復(fù)變函數(shù)與積分變換洛朗級(jí)數(shù)-免費(fèi)閱讀
【正文】 ( ) l im ( ) .zzzzzzz f z f zz f z f zz f z f z????? ? ???如 果 為 的 可 去 奇 點(diǎn) 存 在 且 有 限如 果 為 的 極 點(diǎn)如 果 為 的 本 性 奇 點(diǎn) 不 存 在 且 不 為我們可以利用上述極限的不同情形來(lái)判別孤立奇點(diǎn)的類型 . 復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換 例如當(dāng) f(z)=z(z1)3時(shí) ,z=0與 z=1是它的一級(jí)與三級(jí)零點(diǎn) . 根據(jù)這個(gè)定義 , 我們可以得到以下結(jié)論 : 設(shè) f(z)在 z0解析 ,則 z0是 f(z)的 m級(jí)零點(diǎn)的充要條件是 : f (n)(z0)=0, (n=0,1,2,...,m1),f (m)(z0)?0 . 不恒等于零的解析函數(shù) f(z)如能表示成 其中 在 z0解析且 , m為某一正整數(shù) , 則 z0稱為f(z)的 m級(jí)零點(diǎn) . 0 mf z z z z???（ ） （ ） （ ）z?（ ） 0z? ?（ ） 0復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換例 1 函數(shù) 1 s i n z 有什么奇點(diǎn) ? 如果是極點(diǎn) , 指出它的級(jí) . 解 ： 函數(shù) 1 / s i n z 的奇點(diǎn)顯然是使 s i n z =0 的點(diǎn) . 故奇點(diǎn)是z = k ?? ( k =0 , ? 1, ? 2 ,…). 由于 ( s i n z )39。 2)在 1|z+i|+?中的洛朗展開(kāi)式。 ii) 1|z| 2。復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換洛朗級(jí)數(shù) 一個(gè)以 z0為中心的圓域內(nèi)解析的函數(shù) f (z), 可以在該圓域內(nèi)展開(kāi)成 zz0的冪級(jí)數(shù) . 如果 f (z)在 z0處不解析 , 則在 z0 的鄰域內(nèi)就不能用 zz0的冪級(jí)數(shù)來(lái)表示 . 但是這種情況在實(shí)際問(wèn)題中卻經(jīng)常遇到 . 因此 , 在本節(jié)中將討論在以 z0 為中心的圓環(huán)域內(nèi)的解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示法 . 討論下列形式的級(jí)數(shù) : 10 0 1 00 1 0 0( ) ( ) ( )( ) ( ) ,?????? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? nnnnnnnc z z c z z c z zc c z z c z z可將其分為兩部分考慮 : 復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換0 0 1 0 0010 1 0 01( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )???? ? ?? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ???正 冪 項(xiàng) 部 分負(fù) 冪 項(xiàng) 部 分nnnnnnnnnnc z z c c z z c z zc z z c z z c z z只有正冪項(xiàng)和負(fù)冪項(xiàng)都收斂時(shí) ,原級(jí)數(shù) 才 收斂于它們的和 . 正冪項(xiàng)是冪級(jí)數(shù) , 設(shè)其收斂半徑為 R2： 20 1 211( ) ,nnnnnnc z z c t c t c t?? ?? ? ? ???? ? ? ? ???這是 t 的冪級(jí)數(shù) , 設(shè)收斂半徑為 R： 02 .z z R??對(duì)負(fù)冪項(xiàng) , 如果令 t =(zz0)1, 可得： 011t R z z RR?? ? ? ? ?則當(dāng) |zz0|R1, 即 |t|R 時(shí) , 011()nnnnnnc t c z z?? ????????? 收 斂 。 iii) 2|z| +? 內(nèi)是處處解析的 , 可把 f(z)在這些區(qū)域內(nèi)展開(kāi)成洛朗級(jí)數(shù) . ? ? ? ? ? ?11 12? ??例 把 在 復(fù) 平 面 上 展 開(kāi) 為 的 冪 級(jí) 數(shù) 。 復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換特別的，當(dāng)洛朗級(jí)數(shù)的系數(shù)公式 101 ( ) d . ( 0 , 1 , 2 , )2 π ()n nCfiz
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