華東理工大學本科生線性代數(shù)第八冊-預覽頁
【正文】 論正確的是 ( ). （A）若0，則 0。經(jīng)計算得二次型的矩陣的特征值為2,2,4. 對應的線性無關(guān)的特征向量為. 經(jīng)施密特正交化，單位化可得所求的正交變換矩陣為, 而在正交變換下的標準型為． 故有： 在正交變換下的標準型為 ．二次型為負定二次型，即, ,故有（也可用順序主子式來解）.8. 設 為一個n元實二次型，為A的特征值，P為正交矩陣，且. 試證明： （1）； （2）在時取到的最大值就等于A的最大特征值.證明：1）令 ，則 ，故， 又，故1）得證.2） 令，顯然，代入得．由1)得，故在時取到的最大值就等于A的最大特征值 （同理取，知在時取到的最小值就等于A的最小特征值）.9. 證明對任意的實對稱陣A，一定存在實數(shù)，使得是正定矩陣．證明： 等價于二次型 (),由第8題的結(jié)論知：（其中為A的最小特征值），故取時有 ().
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