【正文】 . ? 2解析 (1)4? .? (4分 ) (2)∵ 在 Rt△ ADC中 ,∠ ACD=30176。E為等邊三角形 ,? (5分 ) ? ∴∠ AED39。,即 AC垂直平分線段 ED39。.(7分 ) ∵ △ ADE是等邊三角形 ,AD=AE=4? , ∴ DD39。作 D39。.∵ AE=CE, ∴ AD39。,∴ △ ABD39。,∴ D39。到 BC邊的距離為 (3? ? )cm.? (12分 ) 2 32 6 2 62 6評析 本題考查利用軸對稱求兩條線段和的最小值 ,以及用勾股定理構(gòu)造方程求距離 ,屬中等 難度題 . 考點(diǎn)二 圖形的平移 1.(2022江西 ,5,3分 )小軍同學(xué)在網(wǎng)格紙上將某些圖形進(jìn)行平移操作 ,他發(fā)現(xiàn)平移前后的兩個(gè)圖 形所組成的圖形可以是軸對稱圖形 .如圖所示 ,現(xiàn)在他將正方形 ABCD從當(dāng)前位置開始進(jìn)行一 次平移操作 ,平移后的正方形的頂點(diǎn)也在格點(diǎn)上 ,則使平移前后的兩個(gè)正方形組成軸對稱圖形 的平移方向有 ? ( ) 答案 C 如圖所示 ,正方形 ABCD可以向上、向下、向右以及沿射線 AC或 BD方向平移 ,平移 后的兩個(gè)正方形組成軸對稱圖形 .故選 C. ? 2.(2022山東青島 ,5,3分 )如圖 ,線段 AB經(jīng)過平移得到線段 A39。,這四個(gè)點(diǎn)都在格點(diǎn)上 .若線段 AB上有一個(gè)點(diǎn) P(a,b),則點(diǎn) P在 A39。B39。,再向左平移 2個(gè)單位長度 (答案不唯一 ) 4.(2022江蘇鎮(zhèn)江 ,12,2分 )如圖 ,△ ABC和△ DBC是兩個(gè)具有公共邊的全等的等腰三角形 ,AB= AC=3 cm,BC=2 △ DBC沿射線 BC平移一定的距離得到△ D1B1C1,連接 AC 形 ABD1C1是矩形 ,那么平移的距離為 cm. ? 答案 7 解析 作 AE⊥ BC于點(diǎn) E,則 BE=EC=1 cm. 設(shè)平移的距離為 x cm,在 Rt△ ABE中 ,AE=? =? =2? cm,當(dāng)四邊形 ABD1C1為矩形 時(shí) ,∠ BAC1=90176。,將△ ABC沿射線 BC的方向平移 2個(gè) 單位后 ,得到△ A39。C,則△ A39。=BC=6,CC39。CC39。C=A39。C=∠ B=60176。B39。選項(xiàng) C中的圖形是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形 .故選 A. 2.(2022河南 ,8,3分 )如圖 ,已知菱形 OABC的頂點(diǎn) O(0,0),B(2,2),若菱形繞點(diǎn) O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) ,每秒旋 轉(zhuǎn) 45176。,連接 DA39。,則 ∠ DA39。 176。. 在△ AEB中 ,因?yàn)?∠ EBA=60176。=50176。=130176。, 所以 ∠ DA39。=160176。,AO=3 cm,BO=4 cm, ∴ AB=? =5 cm, ∵ 點(diǎn) D為 AB的中點(diǎn) ,∴ OD=? AB= cm. ∵ 將△ AOB繞頂點(diǎn) O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到△ A1OB1處 , ∴ OB1=OB=4 cm,∴ B1D=OB1OD= . 22OA OB?12思路分析 先在直角△ AOB中利用勾股定理求出 AB的長 ,再利用直角三角形斜邊上的中線等 于斜邊的一半得出 OD=? OB1=OB,由 B1D=OB1OD求得結(jié)果 . 