20xx屆高三數(shù)學(xué)專題——立體幾何(二)線面平行與垂直-預(yù)覽頁
【正文】 Q？（Ⅲ）線段A1B上是否存在點(diǎn)Q，使AC1說明理由．第二篇：專題二：立體幾何線面垂直、面面垂直匯總專題二：立體幾何線面垂直、面面垂直一、知識點(diǎn)（1）線面垂直性質(zhì)定理（2）線面垂直判定定理（3）面面垂直性質(zhì)定理（2）面面垂直判定定理線面垂直的證明中的找線技巧通過計算，運(yùn)用勾股定理尋求線線垂直M為CC1 的中點(diǎn)，1．如圖1，在正方體ABCDAAC交BD于點(diǎn)O，求證：AO^1BC11D1中，1平面MBD．證明：連結(jié)MO，A1M，∵DB⊥A1A，DB⊥AC，A1AIAC=A，∴DB⊥平面A204。平面ABC，∴PA⊥BC．∵AD∩PA=A，∴BC⊥平面PAC．評注：已知條件是線面垂直和面面垂直，要證明兩條直線垂直，應(yīng)將兩條直線中的一條納入一個平面中，使另一條直線與該平面垂直，即從線面垂直得到線線垂直．在空間圖形中，高一級的垂直關(guān)系中蘊(yùn)含著低一級的垂直關(guān)系，通過本題可以看到，面面垂直222。190。190。174。190。平面CDF，∴CD^AB．又CD^BE，BEIAB=B，∴CD^平面ABE，CD^AH．∵AH^CD，AH^BE，CDIBE=E，∴ AH^平面BCD．評注：本題在運(yùn)用判定定理證明線面垂直時，將問題轉(zhuǎn)化為證明線線垂直；而證明線線垂直時，又轉(zhuǎn)化為證明線面垂直．如此反復(fù)，直到證得結(jié)論．5．如圖３，AB是圓Ｏ的直徑，Ｃ是圓周上一點(diǎn)，PA^平面ABC．若AE⊥PC，Ｅ為垂足，Ｆ是PB上任意一點(diǎn)，求證：平面AEF⊥平面PBC．證明：∵AB是圓Ｏ的直徑，∴AC^BC． ∵PA^平面ABC，BC204。ABC = 90176。②要證SC^平面ANM, 轉(zhuǎn)證, SC垂直于平面ANM內(nèi)的兩條相交直線, 即證SC^AM, SC^AN。平面MND，∴平面MND⊥平面PCD．【注】 證明面面垂直通常是先證明線面垂直，本題中要證MN⊥平面PCD較困難，轉(zhuǎn)化為證明AE⊥平面PCD就較簡單了．另外，在本題中，當(dāng)AB的長度變化時，可求異面直線PC與AD所成角的范圍．12CD ［例4］如圖9—42，正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F、M、N分別是A1BBC、C1DB1C1的中點(diǎn)．圖9—42 求證：平面MNF⊥平面ENF．【證明】∵M(jìn)、N、E是中點(diǎn)，∴EB1=B1N=NC1=C1M∴208。MNE=90176。取Rt△PAD斜邊PD的中點(diǎn)F，則AF⊥PD，∵AF 204。平面ABC，∴BC⊥PA，從而BC⊥平面PAC． ∵BC 204。a//c．：:若兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行,那么這兩條直線所成的銳角(或直角)6．異面直線定理：連結(jié)平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，ba1AA推理模式：A207。l222。,b162。a，aIa=A，a//a． aa13．線面平行的判定定理：如果平面外的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行．推理模式：l203。b,aIb=m222。(2)若AC⊥BD,E,F,G,H分別這四條邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn),試判斷四邊形EFGH的形狀。b，E206。b，P206。g，這與____矛 ∴BD、E,F,G,H分別是空間四邊形四條邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn)，（1）求證四邊形EFGH是2）若AC⊥BD時，求證：EFGH為矩形；（3）若BD=2，AC=6，求EG+HF；（4）若AC、BD成30186。C162。平面BCD, ∴AC過平面BCD外一點(diǎn)A與平面BCD內(nèi)一點(diǎn)C, 又∵BD204。a，∴ a 204。b，B206。g，c 204。EGF==o，GFD∴208。AMNH為平行四邊形 222。MN//PAD解(2): 連接AC并取其中點(diǎn)為O，連接OM、ON，則OM平行且等于BC的一半，ON平行且等于PA的一半，所以208。MT=NH從而有MNHT為平行四邊形222。AE^PB于E，AF^PC于F PF求證：（1）BC^平面PAB；（2）AE^平面PBC；（3）PC^平面AEF．BAEC如圖，棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，（1）求證：AC⊥平面B1D1DB。SAC=208。a,aIb=p,a//b,b//b,則a//，,n204。b,l^a,則l^：V柱體=Sh(S為底面積,h為柱體高)V錐體=V臺體V球體1Sh(S為底面積,h為柱體高)31=(S39。ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥=，求證：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ。AB=AC=AA1=1，延長A1C1至點(diǎn)P，使C1P＝A1C1，連接AP交棱CC1于D．求證：PB1∥平面BDA1；本小題主要考查直三棱柱的性質(zhì)、線面關(guān)系、二面角等基本知識，并考查空間想象能力和邏輯推理能力，考查應(yīng)用向量知識解決問題的能力．解：連結(jié)AB1與BA1交于點(diǎn)O，連結(jié)OD，∵C1D∥平面AA1，A1C1∥AP，∴AD=PD，又AO=B1O，∴OD∥PB1，又OD204。求四棱錐P－ABCD的體積DC分析：本小題主要考查直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系，幾何體的體積等基礎(chǔ)知識；考查空間想象能力，推理論證能力，運(yùn)算求解能力；考查數(shù)形結(jié)合思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想，滿分12分（I）證明：因為PA^平面ABCD，CE204。=1,又因為AB=CE=1,AB//CE，所以四邊形ABCE為矩形，所以S四邊形ABCD=S矩形ADCE+SDECD=ABAE+又PA^平面ABCD，PA=1，所以V四邊形PABCD=P115CEDE=1180。180。面PCD\直線EF//平面PCD（2）連接BDQAB=AD,208。BAD=60176。在DABD中，由余弦定理得BD2=AD2+AB22ADABcos60176。BAD=60176。GDB，又208。,故208。+30176。平面A1BD，CC1204。AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC=90，（1）證明：平面ＡＤＢ⊥平面ＢＤＣ；（2）設(shè)BD=1，求三棱錐D—ＡＢＣ的表面積。1=,SPABC=sin60176。若AD=2，AB=2BC，求四面體ABCD的體積；解：如答（19）圖1，設(shè)F為AC的中點(diǎn)，由于AD=CD，所以DF⊥⊥平面ACD，知DF⊥平面ABC，即DF是四面體ABCD的面ABC上的高，且DF=ADsin30176。中，平面平面，,.求四面體解法一：如答（20）圖1，過D作DF⊥AC垂足為F，故由平面ABC⊥平面ACD，知DF⊥平面ABC，即DF是四面體ABCD的面ABC上的高，設(shè)G為邊CD的中點(diǎn)，則由AC=AD，知AG⊥CD，從而AG===2ACB11AGCD由ACDF=CDAG得DF==22AC由RtDABC中,AB==SDABC=1ABBC= 2故四面體ABCD的體積V=1SDABCDF=385
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