【正文】 x n X r e r e d?????? ?令 jz re ?? jdz jre d jzd? ????一 .Z反變換： The Inverse ZTransform 當(dāng) 從 時， z沿著 ROC內(nèi)半徑為 r 的圓變化一周。 ? ? 23 12 2 ?? ??? zz zzzF? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?111111 11111112 1 2 221 2 1 21 1 21 1 23 2 13 2 1 1nnnnF z z F zzFzzzzzunf n n u n??????????????????? ? ???????? ? ? ?????? ? ? ? ? ???信號與系統(tǒng) Z逆變換 重極點情況： 設(shè) 在 處有 m重極點，如 拉氏反變換 那樣， 的部分分式展開式中關(guān)于重極點 的分項，然后計算相應(yīng)的 z反變換。 nz? ()xn ()Xz? 由于 右邊序列 的展開式中應(yīng)包含無數(shù)多個 Z的負(fù)冪項，所以要 按降冪長除。 ()Xz()xn1112()111143Xzzz??????1ROC 2ROC1R OC : | | 1 / 4z ?2R OC : | | 1 / 3z ?所以 前式按降冪長除，后式按升冪長除 。 iz0n? 時， 1( ) R e s [ ( ) , ]niix n X z z z?? ?是 C內(nèi)的極點 。 1a ?a 1V2Vje?Re[ ]zjIm[ ]z1 1()1jjHe ae???? ?12( ) /jH e V V? ?顯然， 取決于 的變化。 一階系統(tǒng)的頻率特性： 01a???當(dāng) 時， 10a? ? ?a 1V2Vje?Re[ ]zjIm[ ]z1 ? 越小，極點靠原點越近，系統(tǒng)的頻率響應(yīng)越平緩，系統(tǒng)的帶寬越寬；此時 衰減越快， 上升越快。 ? 0 ?? ???? 若 r越接近于 1， 的峰值越尖銳。 4? 更一般的情況，二階系統(tǒng)也可能 有兩個實數(shù)極點，此時系統(tǒng)處于過阻尼狀態(tài)。 11( ) ( )x n X z? 1RO C : R22( ) ( )x n X z? 2RO C : R則 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )a x n b x n a X z b X z? ? ?ROC ：包括 12RR Z變換的性質(zhì) 1. 線性： Properties of the Ztransform ? 如果在線性組合過程中出現(xiàn)零極點相抵消，則 ROC可能會擴大。 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?1121112 1 2mmkkf n m u n z F z f k zf n z F z ff n z F z z f f???????? ? ? ?????? ? ? ?? ? ? ? ? ??信號與系統(tǒng) z變換時移性質(zhì) 因果序列右移 ： 雙邊 z變換 ： 位移性質(zhì)可用于求解系統(tǒng)的各個響應(yīng)。 ()Xz 0| / |z z R? 0( / )X z z0z z R??當(dāng) 時，即為 移頻特性 。 ()Xz 1()Xz?? 如果 是 的零 /極點 ,則 就是 的零 /極點。 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )nnmx n x n x m x n m z???? ? ? ? ? ?? ? ???1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )mmx m X z z X z X z??? ? ????該性質(zhì)是 LTI系統(tǒng) Z變換分析法的理論基礎(chǔ)。 所以 , 的 ROC是最外部極點的外部， 并且包括 。表明單位圓在 的ROC內(nèi)。 信號與系統(tǒng) 例題 例 圖示出了一個離散反饋控制系統(tǒng)。 ( ) ( ) ( )Y z X z H z?12RR()yn()Yz()Yz由差分方程描述的 LTI系統(tǒng)，其方程為 00( ) ( )NNkkkkkka z Y z b z X z???????00()NkkkNkkkbzHzaz???????是一個有理函數(shù)。 )3(8)1(5)()()1( ????? nxnxnxny解：由方程可得 )(nx1?z1?z1?z15?8)(ny?)()851()( 31 zXzzzY ?? ???31 851)( ?? ??? zzzH)3(8)1(5)()( ????? nnnnh ??? FIR )()3()2(3)1(3)()2( nxnynynyny ???????)(nx1?z1?z1?z)(ny?3?31?)()()331( 321 zXzYzzz ???? ???31 )1(1)(??? zzH)()2)(1(21)( nunnnh ???解：由方程可得 利用 Z變換的性質(zhì)可得 IIR 一 . 系統(tǒng)互聯(lián)的系統(tǒng)函數(shù) : 1 ()Hz 2 ()Hz1R 2R12( ) ( ) ( )H z H z H z?ROC包括 12RR 系統(tǒng)函數(shù)的代數(shù)屬性與系統(tǒng)的級聯(lián)、并聯(lián)結(jié)構(gòu) System Function Algebra and Block Diagram Representations 1. 