[理學]七、多元函數(shù)積分學-預(yù)覽頁
【正文】 在上連續(xù)。 模型：設(shè)有界閉區(qū)域 其中，在上連續(xù)，在上連續(xù)，則 模型：設(shè)有界閉區(qū)域 其中在上連續(xù)，在上連續(xù)，則 模型：設(shè)有界閉區(qū)域 其中在上連續(xù)，在上連續(xù)，則 模型：設(shè)有界閉區(qū)域 其中在上連續(xù)，在上連續(xù)，則 （四）．二重積分在幾何上的應(yīng)用 1．空間物體的體積 其中為閉曲面在平面上投影區(qū)域為上半曲面，為下半曲面。 例4．計算 例5．計算 例6．計算，其中由，和軸所圍區(qū)域。 按另一積分順序把二重積分化累次積分 原式 例2．交換的積分順序 例3．交換的積分順序 例4．交換的積分順序 例5．交換的積分順序（四）．二重積分在幾何上的應(yīng)用 1．求空間物體的體積 例1．求兩個底半徑為的正交圓柱面所圍立體的體積 答案： 例2．求球面和圓柱面所圍（包含原點那一部分）的體積 解：根據(jù)對稱性可知 其中為平面上與軸所圍平面區(qū)域用極坐標系進行計算 例3．求曲面，所圍立體的體積。 上的連續(xù)函數(shù)一定是可積的。（二）．三重積分的計算方法 1．直角坐標系中三重積分化為累次積分 （1）設(shè)是空間的有界閉區(qū)域， 其中是平面上的有界閉區(qū)域，在上連續(xù)，函數(shù)在上連續(xù)，則ΩC2zODZC1yxz （2）設(shè) 其中為豎坐標為的平面上的有界閉區(qū)域，則 2．柱坐標系中三重積分的計算 相當于把化為極坐標而保持不變。 （這里又表示第段曲線的弧長，） 則稱此極限值為在曲線上的第一類曲線積分也稱為對弧長的曲線積分，記以 如果曲線是封閉曲線，則記以 空間情形：空間一條逐段光滑曲線上定義函數(shù)，把曲線任意分割為段，在上任取一 點，如果對任意分割，任意取點，下列極限皆存在并且相等。 2．參數(shù)計算公式 我們只討論空間情形（平面情形類似） 設(shè)空間有向曲線的參數(shù)方程，起點對應(yīng)參數(shù)為，終點對應(yīng)參數(shù)為（注意：現(xiàn)在和的大小不一定）如果，皆連續(xù)，又，也都連續(xù)，則 這樣把曲線積分化為定積分來計算。（四）．格林公式 關(guān)于平面區(qū)域上的二重積分和它的邊界曲線上的曲線積分之間的關(guān)系有一個十分重要的定理，它的結(jié)論就是格林公式。 1．對內(nèi)任意一條逐段光滑閉曲線，都有 2．任意在內(nèi)，則只依賴于起點和終點，與曲線的取法無關(guān)，稱為曲線積分與路徑無關(guān)。 B 典型例題（一）、用參數(shù)公式直接計算 例．計算曲線積分 其中是曲線，從軸正向往負向看的方向是順時針方向。 解：令， 當時，成立 因此，不能在的內(nèi)部區(qū)域用格林公式 設(shè)法用曲線在的內(nèi)部又包含原點在的內(nèi)部，這樣在與圍成的二連通區(qū)域內(nèi)可以用格林公式 今取曲線： 從到0為順時針方向 令與圍成區(qū)域為（二連通區(qū)域） 根據(jù)格林公式 （逆時針） （順時針） 于是 （順時針） （逆時針） 用的參數(shù)公式代入后，得 ［注：這里取為上述橢圓周，最后計算最簡單，如果取為，的圓周，那么最后的積分就比較復雜］ 例3．設(shè)函數(shù)具有連續(xù)導數(shù)，在圍繞原點的任意分段光滑簡單閉曲線上，曲線積分的值恒為同一常數(shù)。 由（I）知，曲線積分在該區(qū)域與路徑無關(guān)，故當時，總有。7．4 曲面積分（數(shù)學一）A 內(nèi)容要點（一）．第一類曲面積分（對面積的曲面積分） 1．定義 設(shè)為分塊光滑曲面，在上有定義，把曲面任意分成塊小曲面，在上任取一點，把小曲面的面積也記以，而表示各小塊曲面直徑的最大值。這樣把這部分曲面積分化為平面上的二重積分。（三）．兩類曲面積分之間的關(guān)系 其中為曲面在點處根據(jù)定向指定一側(cè)的法向量的三個方向余弦。前面我們已經(jīng)討論過梯度： 設(shè) 算 稱為的梯度。 由，得。 （3）
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