【正文】 萬有引力的簡單公式 2 21rmmGF ? 卻只能適應(yīng)于兩個質(zhì)點或均勻的球體。常量 K 僅由‘中心天體’的質(zhì)量決定而與‘環(huán)繞天體’的質(zhì)量無關(guān)。 67 1011Nm2/，適用于宇宙間的所有物體。 圖 43 第 6 頁 共 36 頁 例 3： 行星繞太陽運轉(zhuǎn)的軌道是橢圓，這些橢圓在一般情況下可以近似視為圓周軌道，試用萬有引力定律和向心力公式證明對所有繞太陽運轉(zhuǎn)的行星， 繞太陽公轉(zhuǎn)軌道半徑的立方與 運轉(zhuǎn) 周期的平方的比值為常量。這一結(jié)論適用于地球與月球系統(tǒng)，也適用于其它‘中心天體’與‘環(huán)繞天體’組成的天體系統(tǒng)。 地面上同一物體在地球上不同緯度處的的重力是不同的。 在任何星體表面上的物體所受的重力均是 mg=2 21rmmG，而物體在距星體表面高度為 h處的重力為 mg’=Gm1m2/(r+h)2 （ 3）地面物體隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力： 由于地球的自轉(zhuǎn)，處于地球上的物體均隨地球的自轉(zhuǎn)而繞地軸做勻速圓周運動，所需向心力由萬有引力提供，大小是 F 向 =mω 2r=mr4π 2/T2(ω是地球自轉(zhuǎn)角速度， r 是物體與地軸間的距離， T 是 地球的自轉(zhuǎn)周期 )，其方向是垂直并指向地軸。以上的分析對其它的自轉(zhuǎn)天體也是同樣適用的。 此物體在赤道所受到的彈簧秤拉力為 F 拉 =FF 向 =（ ） N =。但應(yīng)該切記兩點： ① 重力一般不等于 萬有引力，僅在地球的兩極時才可有大小相等、方向相同，但重力與萬有引力仍是不同的兩個概念。 【 總結(jié) 】當(dāng)赤道上的物體“飄”起來時 ,是一種物體、地球之間接觸與脫離的臨界狀態(tài)，地球?qū)ξ矬w的支持力為零，只有萬有引力完全提供向心力，只要正確運用牛頓第二定律和萬有引力定律列式求解即可。 m/(２Ｒ 火 )2 火g? = 24/ 火火 RGM 。對星球表面上空某處的重力加速度公式 ? ? ghR RhRGMg22 ?????? ?????，也可以這樣理解： g′和 第 9 頁 共 36 頁 必須區(qū)別天體系統(tǒng)中‘中心天體’與‘環(huán)繞天體’的不同 對于天體質(zhì)量的測量，常常是運用萬有引力定律并通過觀測天體的運行周期 T 和軌道半徑 r（必須明確天體的運行周期 T 和軌道半徑 r 是研究衛(wèi)星問題中的兩個關(guān)鍵物理量），把天體或衛(wèi)星的橢圓軌道運動近似視為勻速圓周運動，然后求解。此種方法只能用來測定‘中心天體’的質(zhì)量，而無法用來測定‘環(huán)繞天體’的質(zhì)量。解此題關(guān)鍵是要把式中各字母的含義弄清楚，要區(qū)分天體半徑和天體圓周運動的軌道半徑． 【 解析】 對 A 選項。在此選項中，月球繞地球運轉(zhuǎn)，月球是“環(huán)繞天體”，而地球是“中心天體”，且已知月球繞地球的運轉(zhuǎn)周期 T 和 月球與地球之間的距離 r，由萬有引力定律與勻速圓周運第 10 頁 共 36 頁 動的規(guī)律可得 rTmrGMm 222 4??，故有地球質(zhì)量為 M=2324GTr? ，顯然，式中的各量均為已知量，即地球質(zhì)量由此式可計算出來。顯然此式中的量均為已知?？梢赃\用虛擬物體法計算地球的質(zhì)量。 【 總結(jié) 】 對于天體的質(zhì)量是通過測量計算得到的，而不是通過稱量獲得。 