【正文】 點探究 【點評】 本題主要考查直線、圓與橢圓的方程及幾何性質等基本知識，考查綜合運用解析幾何知識解決問題的能力．注意：“ 點差法 ” 是處理弦的中點與斜率問題的常用方法． 第 14講 │ 要點熱點探究 [ 2022bax 為漸近線 ( 即與雙曲線x2a2 －y2b2 ＝ 1 共漸近線 ) 的雙曲線方程為x2a2 －y2b2 ＝ λ ( λ 為參數(shù)， λ ≠ 0) ； ( 3) 中心在原點，坐標軸為對稱軸的橢圓、雙曲線方程可設為 mx2＋ ny2＝ 1( mn ≠ 0) ； ( 4) 橢圓、雙曲 線的通徑 ( 過焦點且垂直于對稱軸的弦 ) 為2 b2a，焦準距 ( 焦點到相應準線的距離 ) 為b2c，拋物線的通徑為 2 p ，焦準距為 p ； 第 14講 │ 主干知識整合 ( 5) 橢圓、拋物線的通徑是所有焦點弦 ( 過焦點的弦 ) 中最短的弦； ( 6) 若拋物線 y2＝ 2 px ( p 0) 的焦點弦為 AB ， A ( x1， y1) ， B ( x2，y2) ，則 ① |AB |＝ x1＋ x2＋ p ， ② x1x2＝p24， y1y2＝－ p2； ( 7) 若 OA 、 OB 是過拋物線 y2＝ 2 px ( p 0) 頂點 O 的兩條互相垂直的弦，則直線 AB 恒經(jīng)過定點 (2 p, 0) ． 要點熱點探究 第 14講 │ 要點熱點探究 ? 探究點一 與圓錐曲線有關的定義問題 例 1 已知雙曲線x2a2 －y2b2 ＝ 1( a ， b 0) 的左、右焦點分別為F1， F2， P 為左支上一點， P 到左準線的距離 d ，若 d 、 |PF1|、|PF2|成等比數(shù)列，則其離心率的取值范圍是 ( ) A ． [ 2 ，＋ ∞ ] B ． (1 ， 2 ] C ． [1 ＋ 2 ，＋ ∞ ] D ． ( 1,1 ＋ 2 ] 第 14講 │ 要點熱點探究 【解析】 ∵ | PF1|2＝ d 重慶卷 ] 若直線 y ＝ x － b 與曲線????? x ＝ 2 ＋ c os θ ，y ＝ s in θ ，( θ ∈[ 0,2π ] ) 有兩個不同的公共點，則實數(shù) b 的取值范圍為 ( ) A ． (2 － 2 ， 1) B ． [2 －22， 2 ＋ 2 ] C ． ( － ∞ ， 2 － 2 ) ∪ (2 ＋ 2 ，＋ ∞ ] D ． (2 － 2 ， 2 ＋ 2 ) 第 13講 │ 教師備用習題 【解析】 D 法 1 ：????? x ＝ 2 ＋ c os θ ，y ＝ s in θ ，化為普通方程 ( x － 2)2＋ y2＝ 1 ，表示圓，因為直線與圓有兩個不同的交點，所以|2 － b |21 ，解得 2 － 2 b 2 ＋ 2 ； 法 2 ：如圖，利用數(shù)形結合進行分析得 |AC |＝ 2 － b ＝ 2 ，∴ b ＝ 2 － 2 ， 同理分析，可知 2 － 2 b 2 ＋ 2 . 第 13講 │ 教師備用習題 2 ． [ 2022 ( 2 a ＋ 3) ＝ 0 可得 a ＝ 1 或 a ＝－ 3 ； ( 2) a ＝ 3 時兩條直線的斜率相等，但 c 的值不確定，兩直線可能重合．當兩直線平行時，斜率必須相等，可得到 a ＝ 3. 