廣東省開平市風(fēng)采華僑中學(xué)高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考試題文新人教a-預(yù)覽頁
【正文】 n}中，a1=1，當(dāng)n≥2時，有an=2an﹣1+1．（1）求a2，a3；（2）求{an}的通項公式．解答：解：（1）數(shù)列{an}中，a1=1，當(dāng)n≥2時，有an=2an﹣1+1，a2=21+1=3；a3=23+1=7．（2）由題意，兩邊同加1得：an+1=2（an﹣1+1），∵a1+1=2∴{an+1}是以2為首項，以2為 公比等比數(shù)列∴an+1=2?2 n﹣1=2n∴an=2n﹣1．20．（15分）（2013?廣東）設(shè)函數(shù)f（x）=x3﹣kx2+x（k∈R）．（1）當(dāng)k=1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)k＜0時，求函數(shù)f（x）在[k，﹣k]上的最小值m和最大值M．解答：解：f′（x）=3x2﹣2kx+1（1）當(dāng)k=1時f′（x）=3x2﹣2x+1，∵△=4﹣12=﹣8＜0，∴f′（x）＞0，f（x）在R上單調(diào)遞增．（2）當(dāng)k＜0時，f′（x）=3x2﹣2kx+1，其開口向上，對稱軸，且過（0，1）（i）當(dāng)，即時，f′（x）≥0，f（x）在[k，﹣k]上單調(diào)遞增，從而當(dāng)x=k時，f（x）取得最小值m=f（k）=k，當(dāng)x=﹣k時，f（x）取得最大值M=f（﹣k）=﹣k3﹣k3﹣k=﹣2k3﹣k．（ii）當(dāng)，即時，令f′（x）=3x2﹣2kx+1=0解得：，注意到k＜x2＜x1＜0，∴m=min{f（k），f（x1）}，M=max{f（﹣k），f（x2）}，∵，∴f（x）的最小值m=f（k）=k，∵，∴f（x）的最大值M=f（﹣k）=﹣2k3﹣k．綜上所述，當(dāng)k＜0時，f（x）的最小值m=f（k）=k，最大值M=f（﹣k）=﹣2k3﹣k解法2：（2）當(dāng)k＜0時，對?x∈[k，﹣k]，都有f（x）﹣f（k）=x3﹣kx2+x﹣k3+k3﹣k=（x2+1）（x﹣k）≥0，故f（x）≥f（k）．f（x）﹣f（﹣k）=x3﹣kx2+x+k3+k3+k=（x+k）（x2﹣2kx+2k2+1）=（x+k）[（x﹣k）2+k2+1]≤0，故f（x）≤f（﹣k），而 f（k）=k＜0，f（﹣k）=﹣2k3﹣k＞0．所以 ，f（x）min=f（k）=k．10
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