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【正文】 OB→， OO 1→， OA→為 x ， y ， z 軸的正方向建立空間直角坐標系，則 B ( 1 ， 0 ， 0 ) ， D ( － 1 ， 1 ， 0 ) ， A 1 ( 0 ， 2 ， 3 ) ， A ( 0 ， 0 ， 3 ) ， B 1 ( 1 ， 2 ， 0 ) .2 分 設平面 A 1 AD 的法向量為 n ＝ ( x ， y ， z ) ， AD→＝ ( － 1 ， 1 ，－ 3 ) ， AA 1→＝ ( 0 ， 2 ， 0 ) ． 因為 n ⊥ AD→， n ⊥ AA1→， 得?????n BA1→＝－ 1 ＋ 4 － 3 ＝ 0 ， 【 題后反思 】 幾何法求二面角，往往需要作出其平面角，這是該方法的一大難點．而用向量法求解二面角，無需作出二面角的平面角，只需求出平面的法向量，轉化為兩直線 (或兩向量 )所成的角，通過向量的數(shù)量積運算即可獲解，體現(xiàn)了空間向量的巨大優(yōu)越性． 所以 AB1→⊥ BD→， AB1→⊥ BA1→，所以 AB1⊥ 平面 A1BD ， 所以 AB1→是平面 A1BD 的一個法向量， 8 分 所以 c os 〈 n ， AB1→〉＝n AP→＝ 0 ，m CB→＝ 0 ，n n|m || n |＝33. ∴ 二面角 A PB C 的余弦值為33. 空間向量的具體應用主要體現(xiàn)為兩種方法 —— 向量法和坐標法．這兩種方法的思想都是利用空間向量表示立體圖形中的點、線、面等元素，建立立體圖形和空間向量之間的聯(lián)系，然后進行空間向量的運算，最后把運算結果回歸到幾何結論．這樣就把立體幾何問題轉化為空間向量來研究，體現(xiàn)了化歸與轉化思想． 方法技巧 化歸與轉化思想解決立體幾何問題 (1)證明：直線 MN∥ 平面 OCD； (2)求異面直線 AB與 MD所成角的大?。? [思路分析 ]建系 → 求相關點坐標 → 求相關向量坐標 → 向量運算 → 結論． 解 作 AP⊥ CD于點 P，分別以 AB， AP， AO所在的直線為 x， y， z軸建立空間直角坐標系 A－ xyz，如圖所示， 【 示 例 】 如圖，在四棱錐 O － ABCD 中，底面ABCD 是邊長為 1 的菱形， ∠ ABC ＝π4，OA ⊥ 底面 ABCD ， OA ＝ 2 ， M 為 OA 的中點， N 為 BC 的中點 ． 則 A ( 0 ， 0 ， 0 ) ， B ( 1 ， 0 ， 0 ) ， P ( 0 ，22， 0 ) ， D ( －22，22， 0 ) ， O ( 0 ， 0 ， 2 ) ， M ( 0 ， 0 ， 1 ) ， N ( 1 －24，24， 0 ) ． ( 1 ) 證明 MN→＝ ( 1 －24，24，－ 1 ) ， OP→＝ ( 0 ，22，－ 2 ) ， OD→＝ ( －22，22，－ 2 ) ． 設平面 O C D 的法向量為 n ＝ ( x ， y ， z ) ， 由 n MD→| AB→|| MD→|＝－222＝－12. ∴ AB→與 MD→所成的角為2 π3. 故異面直線 AB 與 CD 所成的角 θ ＝ π －2 π3＝π3. 方法點評 本題較好地體現(xiàn)了轉化思想：空間線面的位置關系―― →轉化直線的方向向量、平面的法向量之間垂直或共線 ―― →轉化空間向量運算 ―― →轉化空間線面位置關系；空間角 ―― →轉化向量的夾角 ―― →轉化空間向量的運算 ―― →轉化空間角 ． 單擊此處進入 活頁規(guī)范訓練
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