【正文】 型的概念 在許多實(shí)際問(wèn)題中 ， 我們所研究的因變量的變動(dòng)可能不僅與一個(gè)解釋變量有關(guān) 。 tktkttt XXXY uβ...βββ 22110 ??????2 例 1： 其中 ， Y=在食品上的總支出 X=個(gè)人可支配收入 P=食品價(jià)格指數(shù) 用美國(guó) 19591983年的數(shù)據(jù) ， 得到如下回歸結(jié)果 （ 括號(hào)中數(shù)字為標(biāo)準(zhǔn)誤差 ） ： Y和 X的計(jì)量單位為 10億美元 (按 1972不變價(jià)格計(jì)算 ). uβββ 210 ???? PXY )()()( 2 ???? RPXY），（數(shù)總消費(fèi)支出價(jià)格平減指 食品價(jià)格平減指數(shù) 100197 2100 ???P3 多元線性回歸模型中斜率系數(shù)的含義 上例中斜率系數(shù)的含義說(shuō)明如下： 價(jià)格不變的情況下 ， 個(gè)人可支配收入每上升 10億美元 （ 1個(gè) billion） ， 食品消費(fèi)支出增加 元 （ billion） 。 （ 間接影響：收入影響流動(dòng)資產(chǎn)擁有量 ?影響消費(fèi)額 ） 但在模型中這種間接影響應(yīng)歸因于流動(dòng)資產(chǎn) ， 而不是收入， 因而 ， β 2只包括收入的直接影響 。理論推導(dǎo)需借助矩陣代數(shù) 。 （ 6） 各解釋變量之間不存在嚴(yán)格的線性關(guān)系 。 殘差為： k??? ?,....,?,? 10 KtKtttttXXYYYeβ?....β???110 ???????? tktkttt XXXY uβ...βββ 22110 ??????12 要使殘差平方和 為最小 ， 則應(yīng)有： 我們得到如下 K+1個(gè)方程 （ 即正規(guī)方程 ） ： ? ? 21102 β?...β??? ? ?????? KtKttt XXYeS ? 0?...,0?,0?10?????????KSSS???13 按矩陣形式，上述方程組可表示為： ???????????????????????????????????????????????tktKtKtktktttKttKtttttKttKtttKtKtYXXXXXYXXXXXXYXXXXXYXXn211022121201121110110β..... .ββ..... ...... ...... ...... .β..... .βββ..... .βββ..... .ββ14 = )39。( ????????????????????????2112111.....................KttKtKtKttttKttXXXXXXXXXXn?????????????????Kβ...ββ10????????????????????????nKnKKnYYYXXXXXX.....................1...1121211121115 上述結(jié)果 ， 亦可從矩陣表示的模型 出發(fā) ， 完全用矩陣代數(shù)推導(dǎo)出來(lái) 。 4． 高斯 馬爾科夫定理 對(duì)于 以及標(biāo)準(zhǔn)假設(shè)條件 （ 1） （ 4） ， 普通最小二乘估計(jì)量是最佳線性無(wú)偏估計(jì)量 （ BLUE） )1(?22??? ?Kne t?kβ,...β,β 10 uβ ?? XY25 我們已在上一段中證明了無(wú)偏性 ， 下面證明線性和最小方差性 。 ???? YXXX ??? ?? 1)(βY Yk??? XXXk ??? ? 1)(??26 現(xiàn)設(shè) 為 的任意一個(gè)線性無(wú)偏估計(jì)量 ， 即 其中 是一個(gè) (K+1)*n非隨機(jī)元素矩陣 。 這就證明了 OLS估計(jì)量 是 的所有線性無(wú)偏估計(jì)量中方差最小的 。 由此可以推論 ， 決定系數(shù)是一個(gè)與解釋變量的個(gè)數(shù)有關(guān)的量： 解釋變量個(gè)數(shù)增加 ? 減小 ? R2 增大 也就是說(shuō) ， 人們總是可以通過(guò)增加模型中解釋變量的方法來(lái)增大 R2 的值 。即 （ 3）當(dāng) K增大時(shí)，二者的差異也隨之增大。 解： 下面改變 n的值 ， 看一看 的值如何變化 。 但在實(shí)際問(wèn)題中 ， 變量間的關(guān)系并非總是線性關(guān)系 ， 經(jīng)濟(jì)變量間的非線性關(guān)系比比皆是 。 ?? LAKQ ?43 一 . 線性模型的含義 線性模型的基本形式是 : 其特點(diǎn)是可以寫成每一個(gè)解釋變量和一個(gè)系數(shù)相乘的形式。例如 ， 對(duì)于 此方程的變量和參數(shù)都是線性的 。 例如 ， 需求函數(shù) 其中 ， Y=對(duì)某商品的需求 X=收入 P=相對(duì)價(jià)格指數(shù) ν =擾動(dòng)項(xiàng) 可轉(zhuǎn)換為： ?? ?? PXY ? ???? logloglogloglog ???? PXY46 用 X,Y,P的數(shù)據(jù) ， 我們可得到 logY,logX和 logP,從而可以用 OLS法估計(jì)上式 。 YXXY ?????47 三 ． 例子 例 1 需求函數(shù) 本章 167。 著名的柯布 道格拉斯生產(chǎn)函數(shù) （ CD函數(shù) ） 為 用柯布和道格拉斯最初使用的數(shù)據(jù) （ 美國(guó) 18991922年制造業(yè)數(shù)據(jù) ） 估計(jì)經(jīng)過(guò)線性變換的模型 得到如下結(jié)果 （ 括號(hào)內(nèi)數(shù)字為標(biāo)準(zhǔn)誤差 ） ： 從上述結(jié)果可以看出 ， 產(chǎn)出的資本彈性是 ， 產(chǎn)出的勞動(dòng)彈性為 。 