必須區(qū)別衛(wèi)星的運行速度與發(fā)射速度的不同 對于人造地球衛(wèi)星，由 rvmrGMm 22 ?可得 v=rGM，這個速度指的是人造地球衛(wèi)星在軌道上穩(wěn)定運行的速度。其發(fā)射速度的具體數(shù)值由預(yù)定軌道的高度決定，在第一宇宙速度（ km/s）和第二宇宙速度（ 11. 2 km/s）之間取值。（衛(wèi)星掙脫太陽束縛的最小發(fā)射速度） 例 8： 1999 年 5 月 10 日，我國成功地發(fā)射了“一箭雙星”，將“風(fēng)云一號”氣象衛(wèi)星和“實驗五號”科學(xué)實驗衛(wèi)星送入離地面高 870km 的軌道。此題可有兩種不同的解法，一是，根據(jù)題中的三個特殊速度而作出判斷；二是根據(jù)題中給出的衛(wèi)星高度 h＝ 870km和其他的常量計算出此衛(wèi)星的實際運行速度，即可選出正確答案。故 A 選項錯誤。然而，由于又在“ D 選項中”有 v=，而同步衛(wèi)星的軌道高度是 36000km 而不是870km。 （方法二）計算選定法 由于地球的萬有引力提供了人造地球衛(wèi)星的向心力，故得)()(22 hRvmhRG Mm ???，則有 v=hRGM?，代入引力常量 G= 1011 Nm2/Kg2，地球質(zhì)量 M= 1024Kg，地球半徑 R=6400km和衛(wèi)星的軌道高度 h＝ 870km。如果要運用計算選定法，則需要進(jìn)行繁雜的數(shù)值計算，稍有不慎不僅會影響解題速度甚至還會導(dǎo)致錯誤 。對于地面物體，其重力由萬有引力產(chǎn)生，若忽略隨地球自轉(zhuǎn)的影響，則其重力等于萬有引力。因此“環(huán)繞天體”（衛(wèi)星）繞其 做勻速圓周運動的向心加速度 a 向 、運行速度 v、運行角速度 ω 、運行周期T 僅與距離 r 有關(guān)。其中的“ g“也是一個隨距離 r 而變化的變量，而不能認(rèn)為是一個恒量。 這一關(guān)系在解題中經(jīng)常用到。 【 解析】 人造地球衛(wèi)星在軌道上運行時，所需要的向心力等于地球的萬有引力，由Ｆ 引＝Ｆ 向 可得， ① GMm/r2 =m v2/r， 則 v = rGM 所以， 3/11221 ?? RRVV 。其原因仍是忘掉了式中“ g” 的不同。 ④ GMm/r2＝ ma 向， 則 a 向 ＝ GM/r2 故有， ?21aa 22212231?RR＝１／９。在解題時除了要明確這些公式的不同意義和不同條件之外，還必須依據(jù)題意有針對性的選取運用，同時還必須牢記 “黃金代換”關(guān)系式 GM＝ go R2o 的重要性。如果其轉(zhuǎn)向與地球自轉(zhuǎn)反向，則就不能稱之為“同步衛(wèi)星”了。 所謂極地軌道衛(wèi)星 ,是指衛(wèi)星的軌道平面始終與太陽保持相對固定的取向 .其軌道平面與地球赤道平面的夾角接近 90 度。 所謂一般軌道衛(wèi)星是指軌道平面不與某一經(jīng)線平面重合 (赤道平面除外 )的人造地球衛(wèi)星。 3 地球同步衛(wèi)星的運行軌道與位置高度等方面的特點。 對 C 項，相對地球表面靜止的衛(wèi)星就是 ”同步衛(wèi)星 ”,它必須處在赤道圈平面 ,且距離赤道地面有確定的高 度 ,高度 H=36000 千米 ,其運行速度必須是 V=第 15 頁 共 36 頁 期相同 .故 C 項正確。 其繞地球做勻速圓周運動所需的向心力完全由萬有引力提供 .即衛(wèi)mahRGMm ?? 2)(。 地球赤道上的物體 ,靜止在地球赤道的 ”地上 ”與地球相對靜止 ,隨地球的自轉(zhuǎn)繞地軸做勻速圓周運動 .