內(nèi)蒙古赤峰市寧城縣20xx年高考數(shù)學(xué)一模試卷（文科） word版含解析-預(yù)覽頁
【正文】 D 都在橢 圓 E 上，如圖所示．判斷四邊形 ABCD 能否為菱形，并說明理由． 【考點】 直線與橢圓的位置關(guān)系． 【分析】 （ Ⅰ ）由橢圓離心率為 ，在橢圓 E 上有一動點 A 與 F F2的距離之和為 4，列出方程組，求出 a=2， b= ，由此能求出橢圓 E 的方程． （ Ⅱ ）由 F1（﹣ 1， 0），令直線 AB的方程為 x=my﹣ 1，聯(lián)立方程組 ，得（ 3m2+4） y2﹣ 6my﹣ 9=0，由此利用韋達(dá)定理、直線垂直的性質(zhì)，結(jié)合已知條件能求出四邊形 ABCD 不能是菱形． 【解答】 解：（ Ⅰ ） ∵ 橢圓 E 的中心在原點，焦點 F F2在 x 軸上，離心率為 ， 在橢圓 E 上有一動點 A 與 F F2的距離之和為 4， ∴ 由條件得 a=2c， 2a=4，解得 a=2， b= ， ∴ 橢圓 E 的方程是 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ （ Ⅱ ） ∵ F1（﹣ 1， 0），如圖，直線 AB 不能平行于 x 軸， ∴ 令直線 AB 的方程為 x=my﹣ 1， A（ x1， y1）， B（ x2， y2）， 聯(lián)立方程組 ，得（ 3m2+4） y2﹣ 6my﹣ 9=0， … （ 6 分） ∴ ， ． … （ 7 分） 若四邊形 ABCD 是菱形，則 OA⊥ OB，即 ， 于是有 x1?x2+y1?y2=0， … （ 9 分） 又 x1?x2=（ my1﹣ 1）（ my2﹣ 1） =m2y1?y2﹣ m（ y1+y2） +1， 所以有（ m2+1） y1y2﹣ m（ y1+y2） +1=0， 得到 =0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（ 11 分） 這個方程沒有實數(shù)解，故四邊形 ABCD 不能是菱形． … （ 12 分） 【點評】 本題考查橢圓方程的求法，考查四邊形形是否為菱形的判斷與求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意韋達(dá)定理、橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用． 21．（ 12 分）（ 2017?寧城縣一模）已知函數(shù) f（ x） =ax+xlnx 的圖象在點 x=e（ e為自然對數(shù)的底數(shù)）處的切線斜率為 3． （ 1）求實數(shù) a 的值； （ 2）當(dāng) x＞ 1 時，求證 f（ x） ＞ 3（ x﹣ 1）． 【考點】 利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程． 【分析】 （ 1）求出 f（ x）的導(dǎo)數(shù)，由題意可得切線的斜率，解 a 的方程可得 a的值； （ 2）求出 f（ x）的解析式，令 g（ x） = = ，求得導(dǎo)數(shù)，令 h（ x） =x﹣ lnx﹣ 2（ x＞ 1），求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，運(yùn)用零點存在定理可得 h（ x）零點的范圍，進(jìn)而得到 g（ x）的單調(diào)性，即有 g（ x）的最小值，即可得證． 【解答】 解：（ 1）因為 f（ x） =ax+xlnx，所以 f′（ x） =a+lnx+1． 因為函數(shù) f（ x） =ax+xlnx 的圖象在點 x=e 處的切線斜率為 3， 所以 f′（ e） =3，即 a+lne+1=3．所以 a=1． … （ 2）證明：由（ 1）知， f（ x） =x+xlnx， 令 g（ x） = = ， 則 g′（ x） = ，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 令 h（ x） =x﹣ lnx﹣ 2（ x＞ 1）， 則 h′（ x） =1﹣ = ＞ 0， 所以函數(shù) h（ x）在（ 1， +∞ ）上單調(diào)遞增． … （ 7 分） 因為 h（ 3） =1﹣ ln3＜ 0， h（ 4） =2﹣ 2ln2＞ 0， 所以方程 h（ x） =0 在（ 1， +∞ ）上存在唯一實根 x0，且滿足 x0∈ （ 3， 4）． 當(dāng) 1＜ x＜ x0， h（ x） ＜ 0，即 g′（ x） ＜ 0， 當(dāng) x＞ x0時， h（ x） ＞ 0，即 g′（ x） ＞ 0， … （ 9 分） 所以函數(shù) g（ x） = 在（ 1， x0）上單調(diào)遞減，在（ x0， +∞ ）上單調(diào)遞增． 所以 [g（ x） ]min=g（ x0） = = =x0． 因為 x0＞ 3，所以 x＞ 1 時，令 ＞ 3，即 f（ x） ＞ 3（ x﹣ 1） … （ 12 分） 【點評】 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率，注意運(yùn)用方程思想，考查不等式的證明，注意運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)法，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性以及函數(shù)零點存在定理的運(yùn)用，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題． 選做題請考生在 22， 23 三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的 第一題記分 .作答時用 2B 鉛筆在答題卡把所選題目的題號涂黑 .[選修 44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 ] 22．（ 10 分）（ 2017?寧城縣一模）已知曲線 C1的參數(shù)方程為： （ θ為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點， x 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線 C2 的極坐標(biāo)方程為： ρ=4sin（ θ+ ），直線 l 的極坐標(biāo)方程為 θ= ． （ 1）求曲線 C1的普通方程與曲線 C2的直角坐標(biāo)方程； （ 2）若曲線 C1和曲線 C2與直線 l 分別交于非坐標(biāo)原點的 A， B 兩點，求 |AB|的值． 【考點】 參數(shù)方程化成普通方程；簡單曲線的極坐標(biāo)方程． 【分析】 （ 1）利用 三種方程的轉(zhuǎn)化方法，求曲線 C1 的普通方程與曲線 C2 的直角坐標(biāo)方程； （ 2）利用極徑的意義，求 |AB|的值． 【解答】 解：（ 1）曲線 C1的參數(shù)方程為： （ θ 為參數(shù)）， 普通方程為 x2+（ y﹣ 1） 2=1， 曲線 C2的極坐標(biāo)方程為： ρ=4sin（ θ+ ），即 ρ=2sinθ+2 cosθ， 直角坐標(biāo)方程為 x2+y2=2y+2 x； （ 2）曲線 C1的極坐標(biāo)方程為： ρ=2sinθ 將 θ= 代入 C1的極坐標(biāo)方程得 ρ1=2， 將 θ= 代入 C2的極坐標(biāo)方程得 ρ2=4， ∴ |AB|=ρ2﹣ ρ1=3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（ 10 分） 【點評】 本題考查三種方程的轉(zhuǎn)化方法，考查極徑的意義，屬于中檔題． [選修 45：不等式選講 ] 23．（ 2017?寧城縣一模）已知實數(shù) a， b， c 均大于 0． （ 1）求證： + + ≤ a+b+c； （ 2）若 a+b+c=1，求證： ≤ 1． 【考點】 不等式的證明． 【分析】 直接利用基本不等式，即可證明． 【解答】 證明：（ 1） ∵ 實數(shù) a， b， c 均大于 0， ∴ a+b≥ 2 ， b+c≥ 2 ， c+a≥ 2 ， 三式相加，可得： + + ≤ a+b+c； （ 2） ∵ a+b≥ 2 ， b+c≥ 2 ， c+a≥ 2 ， ∴ ≤ + + ≤ a+b+c=1． 【點評】 本題考查不等式的證明，考查基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．
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