【點評】 判斷兩條直線平行和垂直位置關系時，如果給出的直線方程中存在字母系數(shù)，要注意對斜率存在與否加以判定；兩直線 a1x ＋ b1y ＋ c1＝ 0 和 a2x ＋ b2y ＋ c2＝ 0 垂直的充要條件是 a1a2＋ b1b2＝ 0 ，用此結論處理較方便．兩直線 a1x ＋ b1y ＋c1＝ 0 和 a2x ＋ b2y ＋ c2＝ 0 平行的必要條件是 a1b2－ b1a2＝ 0 ，此條件成立時，兩直線可能平行，也可能重合；因此，用此必要條件求出參數(shù)值時要檢驗． 要點熱點探究 第 13講 │ 要點熱點探究 ? 探究點二 直線與圓的位置關系 例 2 已知圓 C ： x2＋ y2＋ 2 x － 4 y ＋ 3 ＝ 0. ( 1) 若圓 C 的切線在 x 軸和 y 軸上的截距相等，求此切線的方程； ( 2) 從圓 C 外一點 P ( x1， y1) 向該圓引一條切線，切點為 M ， O為坐標原點，且有 |PM |＝ |PO |，求使得 |PM |取得最小值的點 P 的坐標． 第 13講 │ 要點熱點探究 【解答】 ( 1) 當截距為 0 時，設切線方程為 y ＝ kx ( k ≠ 0) ， 又 ∵ 若圓 C ： ( x ＋ 1)2＋ ( y － 2)2＝ 2 ，圓心 ( － 1,2) ，半徑為 2 ， ∴|－ k － 2|k2＋ 1＝ 2 ，即 k ＝ 2177。( a － 1) ＋ (1 － a ) 福建卷 ] 設不等式組????? x ≥ 1 ，x － 2 y ＋ 3 ≥ 0 ，y ≥ x所表示的平面區(qū)域是 Ω1，平面區(qū)域 Ω2與 Ω1關于直線 3 x － 4 y － 9 ＝ 0 對稱，對于 Ω1中的任意一點 A 與 Ω2中的任意一點 B ， |AB |的最小值等于 ( ) A.285 B ． 4 C.125 D ． 2 第 13講 │ 要點熱點探究 B 【解析】 由題意知，所求的 | AB | 的最小值，即為區(qū)域Ω1中的點到直線 3 x － 4 y － 9 ＝ 0 的距離的最小值的兩倍，畫出已知不等式表示的平面區(qū)域，如圖所示，可看出點 (1,1) 到直線 3 x － 4 y － 9 ＝ 0 的 距 離 最 小 ， 故 | AB | 的 最 小 值 為2 |3 1 － 4 1 － 9|5＝ 4 ，所以選 B. 教師備用習題 第 13講 │ 教師備用習題 1 ． [ 2022| y1－ y2|. 注意：焦點弦 ( 過焦點的弦 ) 的弦長的計算，一般不用弦長公式計算，而是將焦點弦轉化為兩條焦半徑之和后，利用第二定義求解． 第 14講 │ 主干知識整合 5 ． 常用的重要結論 ( 1) 雙曲線x2a2 －y2b2 ＝ 1 的漸近線方程為x2a2 －y2b2 ＝ 0 ； ( 2) 以 y ＝ 177。n 0 ) ， 這樣就可以回避討論 ； 只要是直線與圓錐曲線的綜合問題 ， 一般都是將直線代入圓錐曲線整理為關于 x 或 y 的一元二次方程 ， 結合韋達定理研究有關問題 ， 注意不要忘記 Δ ≥ 0 ! 要點熱點探究 第 14講 │ 要點熱點探究 ? 探究點三 圓錐曲線的幾何性質 例 3 已知圓 C1的方程為 ( x － 2)2＋ ( y － 1)2＝203，橢圓 C2的方程為x2a2 ＋y2b2 ＝ 1( a b 0) ， C 2 的離心率為22，如果 C1與 C2相交于 A 、 B 兩點，且線段 AB 恰為圓 C1的直徑，求直線 AB 的方程和橢圓 C2的方程． 