級聯(lián)： 1()Hz2 ()Hz12( ) ( ) ( )H z H z H z??ROC包括 12RR3. 反饋聯(lián)接： 2. 并聯(lián)： 1()Xz()Xz1()Hz()Gz1R2R()Yz 由系統(tǒng)框圖可列出如下方程： 1 ( ) ( ) ( ) ( )X z X z Y z G z??11( ) ( ) ( )Y z X z H z?11( ) ( ) ( ) ( ) ( )X z H z Y z H z G z??11()()1 ( ) ( )HzHzH z G z? ?ROC：包括 12RR 由 LCCDE描述的 LTI系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)為有理函數(shù)，可以將其因式分解或展開為部分分式。此時反饋系統(tǒng)函數(shù) ，使得系統(tǒng) 僅有前饋環(huán)節(jié) ，即 ? ? ? ?????Mrr rnfbny00?N? ? 11 ?zH? ? ? ? ????? Mrrr zbzHzH02y ( n )h ( 0 )Z 1Z 1Z 1x ( n )Σh ( 1 ) h ( 2 ) h ( N 1 ) 單邊 Z變換： 一 . 單邊 Z變換： 0( ) ( ) nnz x n z????? ? 單邊 Z變換是雙邊 Z變換的特例，也就是因果信號的雙邊 Z變換。 11( ) ( )2ncx n z z dzj ?? ?? ? 如果信號 不是因果序列，則其雙邊 Z變換 與單邊 Z變換 不同。 三 . 利用單邊 Z變換分析增量線性系統(tǒng)： ( ) 3 ( 1 ) ( ) ,y n y n x n? ? ?( ) ( ) ,x n u n? ( 1) 1y ??則 111( ) 3 [ ( ) ( 1 )] ( )1z z z y z z? ? ???? ? ? ? ? ?11()13Hz z ?? ?11 1 11( ) [ ( ) 3 ]13( ) 3 3( ) ( )1 3 1 3 1 3zzzzH z zz z z?????? ? ????????? ? ?零狀態(tài)響應(yīng) 零輸入響應(yīng) 零輸入響應(yīng)＋＋111 / 4 9 / 41 1 3zz??????1 9 1( ) [ ( 3 ) ] ( ) [ 1 9 ( 3 ) ] ( )4 4 4? ? ? ? ? ? ?nny n u n u n21 [ 1 ( 3 ) ] ( )4?? ? ? n un強迫響應(yīng) 自然響應(yīng) 信號與系統(tǒng) 3） 求反變換，得差分方程時域解。 由于 系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)等于輸入激勵與系統(tǒng)單位采樣響應(yīng)的卷和 ，使得零狀態(tài)響應(yīng)的 z變換等于輸入激勵的 z變換乘以系統(tǒng)函數(shù)，即 ? ?zH? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?zHzFzYnhnfny ????? ? ? ?? ?zF zYzH ?信號與系統(tǒng) 離散系統(tǒng)的 z域分析 2. LTI離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù) 設(shè)描述 N階 LTI離散系統(tǒng)的差分方程為 當(dāng)一個 物理可實現(xiàn)系統(tǒng) （其單 位采樣響應(yīng)一定是因果的 ）的輸入為 因果信號 時，系統(tǒng) 零狀態(tài)響應(yīng)一定也是因果的 ? ?zH? ? ? ? 000,1NMkrkra y n k b f n r a??? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ? ???????????? ?????NkkkMrrrMrrrNkkkzazbzAzBzFzYzHzbzFzazY0000信號與系統(tǒng) 離散系統(tǒng)的 z域分析 2. LTI離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù) 例 求二階系統(tǒng)的差分方程 的系統(tǒng)函數(shù)、單位采樣響應(yīng)和在輸入 時的零狀態(tài)響應(yīng)。 將連續(xù)時間信號 采樣，可以得到： ()cxt( ) ( ) ( ) ncnx n X z x n T z??? ? ??? ?sTze?( ) ( ) ( )pcnx t x n T t n T??? ? ????( ) ( ) s n TpcnX s x n T e??? ? ?? ?對其做拉氏變換有： 對采樣所得到的樣本序列 做 Z變換有： ( ) ( )cx n x n T?比較兩式，可以得出 S平面與 Z平面之間有： 0 , 10 , 10 , 1rrr?????????,? ? ?? ? ? TT??? ? ? ?0,? ? 0??,jz r e s j? ?? ? ? ? ,Tr e T? ?? ? ? ?映射過程： jT??jT?j??sTze?1 RejIm13. 利用 Z變換分析 LTI系統(tǒng)，較之 DTFT具有更方便、更廣泛適用的優(yōu)點。