平面向量四心問(wèn)題(最全)-預(yù)覽頁(yè)
【正文】 心，則O、G、H三點(diǎn)共線，且OG∶GH＝1∶2，利用向量表示就是．例點(diǎn)O是三角形ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足，則點(diǎn)O是的（ ）．A．三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn) B．三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)C．三條中線的交點(diǎn) D．三條高的交點(diǎn)分析 移項(xiàng)后不難得出，點(diǎn)O是的垂心，選．3 推廣應(yīng)用題例9 在內(nèi)求一點(diǎn)，使最小．分析 如圖２，構(gòu)造向量解決．取為基向量，設(shè)，有．于是，．當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)，即，則點(diǎn)為的重心．例10 已知為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足，則為的 心．分析 將，也類似展開(kāi)代入，已知等式與例４的條件一樣．也可移項(xiàng)后，分解因式合并化簡(jiǎn)，為垂心．例11 已知為的外心，求證：．分析 構(gòu)造坐標(biāo)系證明．如圖３，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，在軸的正半軸，在軸的上方．，直線的方程是，由于點(diǎn)與點(diǎn)必在直線的同側(cè)，且，因此有，得．直線的方程是，由于點(diǎn)與點(diǎn)必在直線的同側(cè)，且，因此有，得．于是，容易驗(yàn)證，又，又，則所證成立．總結(jié)：知識(shí)綜述（一）三角形各心的概念介紹重心——三角形的三條中線的交點(diǎn)；垂心——三角形的三條垂線的交點(diǎn)；內(nèi)心——三角形的三個(gè)內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)（三角形內(nèi)切圓的圓心）；外心——三角形的三條垂直平分線的交點(diǎn)（三角形外接圓的圓心）根據(jù)概念，可知各心的特征條件．比如：重心將中線長(zhǎng)度分成2：1；垂線與對(duì)應(yīng)邊的向量積為0；角平分線上的任意點(diǎn)到角兩邊的距離相等；外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等．（二）三角形各心的向量表示 O是的重心； O是的垂心； O是的外心(或)； O是的內(nèi)心；注意：向量所在直線過(guò)的內(nèi)心(是的角平分線所在直線)
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