第 14講 │ 要點熱點探究 【解答】 由 e ＝22，可設橢圓方程為x22 b2＋y2b2＝ 1 ， 又設 A ( x1， y1) 、 B ( x2， y2) ，則 x1＋ x2＝ 4 ， y1＋ y2＝ 2 ， 又x212 b2＋y21b2＝ 1 ，x222 b2＋y22b2＝ 1 ，兩式相減，得x21－ x222 b2＋y21－ y22b2＝ 0 ， 即 ( x1＋ x2)( x1－ x2) ＋ 2( y1＋ y2)( y1－ y2) ＝ 0. 化簡得y1－ y2x1－ x2＝－ 1 ，故直線 AB 的方程為 y ＝－ x ＋ 3 ， 代入橢圓方程得 3 x2－ 12 x ＋ 18 － 2 b2＝ 0 ， 有 Δ ＝ 24 b2－ 72 ＞ 0 ，又 | AB | ＝ 2 ? x1＋ x2?2－ 4 x1x2＝203， 得 2 42＝ 4 3 ， 故選 C. 第 14講 │ 教師備用習題 3 ． [ 2022 1 ) ． 故動點 P 的軌跡方程為 x2＋ 3 y2＝ 4( x ≠ 177。FN→＝??????－322＋32??????－32＝ 0. 綜上 FM→2 p??????x1－ x2 ＝ p??????x1－ x2 ＝ p ? x 1 ＋ x 2 ?2－ 4 x1x2 ＝ p 4 p2k2＋ 8 p2＝ 2 p2k2＋ 2 ， ∴ 當 k ＝ 0 時 ， ( S △ABN)m i n＝ 2 2 p2. 第 15講 │ 要點熱點探究 ( 2) 假設滿足條件的直線 l 存在，其方程為 y ＝ a ， AC 的中點為 O ′ ， l 與 AC 為直徑的圓相交于點 P ， Q ， PQ 的中點為H ， 則 O ′ H ⊥ PQ ， O ′ 點的坐標為????????x12，y1＋ p2. 第 15講 │ 要點熱點探究 ∵????O ′ P ＝12????AC ＝12x21＋ ? y1－ p ?2＝12y21＋ p2， ????O ′ H ＝??????a －y1＋ p2＝12????2 a － y1－ p ， ∴????PH2＝????O ′ P2－????O ′ H2＝14( y21＋ p2) －14(2 a － y1－ p )2＝??????a －p2y1＋a ( p － a ) ， ∴????PQ2＝ ( 2 | PH |)2＝ 4????????????a －p2y1＋ a ? p － a ? . 令 a －p2＝ 0 ，得 a ＝p2，此時????PQ ＝ p 為定值，故滿足條件的直線 l 存在，其方程為 y ＝p2， 即拋物線的通徑所在的直線． 第 15講 │ 要點熱點探究 解法二： ( 1) 前同解法 1 ，再由弦長公式得 |AB | ＝ 1 ＋ k2| x1－ x2| ＝ 1 ＋ k2d 2 p1 ＋ k2＝ 2 p2k2＋ 2 ， ∴ 當 k ＝ 0 時， ( S△ABN)m i n＝ 2 2 p2. 第 15講 │ 要點熱點探究 ( 2 ) 假設滿足條件的直線 l 存在 ， 其方程為 y ＝ a ， 則以 AC 為直徑的圓的方程為 ( x － 0 )( x － x1) － ( y － p )( y － y1) ＝ 0 ， 將直線方程 y ＝ a 代入得 x2－ x1x ＋ ( a － p )( a － y1) ＝ 0 ， 則 Δ ＝ x21－ 4 ( a － p )( a － y1) ＝ 4??????a －p2