專題20不等式選講-20xx年高考數(shù)學(xué)（理）備考易錯(cuò)點(diǎn)專項(xiàng)復(fù)習(xí)-預(yù)覽頁(yè)
【正文】 )－ (2x－ y)| ≤2| x＋ y|＋ |2x－ y|， 由題設(shè)知 |x＋ y|13， |2x－ y|16， 從而 3|y|23＋ 16＝ 56，所以 |y|518. 【變式探究】 (1)若 a， b∈R ，求證： |a＋ b|1＋ |a＋ b|≤ |a|1＋ |a|＋ |b|1＋ |b|. (2)已知 a， b， c均為正數(shù)， a＋ b＝ 1，求證： a2b＋b2c＋c2a≥1. 證明 (1)當(dāng) |a＋ b|＝ 0時(shí)，不等式顯然成立． 當(dāng) |a＋ b|≠0 時(shí)，由 0|a＋ b|≤| a|＋ |b|? 1|a＋ b|≥ 1|a|＋ |b|，所以 |a＋ b|1＋ |a＋ b|＝ 11|a＋ b|＋ 1≤ 11＋ 1|a|＋ |b|＝ |a|＋ |b|1＋ |a|＋ |b|≤ |a|1＋ |a|＋ |b|1＋ |b|. (2)因?yàn)?a2b＋ b≥2 a，b2c＋ c≥2 b，c2a＋ a≥2 c， 故 a2b＋b2c＋c2a＋ (a＋ b＋ c)≥2( a＋ b＋ c)， 即 a2b＋b2c＋c2a≥ a＋ b＋ c， 所以 a2b＋b2c＋c2a≥1. 【名師點(diǎn)睛】 (1)作差法應(yīng)該是證明不等式的常用方法．作差法證明不等式的一般步驟： ① 作差； ② 分解因式； ③ 與 0比較； ④ 結(jié)論．關(guān)鍵是代數(shù)式的變形能力． (2)在不等式的證明中，適當(dāng) “ 放 ”“ 縮 ” 是常用的推證技巧． 【錦囊妙計(jì)，戰(zhàn)勝自我】 1．含有絕對(duì)值的不等式的性質(zhì) |a|－ |b|≤| a177。 1． (2021 全國(guó)卷 Ⅲ) 已知函數(shù) f(x)＝ |x＋ 1|－ |x－ 2|. (1)求不等式 f(x)≥1 的解集； (2)若不等式 f(x)≥ x2－ x＋ m的解集非空，求 m的取值范圍． 解析： (1)f(x)＝????? － 3， x＜－ 1，2x－ 1， － 1≤ x≤2 ，3， x＞ 2. 當(dāng) x＜－ 1時(shí)， f(x)≥1 無(wú)解； 當(dāng)－ 1≤ x≤2 時(shí)，由 f(x)≥1 ，得 2x－ 1≥1 ，解得 1≤ x≤2 ； 當(dāng) x＞ 2時(shí)，由 f(x)≥1 ，解得 x＞ 2. 所以 f(x)≥1 的解集為 {x|x≥1} ． (2)由 f(x)≥ x2－ x＋ m，得 m≤| x＋ 1|－ |x－ 2|－ x2＋ x. 而 |x＋ 1|－ |x－ 2|－ x2＋ x≤| x|＋ 1＋ |x|－ 2－ x2＋ |x| ＝－ ??? ???|x|－ 32 2＋ 54≤ 54， 且當(dāng) x＝ 32時(shí)， |x＋ 1|－ |x－ 2|－ x2＋ x＝ 54， 故 m的 取值范圍為 ??? ???－ ∞ ， 54 . 4． (2021
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