （ 3） Df： [1， 4] （ 4） Df： [1， 10] （ 5） f{f(x)}=x （ 6）偶函數(shù) （ 7）在［ 2， 3］上有界，在（ 1， 2）上無界 （ 8） T=4π （ 10） f1(x)=1+log2(x1)，即 y=1+log2(x1)。 解： ∵ u=2+sinx1 ∴ y=lnu=ln(2+sinx)無意義，說明它不是函數(shù)，當然不是復合函數(shù)。 （ 1）函數(shù)的增減性的概念 定義：如果函數(shù) f(x)的自變量在區(qū)間 I 內任意取兩值 x1x2 時，均有不等式f(x1)f(x2) 就說在區(qū)間 I 內函數(shù) f(x)是單調增加的，并 且說區(qū)間 I 是單調增加區(qū)間；若不等式為 f(x1)f(x2) 就說在區(qū)間 I內函數(shù)是單調減少的，并且說區(qū)間 I是單調減少區(qū)間。 當 x＞ 0 時，則有 。 了解原函數(shù)和不定積 分的定義 理解微分運算和不定積分運算互為逆運算 知道不定積分的基本性質 ，要求達到 簡單應用 層次 熟記基本積分公式并能熟練運用 ，要求達到 簡單應用 層次 能熟練地運用第一換元積分法（即湊微分法）求不定積分 掌握第二換元積分法，知道幾種常見的換元類型 會求比較簡單的有理函數(shù)的不定積分 ，要求達到 簡單應用 層次 掌握分部積分法，會求常見類型的不定 積分 ，要求達到 簡單應用 層次 知道微分方程的階、解、通解、初始條件、特解的含義 能識別可分離變量微分方程和一階線性微分議程，并會求這兩類議程的解。 理解微分作為函數(shù)增量的線性主部的含義 清楚函數(shù)的微分與導數(shù)的關系及函數(shù)可微與可導的關系。 難點：復合函數(shù)的求導法則，邊際函數(shù)和彈性函數(shù)。 清楚函 數(shù)在一個連續(xù)和單側連續(xù)的定義，并知道它們之間的關系 會判別分段函數(shù)在分段點處的連續(xù)性 知道函數(shù)在區(qū)間由連續(xù)的定義 知道連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運算和復合運算仍是連續(xù)函數(shù) 知道單調的連續(xù)函數(shù)的連續(xù)性 知道初等函數(shù)的連續(xù)性 ，要求達到 簡單應用 層次。 本章總的要求是：理解極限和無窮小量的概念以及它們之間的關系；掌握無窮小量的基本性質和極限的運算法則；清楚無窮大量的概念及其與無窮小量的關系；熟練掌握兩個重要極限；理解無窮小量的階的比較和高階無窮小量的概念；理解函數(shù)的連續(xù)性和間斷點；知道初等函數(shù)的連續(xù)性；清楚閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質。 清楚函數(shù)的復合運算的含義，會求比較簡單的復合函數(shù)的定義域。 清楚一元函數(shù)的定義，理解確定函數(shù)的兩個基本要素 ―― 定義域和對應法則（映射），知道什么是函數(shù)的值域。 清楚函數(shù)與其圖形之間的關系 對給定的解析式， 會求出由它所確定的函數(shù)的自然定義域。 會做多個函數(shù)按一定順序的復合，并會把一個函數(shù)分解成簡單函數(shù)的復合 ，要求達到 簡單應用 層次。 本章重點：極限和無窮小量的概念及其性質，極限的運 算法則，兩個重要極限，函數(shù)的連續(xù)性。 清楚函數(shù)在一點間斷的含義和產生間斷的幾種情況。 （三）考核要求 ，要求達 ?quot。 熟知基本初等函數(shù)的和、差、積、商及復合函數(shù)的微分法則 ，要求達到 簡單應用 層次 清楚邊際函數(shù)的概念及其實際意義 清楚彈性函數(shù)的概念 會求經(jīng)濟函數(shù)的彈性并說明其實際意義 第四章 微分中值定理和導數(shù)的應用 （一）考核的知識點 （二）自學要求 本章主要介紹微分學在研究函數(shù)性態(tài)和有關實際問題中的應用，這些應用的理論基礎是微分中值定理 本章總的要求是：能準確陳述微分中值定理；熟練掌握洛必達法則；會用導數(shù)的符號判定函數(shù)的單調性；理解函數(shù)的極值概念并掌握其求法；清楚函數(shù)的最值及其求法并能解決 簡單的應用問題；了解曲線的凹凸性和拐點的概念，會用函數(shù)的二階導數(shù)判定曲線的凹凸性和拐點的坐標；會求曲線的水平和鉛直漸近線。 ，要求到 領會 層次 理解定積分的概念，并了解其幾何意義 清楚定積分與不定積分的區(qū)別，知道定積分的值僅依賴于被積函數(shù)和積分區(qū)間，與積分變量所用的記號無關 知道定積分的基本性質 能正確敘述定積分的中值定理，了解其幾何意義 限積分和牛頓－布萊布尼茨公式，要求達到 綜合應用 層次 理解變上限積分是積分上限的函數(shù)并會求其導數(shù) 掌握牛頓－布萊布尼茨公式，并領會其理論意義 會用牛頓－布萊布尼茨公式求定積分的值 ，要求達到 簡單應用 層次 掌握定積分的第一、二換元積分法 清楚對稱區(qū)間上奇函數(shù)或偶函數(shù)的定積分的有關結果 掌握定積分的分部積分法 ，要求達到 領會 層次 清楚無窮限反常積分的定義及其斂 散性 在被積函數(shù)比較簡單的情況下會依據(jù)定義判別它是反常積分的斂散性，并在收斂時求出其值 ，要求達到 簡單應用 層次 會在直角坐標系中計算平面圖形有面積 會計算簡單平面圖形繞坐標軸旋轉所所旋轉體的體積 第六章 多元函數(shù)微積分 （一）考核的知識點 （二 ）自學要求 多元函數(shù)微積分是一元函數(shù)微積分的自然發(fā)展，它的許多重要概念和處理問題的思想、方法與一元函數(shù)微積分的情形十分相似，前者以后者為基礎；另一方面，隨著變量的增多，其內容也更加豐富，由于許多實際問題常常涉及多個變量，所以多元微積分的應用非常廣泛，本章以二元函數(shù)微積分為主。則它們是相同的。 典型題 ：求 f(x)=x2的單調區(qū)間 解： ① 在 ，則有 所以在 是減少的，且 的減區(qū)間。 例三 （下面十第三個） (2)基本初等函數(shù) 下面六種函數(shù)叫基本初等函數(shù) ① 常數(shù)函數(shù) 函數(shù) y=c(常數(shù) )叫常數(shù)函數(shù)，常數(shù)函數(shù) y=c 的圖形 (見下圖 )是過 y 軸上縱坐標為 c 的點的水平直線。 第二章 極限與連續(xù) 一、考核內容 。 定義三：當 n無限變大時，如果數(shù)列 的第 n項 的絕對值 無限變大，就說數(shù)列無限變大，記作： （當 n→∞ 時）或記作 由于這時數(shù)列 的極限不是常數(shù)，所以數(shù)列無限變大是發(fā)散的。 總結上面結果 有下面公式： 例四：求下列等比級數(shù)的和 根據(jù)等比級數(shù)求和公式有： 下面為第二節(jié) （三） 函數(shù)的極限 定義一：當 x與數(shù) a無限接近時，如果函數(shù) f（ x）的值與常數(shù) A 無限接近，就說 x與數(shù) a無限接近時， f（ x）的極限是常數(shù) A，記作： 典型例題：求下列函數(shù)的極限 定義二：若當 x＜ a且與數(shù) a無限接近時（記作 ），函數(shù) f（ x）與常數(shù) A無限接近，就說函數(shù) f（ x）的左極限是數(shù) A，記作： 若當 xa 且與數(shù) a無限接近時，（記作 ） ,函數(shù) f（ x）與常數(shù) A無限接近，就說函數(shù) f（ x）的右極限是數(shù) A，記作： 顯然，下面定理是成立的 定理 典型例題 定義三 （ 1）若 x0且 |x|無限變大時（記作 ） ,函數(shù) f（ x）與常數(shù) A 無限接近，就說 時，函數(shù) f（ x）的極限是常數(shù) A，記作： （ 2）若 x0 且 |x|無限變大時（記作 ），函數(shù) f（ x）與常數(shù) A無限接近，就說 時，函數(shù) f（ x）的極限是常數(shù) A，記作： （ 3）當 x的絕對值 |x|無限變大時（記作 ） ,函數(shù) f（ x）與常數(shù) A無限接近，就說 時， f（ x）的極限是常數(shù) A，記作： 顯然，下 面的結論是正確的 典型例題 例一：求下列極限 例二：求極限 （四） 極限的四則運算法則 關于極限的運算，我們不加證明地介紹下面的定理： 若在 x的同一變化過程中， ， ，則有下面結果： 典型例題 例一：求下列極限 下面的結果，學員可以當作公式加以應用 例三：直接利用上面的公式求極限 解： ①0 ； ②3 ； ③ 例四：求極限 下面為第三節(jié) （五）無窮大量，無窮小量 定義一：若變量 u的絕對值 |μ| 無限變大，就說變量 u