12解題關(guān)鍵 本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì) ,直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半以及勾股定理 ,熟 練掌握這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵 . 6.(2022吉林長春 ,14,3分 )如圖 ,在平面直角坐標(biāo)系中 ,△ ABC的頂點(diǎn) A在第一象限 ,點(diǎn) B、 C的坐 標(biāo)分別為 (2,1)、 (6,1),∠ BAC=90176。關(guān)于點(diǎn) P成 中心對稱 ,則點(diǎn) A39。(2,3). 7.(2022寧夏 ,16,3分 )在平面直角坐標(biāo)系 xOy中 ,△ A39。的垂直平分線為 x= 1,設(shè)點(diǎn) P(1,y),則 PC=PC39。B39。,CB39。 (2)如圖 2,設(shè) A39。的中點(diǎn)時(shí) ,求線段 PQ的長 。B39。若不存在 ,請說明理由 . ? 7解析 (1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得 AC=A39。BC=90176。, ∴∠ ACA39。的中點(diǎn) ,∠ A39。=MB39。C=∠ A,∴∠ A=∠ A39。CB39。Q最小即 S△ PCQ最小 , S△ PCQ=? PQBC=? PQ. 取 PQ的中點(diǎn) G,連接 CG. ∵∠ PCQ=90176。C=AC=2,解直角△ A39。=60176。CM=∠ MA39。Q=S△ PCQS△ A39。Q最小 ,又 S△ PCQ=? PQBC=? PQ,求出 PQ最小值即可得到 S△ PCQ的最小值為 3,則四邊形 PA 39。C39。D39。為菱形 ?并說明理由 。E39。E39。 ② 連接 AP,當(dāng) AP最大時(shí) ,求 AD?的值 .(結(jié)果保留根號(hào) ) 圖 1 3圖 2 解析 (1)當(dāng) CC39。,DE∥ D39。=180176。的平分線 , ∴∠ NCC39。,∴ AB∥ D39。C39。C39?！?CN, ∴ 四邊形 MCND39。=60176。, ∴ △ MCE39。. 又 E39。=CE39。.? (6分 ) 理由 :當(dāng) α≠ 180176。=CE39。=BE39。,BE39。,∴ AD39。.? (9分 ) ② 當(dāng) A、 C、 P三點(diǎn)共線時(shí) AP最大 ,如圖 . 此時(shí) ,AP=AC+CP.? (10分 ) 在等邊△ D39。的中點(diǎn) , 得 AP⊥ D39。中 ,AD39。,點(diǎn) A,O旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)為 A39。的長 。 (3)在 (2)的條件下 ,邊 OA上的一點(diǎn) P旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)為 P39。的坐 標(biāo) (直接寫出結(jié)果即可 ). ? 解析 (1)∵ 點(diǎn) A(4,0),點(diǎn) B(0,3), ∴ OA=4,OB=3. 在 Rt△ ABO中 ,由勾股定理 , 得 AB=? =5. 根據(jù)題意 ,△ A39。BA=90176。=? =5? . (2)如圖 ,根據(jù)題意 ,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì) , 可得 ∠ O39。作 O39。AB AB? 2在 Rt△ O39。BO=60176。sin∠ O39。=? , BC=O39。B,GE=2BG,則折痕 EF的 長為 ? ( ) ? B.? ? 33 3答案 C ∵ 四邊形 ABCD是矩形 , ∴ AD∥ BC,∠ H=∠ D=∠ FGH=∠ C=90176。. ∵ AD∥ BC, ∴∠ FGE=∠ AFG=60176。