地球赤道上的物體所受地球的萬有引力 ,其中的一個力提供隨地球自轉(zhuǎn)所做圓周運動的向心力 ,產(chǎn)生向心加速度 物a ，引力產(chǎn)生的另一效果分力為重力 ,有2RGMmmg=m物a (其中 R 為地球半徑 )。 【 審題 】 此題的求解關(guān)鍵在于明確地球同步衛(wèi)星與地球赤道上物體的不同特點及其各自遵守的規(guī)律 .必須明確一個在 “天上 ”,一個在 “地上 ”,其所受萬有引力產(chǎn)生的效果不同 ,必須依據(jù)萬有引力定律與勻速圓周運動的規(guī)律求解。 顯然，由以上解答可知，此三個比值均為RhR?，又由于地球同步距地面高度為 h=3。 例 12： 設(shè) 同步衛(wèi)星離地心距離為 r，運行速率為 v1，加速度為 al，地球赤道上的物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度為 a2，第一宇宙速度為 v2，地球半徑為 R，下列關(guān)系中正確 的有 ( )。 【 解析】 對選項 A，由于同步衛(wèi)星的 向心加速度與赤道地面上的物體向心加速度的第 17 頁 共 36 頁 產(chǎn)生原因不同，對同步衛(wèi)星是萬有引力提供了向心力， 則：2rGMm =m 1a , ① 對于赤道物體： 2RGMmN=m 2a ② (式中的 N 是地面對物體的支持力 ) 此處討論的就是地球的自轉(zhuǎn)，故，2RGMm≠ mg, 而是2RGMm= mg+m 向a .①②顯然正確，但無法用來求得21aa 的比值。其實，這是錯誤的， ―――這是一種典型的、常見的錯誤。 顯然，21aa = 22rR 是完全錯誤的，故 選項 B 錯誤。 對選項 D，因為第 一宇宙速度是衛(wèi)星的最小發(fā)射速度，也是衛(wèi)星的環(huán)繞速度，但不是“ 赤道地面上的物體”的自轉(zhuǎn)速度。 【 總結(jié) 】 求解此題的關(guān)鍵有三點： ①、在 求解“同步衛(wèi)星”與 “赤道地面上的物體”的向心加速度的比例關(guān)系時應(yīng)依據(jù)二者角速度相同的特點，運用公式 a= r2? 而不能運用公式 a=2rGM。但，當(dāng)衛(wèi)星在貼近所繞天體表面做近 ”地 ”飛行時 ,可以認(rèn)為衛(wèi)星的軌道半徑 r 近似等于該天體的自身半徑 R,即 R≈ r，這一點對估算天體的質(zhì)量和密度十分重要 . 例 13： 已知某行星繞太陽公轉(zhuǎn)的半徑為 r，公轉(zhuǎn)周期為 T 萬有引力常量為 G，則由此可以求出 ( ) A 此行星的質(zhì)量 B 太陽的質(zhì)量 C 此行星的密度 D 太 陽的密度 【 審題 】 此題要求解決的問題有兩個 ,求行星或太陽的質(zhì)量， 2 、求行星或太陽的密度 .求解行星或太陽的質(zhì)量而不能求出 “ 環(huán)繞天體 ” 的質(zhì)量 .在求解行星或太陽的密度時 ,第 19 頁 共 36 頁 必須綜合運用密度公式 ??VM和球體積公式 V=34π R3，以及萬有引力定律公式 GMm/r2 =m4π 2 r/T2，并明確給定的是行星的軌道半徑 r 還是太陽的自身半徑 R,然后依據(jù)已知條件求解 . 【 解析】 對 A 項 .因為此行星繞 太陽轉(zhuǎn)動，是一個 ”環(huán)繞天體 ”而不是 ”中心天體 ”，無法用題中所給條件求出他的質(zhì)量。故 B 選項正確 . 對 C 選項，由 A 選項的分析可知，不能求出此行星的質(zhì)量。即此處不能求出太陽的密度。 例 14： 假如一個作 勻速 圓周運動的人造地球衛(wèi)星的軌道半徑增大到原來的 2 倍，仍作 勻速圓周 運動，則 ： (A)根據(jù)公式 ，可知衛(wèi)星運動的線速度將增大到原來的 2 倍。 