根據(jù)理論假設(shè) ， 在某一利率水平上 ， 貨幣需求量在理論上是無(wú)窮大 。 也就是說(shuō) ， 此模型無(wú)法線性化 。該方法的原則仍然是殘差平方和最小 。 4．對(duì)一個(gè)或多個(gè)參數(shù)的估計(jì)值作微小變動(dòng)； 5．計(jì)算新的 Y預(yù)測(cè)值 、殘差平方和 ∑e2； 6．若新的 ∑e2小于老的 ∑e2，說(shuō)明新參數(shù)估計(jì)值優(yōu)于老估 計(jì)值，則以它們作為新起點(diǎn)； 7．重復(fù)步驟 4， 5， 6，直至無(wú)法減小 ∑e2為止。 而 )?(?)?(?jjjj????VarSet ??)?( j?Var 21 ?)( ??? XX 1?1?22????????? ? kn XYYYkn e t ??56 例：柯布 道格拉斯生產(chǎn)函數(shù) 用柯布和道格拉斯最初使用的數(shù)據(jù)（美國(guó) 18991922年制造業(yè)數(shù)據(jù)）估計(jì)經(jīng)過(guò)線性變換的模型 得到如下結(jié)果 （括號(hào)內(nèi)數(shù)字為標(biāo)準(zhǔn)誤差） ： )()()( 2 ????? RLKY請(qǐng)檢驗(yàn)“斜率”系數(shù) ?和 ?的顯著性。 結(jié)論： ?顯著異于 0。 若 H0為真 ， 則正確的模型是： 據(jù)此進(jìn)行回歸 （ 有約束回歸 ） ， 得到殘差平方和 SR是 H0為真時(shí)的殘差平方和 。 使用 的作用是消除具體問(wèn)題中度量單位 的影響 ， 使計(jì)算出的 F 值是一個(gè)與度量單位無(wú)關(guān)的量 。 若拒絕原假設(shè) ， 則表明所選擇模型對(duì)因變量的行為能夠提供某種程度的解釋 。 70 第六節(jié) 預(yù)測(cè) 我們用 OLS法對(duì)多元回歸模型的參數(shù)進(jìn)行了估計(jì)之后 ， 如果結(jié)果理想 ， 則可用估計(jì)好的模型進(jìn)行預(yù)測(cè) 。 )...1( 02023 kXXXC ?? ????? ??...????020230100??????? CXXXYkk0Y 00020230100 ... uCuXXXY kk ????????? ?????71 預(yù)測(cè)誤差可定義為： 兩邊取期望值 ， 得 因此 ， OLS預(yù)測(cè)量 是一個(gè)無(wú)偏預(yù)測(cè)量 。 在經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中 ， 許多變動(dòng)是不能定量的 。 虛擬變量使得我們可以將那些無(wú)法定量化的變量引入回歸模型中 。 例 3：你在研究通貨膨脹的決定因素 ， 在你的觀測(cè)期中 ， 有 些年份政府實(shí)行了一項(xiàng)收入政策 。 77 二 ． 虛擬變量的使用方法 1． 截距變動(dòng) 設(shè) Y表示消費(fèi) ， X表示收入 ， 我們有： }假定 β 不變 。 ? ? uXYuXY???????12010?????平時(shí)：戰(zhàn)時(shí)： Y 平時(shí) 戰(zhàn)時(shí) α2 α1= β2 α1= β0 X79 2． 斜率變動(dòng) 如果我們認(rèn)為戰(zhàn)時(shí)和平時(shí)的消費(fèi)函數(shù)中 ， 截距項(xiàng)不變 ，而斜率不同 ， 即 β 變動(dòng) ， 則可用下面的模型來(lái)研究?jī)蓚€(gè)時(shí)期邊際消費(fèi)傾向的差異： 其中 ， D={ 不難看出 ， 上式相當(dāng)于下列兩式： 同樣 ， 包括虛擬變量的模型中 ， β 2是否顯著可以表明斜率在兩個(gè)時(shí)期是否變化 ?？紤]到可能是季節(jié)性變異的問(wèn)題 ， 我們建立下面的模型： 其中 ， Q1={ Q2={ Q3={ 請(qǐng)注意我們僅用了 3個(gè)虛擬變量就可表示 4個(gè)季度的情況 。 2)()()(1)()(:)(???????RXQYt84 第四章 小結(jié) 本章將雙變量模型的結(jié)果推廣到了多元線性回歸模型的一般情形 。?39。 對(duì)于那些無(wú)法線性化的模型 ， 只能采用非線性估計(jì)技術(shù) （ 如 NLS法 ） 估計(jì)模 型 。 )?(?jjVart???j?? 1?39。 檢驗(yàn)全部 “ 斜率 ” 系數(shù)均為 0的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為 F = = )1/(/)(???knSgSS R)1/(/)(???knSkSS R)1/()1(/22??? knRkR89 五 、 虛擬變量 我們應(yīng)用虛擬變量的目的是將那些無(wú)法定量化的變量引入到模型中 。 設(shè)回歸結(jié)果如下 （ 括號(hào)內(nèi)數(shù)字為標(biāo)準(zhǔn)誤差 ） ： = + + R2 = () () () （ 1） 請(qǐng)對(duì)回歸結(jié)果作必要說(shuō)明； （ 2） 分別檢驗(yàn) α和 β的顯著性； （ 3） 檢驗(yàn)原假設(shè)： α=β= 0； R?ln92 我們有某地 19701987年間人均儲(chǔ)蓄和收入的數(shù)據(jù) ， 用以研究文革期間和文革后儲(chǔ)蓄和收入之間的關(guān)系是否發(fā)生顯著變化