20xx-20xx學(xué)年湖北省荊州中學(xué)、宜昌一中、龍泉中學(xué)三校高三聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題（解析版）-預(yù)覽頁
【正文】 】（1）設(shè)點，由兩邊同時對求導(dǎo)，則拋物線在點處的切線方程為，又該切線方程經(jīng)過點，則，同理有，故均在直線上，又，則直線的方程為，整理得，恒過定點．（2）由題聯(lián)立方程得，點到直線：的距離為，則的面積，當(dāng)時，即時，的面積最小值為．【點睛】本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，綜合性強(qiáng)，是高考的重點．本題具體涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關(guān)知識，解題時要注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．21．已知．（1）若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）證明：當(dāng)時，．【答案】(1)(2)證明見解析【解析】（1）求導(dǎo)，討論與1的大小確定的正負(fù)，進(jìn)而確定的最值即可證明（2）由（1）取，得，要證，只需證，構(gòu)造函數(shù)，證明即可證明【詳解】（1）法一：由題意，①若，即時，則在單調(diào)遞增，則，則在單調(diào)遞增，故，滿足題意；②若，即時，存在，使得，且當(dāng)時，則在上單調(diào)遞減，則，則在單調(diào)遞減，此時，舍去；③若，即時，則在上單調(diào)遞減，則，則在單調(diào)遞減，舍去；故．法二：由題知，且，要使得在上恒成立，則必須滿足，即，．①若時，則在單調(diào)遞增，則，則在單調(diào)遞增，故，滿足題意；②若時，存在時，則在上單調(diào)遞減，則，則在單調(diào)遞減，此時，舍去；故．（2）證明：由（1）知，當(dāng)時，．取，則由（1），則，故，要證，只需證．令，則，當(dāng)時，則在上單調(diào)遞增，有，故在單調(diào)遞增，故，故，即有，得證【點睛】本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查構(gòu)造函數(shù)及變形轉(zhuǎn)化能力，是中檔題22．在極坐標(biāo)系下，方程的圖形為如圖所示的“幸運(yùn)四葉草”，又稱為玫瑰線．（1）當(dāng)玫瑰線的時，求以極點為圓心的單位圓與玫瑰線的交點的極坐標(biāo)；（2）求曲線上的點M與玫瑰線上的點N距離的最小值及取得最小值時的點M、N的極坐標(biāo)（不必寫詳細(xì)解題過程）．【答案】（1）和；（2）最小值為，M，N的極坐標(biāo)分別為，【解析】（1）把與聯(lián)立，解方程組即得以極點為圓心的單位圓與玫瑰線的交點的極坐標(biāo)；（2）曲線的直角坐標(biāo)方程為再利用數(shù)形結(jié)合求出點M、N的極坐標(biāo).【詳解】（1）以極點為圓心的單位圓為與聯(lián)立，得，所以，因為，所以或，從而得到以極點為圓心的單位圓與玫瑰線的交點的極坐標(biāo)為和．（2）曲線的直角坐標(biāo)方程為．玫瑰線極徑的最大值為2，且在點取得，連接O，與垂直且交于點，所以點M與點N的距離的最小值為，此時對應(yīng)的點M，N的極坐標(biāo)分別為，．【點睛】本題主要考查曲線交點的極坐標(biāo)，考查極坐標(biāo)下曲線中的最值問題，．已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時，解關(guān)于的不等式；（2）若對任意，都存在，使得不等式成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）當(dāng)時，則當(dāng)時，由得，解得；當(dāng)時，恒成立；當(dāng)時，由得，解得．所以的解集為．（2）因為對任意，都存在，使得不等式成立，所以．因為，所以，且，①當(dāng)時，①式等號成立，即．又因為，②當(dāng)時，②式等號成立，即．所以，整理得，解得或，故的取值范圍為．
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