=? x,MF=GF? x=4? , 解得 x=1或 x=1(不符合題意 ,舍去 ),∴ EF=2x=2,故選 C. 3 3 33.(2022重慶 ,2,4分 )下列圖形中是軸對稱圖形的是 ? ( ) ? 答案 D 根據(jù)軸對稱圖形的概念 :如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊 ,直線兩旁的部分能夠互相 重合 ,這個(gè)圖形叫做軸對稱圖形 ,知選項(xiàng) D中的圖形是軸對稱圖形 ,符合題意 ,故選 D. 4.(2022新疆烏魯木齊 ,9,4分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,點(diǎn) E在 AB上 ,把這個(gè)直角三角形沿 CE折疊后 , 使點(diǎn) B恰好落到斜邊 AC的中點(diǎn) O處 ,若 BC=3,則折痕 CE的長為 ? ( ) ? A.? ? ? 3 3 3答案 B 根據(jù)折疊可知 ,∠ BCE=∠ ACE,BC=CO=3,∵ O是斜邊 AC的中點(diǎn) ,∴ AC=2CO=6.∴ BC =? AC,∴∠ A=30176。,把△ ADC沿著直線 AD對折 ,點(diǎn) C落在 點(diǎn) E的位置 .如果 BC=6,那么線段 BE的長度為 ? ( ) ? ? ? ? 2 3 2答案 D 根據(jù)折疊的性質(zhì)知 CD=ED,∠ CDA=∠ ADE=45176。,由題意知 ∠ DBE=∠ DBA=60176。tan∠ EBF=3? =? .故選 A. 333評析 本題考查了矩形的性質(zhì) ,折疊的性質(zhì)以及解直角三角形 ,屬容易題 . 7.(2022新疆烏魯木齊 ,15,4分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ C=90176。F為 直角三角形 ,則 AE的長為 . ? 3答案 3或 解析 易知 ∠ B39。E,∠ EB39。A是直角時(shí) ,如圖 2, BFBC BDBA 3 33433223? 圖 2 連接 B39。D=BD=? BC=CD,∴∠ BB39。,∴ Rt△ ACD≌ Rt△ AB39。A,∴ △ DB39。BC,∴ AD∥ BB39。,在直角三角形 BB39。=? ,∴ BM=? .在直角三角形 DCA中 ,DA= 1239。BBBC32 677 377? =? ,將 BM=? ,AD=? 代入 (*)可得 AE=. 綜上 ,AE=3或 . 222 ( 3)? 7 3777疑難突破 本題的難點(diǎn)是 ∠ FB39。C∽ △ DCA,然后利用相似比求出 AE. 8.(2022廣東 ,16,4分 )如圖 (1),矩形紙片 ABCD中 ,AB=5,BC= (2)操作 :將矩形紙片 ABCD 沿過點(diǎn) A的直線折疊 ,使點(diǎn) D落在邊 AB上的點(diǎn) E處 ,折痕為 AF。,∴ △ AFM∽ △ ABC, ∴ ? =? , ∵ CF=2,AC=6,BC=8,∴ AF=4,AB=? =10, ∴ ? =? ,∴ FM=, ∵ PF=CF=2,∴ PM=, ∴ 點(diǎn) P到邊 AB距離的最小值是 . AFAB FMBC22AC BC?4108FM10.(2022湖北武漢 ,14,3分 )如圖 ,在 ?ABCD中 ,E為邊 CD上一點(diǎn) ,將△ ADE沿 AE折疊至△ AD39。,則 ∠ FED39。,∵∠ DAE=20176。=108176。.由折疊的性質(zhì)可得 ∠ AED39?！? AEC=108176。落在矩形 ABCD所在平面內(nèi) ,B39。 ② 將△ AEC剪下后展開 ,得到的圖形是 。,AB=4? ,當(dāng)△ AB39。=∠ DAC,∴ AE=CE. ∵ B39。.? (4分 ) ∵∠ AEC=∠ B39。