第 20 頁 共 36 頁 【 審題 】 解答這個問題不應(yīng)靠想象和猜測，而應(yīng)通過 合理的 推導(dǎo)才能正確地選出答案。 【 解析】 由于公式 中， G、 M、 m 都是 不變的量，因此推導(dǎo) F 和 r 的關(guān)系不易出錯。 “ 衛(wèi)星所需的向心力 ” 與 “ 地球提供的向心力 ” 應(yīng)當(dāng)是一致的。若軌道為橢圓時，則ｒ是指該天體運動在所在位置時的曲率半徑。不存在“環(huán)繞”與“被環(huán)繞”的關(guān)系，與地球“繞”太陽和月球“繞”地球的運轉(zhuǎn)情形截然不同。一般雙星系統(tǒng)與其他星體距離較遠(yuǎn)，除去雙星系統(tǒng)中兩個星體之間的相互作用的萬有引力外，雙星系統(tǒng)所受其他天體的因；引力均可忽略圖４－８ 第 22 頁 共 36 頁 不計。為了解釋 T 與 T0之間的差異，目前有一種流行的理論認(rèn)為，在宇宙中可能存在著一種用望遠(yuǎn)鏡觀測不到的“暗物質(zhì)”，作為一種簡化的模型，我們假定認(rèn)為在這兩個星體的邊線為直徑的球體內(nèi)部分布著這種暗物質(zhì)，若不再考慮其他暗物質(zhì)的影響，試根據(jù)這一模型理論和上述的觀測結(jié)果，確定該雙星系統(tǒng)中的這種暗物質(zhì)的密度。如圖４－８所示， 設(shè)考慮了暗物質(zhì)的作用之后，觀測到的每個星體的運行速率為 39。又因 T=Vr?2，在半徑 r 一定時， T與 v 成 反比。 又設(shè)所求暗物質(zhì) 的密度為ρ，則“暗物質(zhì)”質(zhì)量 M= ?? 3)2/(34 L = mN41? ，所以， 第 23 頁 共 36 頁 ρ = mLN 32 )1(3 ??。 9km/s． 要使人造地球衛(wèi)星最終進(jìn)入預(yù)定軌道而穩(wěn)定運行，要經(jīng)過火箭推動加速 —— 進(jìn)入停泊軌道（圓周運動） —— 再次點火變軌 —— 進(jìn)入轉(zhuǎn)移軌道（橢圓軌道）—— 開啟行星載動力 —— 進(jìn)入預(yù)定軌道 (圓周軌道 )等過程。 2km/s 時，衛(wèi)星則做橢圓運動逐漸遠(yuǎn)離地球，由于地球引力的作用，到達(dá)遠(yuǎn)地點 P 后，又會沿橢圓軌道面到近地點 Q，如圖 49 所示。軌道 2 相切于 P 點如圖４－１０所示，則當(dāng)衛(wèi)星分別在 3 軌道上正常運行時，以下說法正確的是（ ） 3 上的運行速率大于軌道 1 上的速率 3 上的角速度小于在軌道 3 上的角速度 1上經(jīng)過 Q點時的加速度大于它在軌道 2上經(jīng)過 Q 點時的加速度 2上經(jīng)過 P點時的加速度等于它在軌道3 上經(jīng)過 P 點時的加速度 【 審題 】 此題是一個“高起點、低落點”的題目 ,涉及到了人造地球衛(wèi)星的發(fā)射和運動中的線速度、角速度、向心加速度的基本知識 .這是一個把衛(wèi)星發(fā)射到預(yù)定軌道上去的情景模型 .求解此題需要運用牛頓定律、萬有引力定律和勻速圓周運動的規(guī)律 ,必須明確以下幾點 : ①只有在圓周軌上才會有萬有引力定律完全提供向心力 。 2km/s)；衛(wèi)星在軌道 2 上由 Q 點到 P 點的過程中做減速運動 ,則有 PV2 QV2 ；要衛(wèi)星由軌道進(jìn)入軌道3穩(wěn)定的運行 .則必須在軌道 2上的 P點啟動衛(wèi)星的發(fā)動機使之加速變軌至圓軌道 3上 ,則必有 PV3 PV2 .綜合以上分析可得此四個速度的大小關(guān)系是 QV2 QV1 PV3 PV2