D∥ AC.? (6分 ) ② 如圖所示 ,設(shè)展開后點(diǎn) E的對應(yīng)點(diǎn)為 F(由題意知 F在 BC上 ). ? ∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形 , ∴ CF∥ AE, ∴∠ DAC=∠ ACF,? (3分 ) 由折疊可得 ,∠ ACE=∠ ACF,CE=CF,? (4分 ) ∴∠ DAC=∠ ACE, ∴ AE=CE,? (5分 ) ∴ AE=CF, ∴ 四邊形 AECF是菱形 .? (6分 ) (3)1∶ 1或 ? ∶ 1(答對一個(gè)得 1分 ,寫成“ 1或 ? ”也正常給分 )? (8分 ) 詳解 :如圖 ,沿對角線 AC折疊時(shí) ,當(dāng) AB在射線 AD上時(shí) ,可得 ∠ BAC=∠ DAC=45176。AD=90176。=AB=CD, 在△ B39。AE=90176。AD=90176。= 60176。,∴ AE=CE,∴ B39。D∥ AC, ∴∠ DAC+∠ ADB39。, ∴ BC=AD=CD時(shí) ,∵ B39。,∴∠ B39。, ∴ BC=B39。在第一象限 ,且滿足 A39。B的長 。OP≌ △ AOP, ∴ OA39。, 在 Rt△ A39。, 3332239。OP≌ △ AOP, ∴∠ OPA?=∠ OPA=120176。B是平行四邊形 , ∴ A?B=OP=1.(3)點(diǎn) P的坐標(biāo)為 ? 或 ? . 詳解 :∵∠ BPA?=30176。=∠ OPB+∠ BPA39。=45176。75176。在第二象限 . ∵∠ POA=∠ OPA, 3 3 0 ,1,kbb? ???????3 ,31,kb? ???????3333 332?3 3 3 3,22????????∴ OA=AP=? , 過點(diǎn) P作 PM⊥ OA于 M,∵∠ OAP=30176。=OA=? ,在 Rt△ OBA39。,由折疊的性質(zhì)得 ∠ OPA39。,由 OB=PA =PA 39。時(shí) ,先求 ∠ OPA,再求 ∠ POA,得出點(diǎn) A39。 (2)若 AB=3,BC=9,求線段 CE的取值范圍 . ? 解析 (1)四邊形 CEGF為菱形 . 證明 :∵ 四邊形 ABCD是矩形 , ∴ AD∥ BC,∴∠ GFE=∠ FEC, ∵ 圖形翻折后點(diǎn) C的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn) G,EF為折線 , ∴∠ GEF=∠ FEC, ∴∠ GFE=∠ FEG,∴ GF=GE, ∵ 圖形翻折后 EC的對應(yīng)邊為 GE, ∴ GE=EC,∴ GF=EC, ∴ 四邊形 CEGF為平行四邊形 , 又 GE=EC, ∴ 四邊形 CEGF為菱形 . (2)如圖 1,當(dāng) F與 D重合時(shí) ,CE取最小值 , 由折疊的性質(zhì)得 CD=DG,∠ CDE=∠ GDE=45176。, ∴ AE2=AB2+BE2,即 CE2=32+(9CE)2,∴ CE=5, ∴ 線段 CE的取值范圍為 3≤ CE≤ 5. 圖 2 圖 1 14.(2022浙江衢州 ,21,8分 )如圖 1,將矩形 ABCD沿 DE折疊 ,使頂點(diǎn) A落在 DC上的點(diǎn) A39。DE=? =45176。, ∵∠ AEF+∠ AFE=90176。 (2)已知四邊形 BCEF為 ? 矩形 ,模仿上述操作 ,得到四邊形 BCMN,如圖② ,求證 :四邊形 BCMN是 ? 矩形 。BF=BE,當(dāng)兩個(gè)三角形重疊部分的面積為 32時(shí) ,它移動(dòng)的距離 AA39。,AB=10,AC= AD由線段 AB繞點(diǎn) A按逆時(shí) 針方向旋轉(zhuǎn) 90176。,AD=AB=10. ∴∠ ABD=45176。,∴∠ ADE=90176。B39。B39。,先把△ ABC繞點(diǎn) B順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90176。, ∴∠ GFE+∠ DEB=901